1．在高速公路上，從3千米處開始，每隔4千米經過壹個限速標誌牌；並且從10千米處開始，每隔9千米經過壹個速度監控儀．剛好在19千米處第壹次同時經過這兩種設施，那麽第二次同時經過這兩種設施的千米數是（ ）.
（A）36 （B）37 （C）55 （D）90
答：C．
解：因為4和9的最小公倍數為36，19＋36＝55，所以第二次同時經過這兩種設施是在55千米處.
故選C．
2．已知 ， ，且 ，則 的值等於（ ）
（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9
答：C．
解：由已知可得 ， ．又
，
所以 ，
解得 ．
故選C．
3．Rt△ABC的三個頂點 ， ， 均在拋物線 上，並且斜邊AB平行於x軸．若斜邊上的高為 ，則（ ）
（A） （B） （C） （D）
答：B．
解：設點A的坐標為 ，點C的坐標為 （ ），則點B的坐標為 ，由勾股定理，得
，
，
，
所以 ．
由於 ，所以 ，故斜邊AB上高 ．
故選B．
4．壹個正方形紙片，用剪刀沿壹條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中壹部分，再沿壹條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之壹，還是沿壹條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分……如此下去，最後得到了34個六十二邊形和壹些多邊形紙片，則至少要剪的刀數是（ ）
（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007
答：B．
解：根據題意，用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開壹次，使得各部分的內角和增加360°．於是，剪過 次後，可得（ ＋1）個多邊形，這些多邊形的內角和為（ ＋1）×360°．
因為這（ ＋1）個多邊形中有34個六十二邊形，它們的內角和為
34×（62－2）×180°=34×60×180°，
其余多邊形有（ ＋1）－34＝ －33（個），而這些多邊形的內角和不少於（ －33）×180°．所以
（ ＋1）×360°≥34×60×180°＋（ －33）×180°，
解得 ≥2005．
當我們按如下的方式剪2005刀時，可以得到符合條件的結論．先從正方形上剪下1個三角形，得到1個三角形和1個五邊形；再在五邊形上剪下1個三角形，得到2個三角形和1個六邊形……如此下去，剪了58刀後，得到58個三角形和1個六十二邊形．再取出33個三角形，在每個三角形上剪壹刀，又可得到33個三角形和33個四邊形，對這33個四邊形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33個六十二邊形和33×58個三角形．於是***剪了
58＋33＋33×58＝2005（刀）．
故選B．
5．如圖，正方形 內接於⊙ ，點 在劣弧 上，連結 ， 交 於點 ．若 ，則 的值為（ ）
（A） （B）
（C） （D）
答：D．
解：如圖，設⊙ 的半徑為 ， ，則 ， ， ．
在⊙ 中，根據相交弦定理，得 ．
即 ，
所以 ．
連結DO，由勾股定理，得
，
即 ，
解得 ．
所以， ．
故選D．
二、填空題（***5小題，每小題6分，滿分30分）
6．已知 ， ， 為整數，且 ＋ ＝2006， ＝2005．若 ＜ ，則 ＋ ＋ 的最大值為 ．
答：5013．
解：由 ＋ ＝2006， ＝2005，得
＋ ＋ ＝ ＋4011．
因為 ＋ ＝2006， ＜ ， 為整數，所以， 的最大值為1002．
於是， ＋ ＋ 的最大值為5013．
7．如圖，面積為 的正方形DEFG內接於面積為1的正三角形ABC，其中a，b，c是整數，且b不能被任何質數的平方整除，則 的值等於 .
答： ．
解：設正方形DEFG的邊長為x，正三角形ABC的邊長為m，則 ．由△ADG ∽ △ABC，可得
作者： 221.13.21.* 2006-5-3 12:29 回復此發言
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2 2006全國初中數學競賽試題及答案（全）
，
解得 ．於是
，
由題意，a＝28，b＝3,c＝48，所以 .
