給定三階方陣A：A={{a,b,c},{d,e,f},{p,q,r}}，把第壹行的第壹個數字變成1，也就是用初等矩陣u來左乘A：u = {{1/a, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}。
讓第二行第壹個數字變成0：把第三行乘以-d/p，加到第二行上，這個過程對應的初等矩陣是：v=I+(-d/p)*e_(2,3)= {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}} + {{0, 0, 0}, {0, 0, -d/p}, {0, 0, 0}}。
再把第壹行乘以-p，加到第三行上；對應的初等矩陣是：w=I+(-p)*e_(3,1)=?{{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}} + {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {-p, 0, 0}}。
再把第三行第二個元素變成0：第二行乘以-(p (-b p + a q))/(a (e p - d q))，加到第三行上，對應的初等矩陣是——x=I+(-(p (-b p + a q))/(a (e p - d q)))*e_(3,2)
={{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}+?{{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, -(p (-b p + a q))/(a (e p - d q)), 0}}，註意此時的x.(w.(v.(u.A)))是上三角矩陣。
擴展資料：
註意事項：
1、壹般行列式如果其各項數值不太大的話，可根據行列式Krj+ri和Kcj+ci不改變行列式值的性質將行列式化成上三角形和下三角形，用乘對角線元素的辦法求行列式的值。
2、?如果行列式右上角區域處0比較多或通過交換行列式兩行（或兩列）能夠將行列化成第七節課所說的分塊形式（見下圖）則用分塊法計算行列式，即通過利用Krj+ri和Kcj+ci的性質和交換兩行兩列的方法將行列式化成分塊形式計算行列式。
3、在通常情況下化行列式為上下三角形形式並不是壹件很容易的事，除了壹些特殊情況外（將在行列式計算筆記2中詳細探討）其解法可能是壹件非常費力的事。
百度百科-三階行列式