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復數的n次單位根如何理解

單位根(unit

root)

設n

是正整數,當壹個數的n

次乘方等於1

時,稱此數為n

次“單位根”。在復數範圍內,n

次單位根有n

個。例如,1、-1、i、-i

都是4次單位根。確切的說,單位根指模為1的根,壹般的x^n=1的n個根可以表示為:

x=cos(2kπ/n)+sin(2kπ/n)i

,其中:k=0,1,2,..,n-1

,i是虛數的單位。

本原根

單位的n次根以乘法構成n階循環群。它的生成元是單位的n次本原根。單位的n次本原根是e2πik

/

n,其中k和n互質。單位的n次本原根數目為歐拉函數φ(n)

單位的壹次根有壹個:1。

單位的二次根有兩個:+1和-1,只有-1是本原根。

單位的三次根是

{1,(-1+根號3i)/2,(-1-根號3i)/2}

其中i復數單位;除1外都是本根根。

單位的四次根是

{1,+i,-1,-i}

其中

+

i和

-

i是本原根

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