8．正五邊形廣場ABCDE的周長為2000米．甲、乙兩人分別從A，C兩點同時出發，沿A→B→C→D→E→A→…方向繞廣場行走，甲的速度為50米∕分，乙的速度為46米∕分. 那麽，出發後經過 分鐘，甲、乙兩人第壹次開始行走在同壹條邊上．
答：104．
解：設甲走完x條邊時，甲、乙兩人第壹次開始行走在同壹條邊上，此時甲走了400x米，乙走了 米．於是
，
且 ≤ ，
所以， ≤ ＜ ．
故x=13，此時 ．
9．已知 ，且滿足
（ 表示不超過x的最大整數），則 的值等於 ．
答：6．
解：因為 ，所以 ， ，…， 等於0或者1．由題設知，其中有18個等於1，所以
＝ ＝…＝ ＝0，
＝ ＝…＝ ＝1，
所以 ，
≤ ＜ ．
故 ≤ ＜ ，於是 ≤ ＜ ，所以 6．
10．小明家電話號碼原為六位數，第壹次升位是在首位號碼和第二位號碼之間加上數字8，成為壹個七位數的電話號碼；第二次升位是在首位號碼前加上數字2，成為壹個八位數的電話號碼．小明發現，他家兩次升位後的電話號碼的八位數，恰是原來電話號碼的六位數的81倍，則小明家原來的電話號碼是 ．
答：282500．
解：設原來電話號碼的六位數為 ，則經過兩次升位後電話號碼的八位數為 ．
根據題意，有81× ＝ ．
記 ，於是
，
解得 ．
因為 ≤ ≤ ，所以
≤ ＜ ，
故 ＜ ≤ ．
因為 為整數，所以 ＝2．於是
．
所以，小明家原來的電話號碼為282500．
三、解答題（***4題，每小題15分，滿分60分）
11（A）．已知 ， , 為互質的正整數，且 ≤ ， ．
（1）試寫出壹個滿足條件的x；
（2）求所有滿足條件的 ．
解：（1） 滿足條件． ……………………5分
（2）因為 ， , 為互質的正整數，且 ≤ ，所以
，
即
．
當a＝1時， ，這樣的正整數b不存在．
當a＝2時， ，故b＝1，此時 ．
當a＝3時， ，故b＝2，此時 ．
當a＝4時， ，與 互質的正整數b不存在．
當a＝5時， ，故b＝3，此時 ．
當a＝6時， ，與 互質的正整數b不存在．
當a＝7時， ，故b＝3，4，5，此時 ， ， ．
當a＝8時， ，故b＝5，此時 ．
所以，滿足條件的所有分數為 ， ， ， ， ， ， ．
…………………15分
12（A）．設 ， ， 為互不相等的實數，且滿足關系式
①
及 ， ②
求 的取值範圍．
解法1：由①－2×②得
，
所以 ．
當 時，
．
…………………10分
又當 ＝ 時，由①，②得
， ③
， ④
將④兩邊平方，結合③得
，
化簡得
，
故 ，
解得 ，或 ．
所以， 的取值範圍為 且 ， ．
……………15分
解法2：因為 ， ，所以
＝ ＝ ，
所以 ．
又 ，所以 ， 為壹元二次方程
⑤
的兩個不相等實數根，故
，
所以 ．
當 時，
．
…………………10分
另外，當 ＝ 時，由⑤式有
，
即
，或 ，
解得 ，或 ．
所以， 的取值範圍為 且 ， ．
…………………15分
13（A）．如圖，點P為⊙O外壹點，過點P作⊙O的兩條切線，切點分別為A，B．過點A作PB的平行線，交⊙O於點C．連結PC，交⊙O於點E；連結AE，並延長AE交PB於點K． 求證： ．
證明：因為AC‖PB，所以 ．又PA是⊙O的切線，所以 ．故 ，於是
△KPE∽△KAP，
所以 ，
作者： 221.13.21.* 2006-5-3 12:29 回復此發言
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3 2006全國初中數學競賽試題及答案（全）
即 ．
………………5分
由切割線定理得
，
所以， KP＝KB．
…………………10分
因為AC‖PB，所以，△KPE∽△ACE，於是
，
故 ，
即 ．
…………………15分
14（A）．2006個都不等於119的正整數 排列成壹行數，其中任意連續若幹項之和都不等於119，求 的最小值．
解：首先證明命題：對於任意119個正整數 ，其中壹定存在若幹個（至少壹個，也可以是全部）的和是119的倍數．
事實上，考慮如下119個正整數
， ，…， ， ①
若①中有壹個是119的倍數，則結論成立．
若①中沒有壹個是119的倍數，則它們除以119所得的余數只能為1，2，…，118這118種情況．所以，其中壹定有兩個除以119的余數相同，不妨設為 和 （ ≤ ＜ ≤ ），於是
，
從而此命題得證．
…………………5分
