牛頓叠代法（Newton's method）又稱為牛頓-拉夫遜方法（Newton-Raphson method），它是牛頓在17世紀提出的壹種在實數域和復數域上近似求解方程的方法。多數方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函數f(x)的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(x) = 0的根。牛頓叠代法是求方程根的重要方法之壹，其最大優點是在方程f(x) = 0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復根。另外該方法廣泛用於計算機編程中。
設r是f(x) = 0的根，選取x0作為r初始近似值，過點（x0,f(x0)）做曲線y = f(x)的切線L，L的方程為y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L與x軸交點的橫坐標 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，稱x1為r的壹次近似值。過點（x1,f(x1)）做曲線y = f(x)的切線，並求該切線與x軸交點的橫坐標 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，稱x2為r的二次近似值。重復以上過程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，稱為r的n+1次近似值，上式稱為牛頓叠代公式。
解非線性方程f(x)=0的牛頓法是把非線性方程線性化的壹種近似方法。把f(x)在x0點附近展開成泰勒級數 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其線性部分，作為非線性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展開的前兩項，則有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 設f'(x0)≠0則其解為x1=x0－f(x0)/f'(x0) 這樣，得到牛頓法的壹個叠代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。
註：由於本人做過的題最高2次，妳這裏出現3次，其實這個問題就很復雜，很難做出來，以上知識可供參考。