1、全局收斂性是指初值在定義域內任取時算法是否收斂,若收斂其速度如何,收斂到哪個根.具體來說。
2、局部收斂性有如下定理
設已知 f(x) = 0 有根 a,f(x) 充分光滑(各階導數存在且連續).
若 f'(a) != 0(單重零點),則初值取在 a 的某個鄰域內時,叠代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n]) 得到的序列 x[n] 總收斂到 a,且收斂速度至少是二階的.
若 f'(a) == 0(多重零點),則初值取在 a 的某個鄰域內時,收斂速度是壹階的.
記 g(x)=x-f(x)/f'(x),其中"某個鄰域"可由 |g'(x)|
二、牛頓叠代法的簡單介紹：
牛頓叠代法（Newton's method）又稱為牛頓-拉夫遜（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛頓在17世紀提出的壹種在實數域和復數域上近似求解方程的方法。多數方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函數f(x）的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(x) = 0的根。牛頓叠代法是求方程根的重要方法之壹，其最大優點是在方程f(x) = 0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復根，此時線性收斂，但是可通過壹些方法變成超線性收斂。另外該方法廣泛用於計算機編程中。