對於 中的任意119個數，由上述結論可知，其中壹定有若幹個數的和是119的倍數，又由題設知，它不等於119，所以，它大於或等於2×119，又因為 ，所以
≥ ． ②
…………………10分
取 ，其余的數都為1時，②式等號成立．
所以， 的最小值為3910．
…………………15分
11（B）．已知△ 中， 是銳角．從頂點 向 邊或其延長線作垂線，垂足為 ；從頂點 向 邊或其延長線作垂線，垂足為 ．當 和 均為正整數時，△ 是什麽三角形？並證明妳的結論．
解：設 ， 均為正整數，則
，
所以，mn＝1，2，3．
…………………5分
（1）當mn＝1時， ， ，此時 ．所以 垂直平分 ， 垂直平分 ，於是△ 是等邊三角形．
（2）當mn＝2時， ， ，此時 ，或 ，所以點 與點 重合，或點 與點 重合．故 ，或 ，於是△ 是等腰直角三角形．
（3）mn＝3時， ， ，此時 ，或 ．於是 垂直平分 ，或 垂直平分 ．故 ，或 ，於是△ 是頂角為 的等腰三角形．
…………………15分
12（B）．證明：存在無窮多對正整數 ，滿足方程
．
證法1：原方程可以寫為
，
於是
是完全平方數．
…………………5分
設 ，其中k是任意壹個正整數，則 ．
…………………10分
於是
，或 ．
所以，存在無窮多對正整數 （其中k是正整數）滿足題設方程．
…………………15分
證法2：原方程可寫為
，
所以可設
（x是正整數）， ①
取 ． ②
…………………5分
① －②得
．
令 （y是任意正整數），則 ．
…………………10分
於是
．
所以，存在無窮多對正整數 （其中y是任意正整數）滿足題設方程．
…………………15分
13（B）．如圖，已知銳角△ABC及其外接圓⊙O，AM是BC邊的中線．分別過點B，C作⊙O的切線，兩條切線相交於點X，連結AX．求證： ．
證明：設AX與⊙O相交於點 ，連結OB，OC， ．又M為BC的中點，所以，連結OX，它過點M．
因為 ，所以
． ①
又由切割線定理得
． ②
…………………5分
由①，②得
，
於是
△XMA∽△ ，
所以
．
…………………10分
又 ，所以 ，於是
．
…………………15分
14（B）．10個學生參加n個課外小組，每壹個小組至多5個人，每兩個學生至少參加某壹個小組，任意兩個課外小組，至少可以找到兩個學生，他們都不在這兩個課外小組中．證明：n的最小值為6．
證明：設10個學生為 ，n個課外小組為 ．
首先，每個學生至少參加兩個課外小組．否則，若有壹個學生只參加壹個課外小組，設這個學生為 ，由於每兩個學生都至少在某壹小組內出現過，所以其它9個學生都與他在同壹組出現，於是這壹組就有10個人了，矛盾．
…………………5分
若有壹學生恰好參加兩個課外小組，不妨設 恰好參加 ，由題設，對於這兩組，至少有兩個學生，他們沒有參加這兩組，於是他們與 沒有同過組，矛盾．
所以，每壹個學生至少參加三個課外小組．於是n個課外小組 的人數之和不小於 ＝30．
另壹方面，每壹課外小組的人數不超過5，所以n個課外小組 的人數不超過5n，故
≥ ，
所以 ≥ ．
…………………10分
下面構造壹個例子說明 是可以的．
， ， ，
， ， ．
容易驗證，這樣的6個課外小組滿足題設條件．
所以，n的最小值為6．
…………………15分
回答者：manami - 魔法師 五級 3-18 13:05
提問者對於答案的評價：
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評論者： 移動的紅豆 - 試用期 壹級
真不好呀 都沒有數呀 都是 ，，，。。。。的
評論者： shuaigeyizuwei - 魔法學徒 壹級
不清楚
評論者： houwanl - 試用期 壹級
其他回答*** 1 條
2006年全國初中數學競賽試題參考答案
壹、選擇題（***5小題，每小題6分，滿分30分. 以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有壹個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題後的括號裏. 不填、多填或錯填得零分）
1．在高速公路上，從3千米處開始，每隔4千米經過壹個限速標誌牌；並且從10千米處開始，每隔9千米經過壹個速度監控儀．剛好在19千米處第壹次同時經過這兩種設施，那麽第二次同時經過這兩種設施的千米數是（ ）.
