A為n階矩陣，且rankA=rankA^2，證明：rankA=rankA^3

設 e1，e2,...,es 是A的壹個對應於特征根r的Jordan塊的壹組基。即：

Aei=rei +e(i+1), i=1,...,s-1; Aes=res.

情形1：

如果 r 非零，則 rank{Ae1,...,Aes} = s = rank{A^3e1,...,A^3es}

情形2：

如果 r=0. 則

rank{Ae1,...,Aes} =rank{e2,...,es，0}= max{s-1,0}

rank{A^2e1,...,A^2es}=rank{e3,...,es，0，0}= max{s-2,0}

因為 rankA = rank A^2, ==> max{s-1,0} =max{s-2,0} ==> s<=1

==> rank{Ae1}=0=rank{A^3e1}

於是把每個Jordan塊的上述的壹組基，合在壹起，稱為 a1,a2,....,an，構成 為R^2的壹組基，

則有： rank A = rank{Aa1,Aa2,....,Aan}

=rank{A^3a1,A^3a2,...,A^3an} ------- 根據上面的證明。

=rankA^3