最小公倍數滿足可以被 2,3,4,5,6整除, 而且最小公倍數的整數倍都滿足整除性質. 設
這樣的數為60n-1,其中n是整數
同時 這個數能被7除盡 , 那麽 這個數還可以假設為 7m, m為整數,同時滿足關系
7m=60n-1, 整理壹下就是 60n-7m=1 , 因為 60和7互素
因此利用輾轉相除法 60=7*8+4, 7=4*1+3 , 4=3*1+1,
把1提出來, 1=4-3*1=(60-7*8)+(60-7*8)*1-7 = -17*7+2*60, 對比原先式子
得到n=2 , m=17, 此時60n-7m=1成立.
當然這只是其中壹個解, 更進壹步
60n ≡ 1 (mod7) , 與 60n-7m=1 是等價的, 這是顯而易見的
如果 60n除以7的余數不為1, 那麽 60n-7m自然除以7也不余1 , 與 60n-7m =1矛盾
對於同余式60n≡1(mod7) , n 顯然滿足 n=7k+q這樣的結構, 其中k是整數, q滿足60q≡1(mod7), 由最初的討論得知, q=2的時候 是該同余式的壹個特例解. 那麽n的所有解就是n=7k+2 , 假設 存在另外的解 t 使得 t也滿足60t≡1(mod7), 可以證明 (t-n)≡0 (mod7), 也就是說 t也是7k+2這樣的結構 (參照離散數學中同余章節內容)
因此 所有而且也只有 7k+2 這樣形式的數滿足這個式子,也就是說
60(7k+2)-1 , 其中k是整數, 都滿足題幹條件 當k取0得到 最小數為119