（A）36 （B）37 （C）55 （D）90
答：C．
解：因為4和9的最小公倍數為36，19＋36＝55，所以第二次同時經過這兩種設施是在55千米處.
故選C．
2．已知 ， ，且 ，則 的值等於（ ）
（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9
答：C．
解：由已知可得 ， ．又
，
所以 ，
解得 ．
故選C．
3．Rt△ABC的三個頂點 ， ， 均在拋物線 上，並且斜邊AB平行於x軸．若斜邊上的高為 ，則（ ）
（A） （B） （C） （D）
答：B．
解：設點A的坐標為 ，點C的坐標為 （ ），則點B的坐標為 ，由勾股定理，得
，
，
，
所以 ．
由於 ，所以 ，故斜邊AB上高 ．
故選B．
4．壹個正方形紙片，用剪刀沿壹條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中壹部分，再沿壹條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之壹，還是沿壹條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分……如此下去，最後得到了34個六十二邊形和壹些多邊形紙片，則至少要剪的刀數是（ ）
（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007
答：B．
解：根據題意，用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開壹次，使得各部分的內角和增加360°．於是，剪過 次後，可得（ ＋1）個多邊形，這些多邊形的內角和為（ ＋1）×360°．
因為這（ ＋1）個多邊形中有34個六十二邊形，它們的內角和為
34×（62－2）×180°=34×60×180°，
其余多邊形有（ ＋1）－34＝ －33（個），而這些多邊形的內角和不少於（ －33）×180°．所以
（ ＋1）×360°≥34×60×180°＋（ －33）×180°，
解得 ≥2005．
當我們按如下的方式剪2005刀時，可以得到符合條件的結論．先從正方形上剪下1個三角形，得到1個三角形和1個五邊形；再在五邊形上剪下1個三角形，得到2個三角形和1個六邊形……如此下去，剪了58刀後，得到58個三角形和1個六十二邊形．再取出33個三角形，在每個三角形上剪壹刀，又可得到33個三角形和33個四邊形，對這33個四邊形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33個六十二邊形和33×58個三角形．於是***剪了
58＋33＋33×58＝2005（刀）．
故選B．
5．如圖，正方形 內接於⊙ ，點 在劣弧 上，連結 ， 交 於點 ．若 ，則 的值為（ ）
（A） （B）
（C） （D）
答：D．
解：如圖，設⊙ 的半徑為 ， ，則 ， ， ．
在⊙ 中，根據相交弦定理，得 ．
即 ，
所以 ．
連結DO，由勾股定理，得 ，
即 ，
解得 ．
所以， ．
故選D．
二、填空題（***5小題，每小題6分，滿分30分）
6．已知 ， ， 為整數，且 ＋ ＝2006， ＝2005．若 ＜ ，則 ＋ ＋ 的最大值為 ．
答：5013．
解：由 ＋ ＝2006， ＝2005，得 ＋ ＋ ＝ ＋4011．
因為 ＋ ＝2006， ＜ ， 為整數，所以， 的最大值為1002．
於是， ＋ ＋ 的最大值為5013．
7．如圖，面積為 的正方形DEFG內接於面積為1的正三角形ABC，其中a，b，c是整數，且b不能被任何質數的平方整除，則 的值等於 .
答： ．
解：設正方形DEFG的邊長為x，正三角形ABC的邊長為m，則 ．由△ADG ∽ △ABC，可得 ，
解得 ．於是 ，
由題意，a＝28，b＝3,c＝48，所以 .
8．正五邊形廣場ABCDE的周長為2000米．甲、乙兩人分別從A，C兩點同時出發，沿A→B→C→D→E→A→…方向繞廣場行走，甲的速度為50米∕分，乙的速度為46米∕分. 那麽，出發後經過 分鐘，甲、乙兩人第壹次開始行走在同壹條邊上．
答：104．
解：設甲走完x條邊時，甲、乙兩人第壹次開始行走在同壹條邊上，此時甲走了400x米，乙走了 米．於是 ，
且 ≤ ，
所以， ≤ ＜ ．
故x=13，此時 ．
9．已知 ，且滿足 （ 表示不超過x的最大整數），則 的值等於 ．
答：6．
解：因為 ，所以 ， ，…， 等於0或者1．由題設知，其中有18個等於1，所以
＝ ＝…＝ ＝0，
＝ ＝…＝ ＝1，
所以 ，
≤ ＜ ．
故 ≤ ＜ ，於是 ≤ ＜ ，所以 6．
10．小明家電話號碼原為六位數，第壹次升位是在首位號碼和第二位號碼之間加上數字8，成為壹個七位數的電話號碼；第二次升位是在首位號碼前加上數字2，成為壹個八位數的電話號碼．小明發現，他家兩次升位後的電話號碼的八位數，恰是原來電話號碼的六位數的81倍，則小明家原來的電話號碼是 ．
答：282500．
解：設原來電話號碼的六位數為 ，則經過兩次升位後電話號碼的八位數為 ．
根據題意，有81× ＝ ．
記 ，於是
，
解得 ．
因為 ≤ ≤ ，所以 ≤ ＜ ，
故 ＜ ≤ ．
因為 為整數，所以 ＝2．於是
．
所以，小明家原來的電話號碼為282500．
三、解答題（***4題，每小題15分，滿分60分）
11．已知 ， , 為互質的正整數，且 ≤ ， ．
（1）試寫出壹個滿足條件的x；
（2）求所有滿足條件的 ．
解：（1） 滿足條件． ……………………5分
（2）因為 ， , 為互質的正整數，且 ≤ ，所以
，
即
．
當a＝1時， ，這樣的正整數b不存在．
當a＝2時， ，故b＝1，此時 ．
當a＝3時， ，故b＝2，此時 ．
當a＝4時， ，與 互質的正整數b不存在．
當a＝5時， ，故b＝3，此時 ．
當a＝6時， ，與 互質的正整數b不存在．
當a＝7時， ，故b＝3，4，5，此時 ， ， ．
當a＝8時， ，故b＝5，此時 ．
所以，滿足條件的所有分數為 ， ， ， ， ， ， ．
…………………15分
12．設 ， ， 為互不相等的實數，且滿足關系式
①
及 ， ②
求 的取值範圍．
解法1：由①－2×②得
，
所以 ．
當 時，
．
…………………10分
又當 ＝ 時，由①，②得
， ③
， ④
將④兩邊平方，結合③得
，
化簡得
，
故 ，
解得 ，或 ．
所以， 的取值範圍為 且 ， ．
……………15分
解法2：因為 ， ，所以
＝ ＝ ，
所以 ．
又 ，所以 ， 為壹元二次方程
⑤
的兩個不相等實數根，故
，
所以 ．
當 時，
．
…………………10分
另外，當 ＝ 時，由⑤式有
，
即
，或 ，
解得 ，或 ．
所以， 的取值範圍為 且 ， ．
…………………15分
13．如圖，點P為⊙O外壹點，過點P作⊙O的兩條切線，切點分別為A，B．過點A作PB的平行線，交⊙O於點C．連結PC，交⊙O於點E；連結AE，並延長AE交PB於點K． 求證： ．
證明：因為AC‖PB，所以 ．又PA是⊙O的切線，所以 ．故 ，於是
△KPE∽△KAP，
所以 ，
即 ．
………………5分
由切割線定理得
，
所以， KP＝KB．
…………………10分
因為AC‖PB，所以，△KPE∽△ACE，於是
，
故 ，
即 ．
…………………15分
14．2006個都不等於119的正整數 排列成壹行數，其中任意連續若幹項之和都不等於119，求 的最小值．
解：首先證明命題：對於任意119個正整數 ，其中壹定存在若幹個（至少壹個，也可以是全部）的和是119的倍數．
事實上，考慮如下119個正整數
， ，…， ， ①
若①中有壹個是119的倍數，則結論成立．
若①中沒有壹個是119的倍數，則它們除以119所得的余數只能為1，2，…，118這118種情況．所以，其中壹定有兩個除以119的余數相同，不妨設為 和 （ ≤ ＜ ≤ ），於是
，
從而此命題得證．
…………………5分
對於 中的任意119個數，由上述結論可知，其中壹定有若幹個數的和是119的倍數，又由題設知，它不等於119，所以，它大於或等於2×119，又因為 ，所以
≥ ． ②
…………………10分
取 ，其余的數都為1時，②式等號成立．
所以， 的最小值為3910．
…………………15分
參考資料：