我今天要講的題目是幾何級數中前n項的和。對於這個題目，我主要從以下六個方面來闡述。
壹、教材的結構和內容分析:
幾何級數的第壹個N和公式是高二數學第二學期第十三章第五節。授課對象為高二學生，授課時間為2小時。這個班是第壹班。在此之前，學生已經學習了數列的定義、等比級數和等比級數的通式等知識，為過渡到本節做了鋪墊，本節也為以後學習數列的求和、數列的極限奠定了基礎。這節課不僅是本章的重點，也是教材的重點。
從高中數學的整體內容來看，“數列與數學歸納法”這壹章是高中數學的重要內容之壹，在整個高中數學領域中占有重要地位，也發揮著作用。首先，數列有著廣泛的實際應用。比如產品規格設計，節約，分期計算等等。其次，序具有承前啟後的作用。數列是函數的延續，本質上是特殊函數；學習數列為進壹步學習數列極限打下基礎。第三，數列也是培養和提高學生思維能力的好科目。學習數列要經常觀察、分析、猜測，綜合運用以前的知識解決數列中的壹些問題，有利於學生數學能力的提高。
本節的教學重點是幾何級數的前N個和公式及其應用。
教學難點是幾何級數前n項和公式的推導。
二、教學目標分析:
作為壹名數學教師，我們不僅要教給學生數學知識，更重要的是教給學生數學思想和數學意識。根據對上述教材結構和內容的分析，考慮到學生現有認知結構的心理特點，我制定了以下教學目標:
1.知識目標:了解等比數列的前n個和公式的推導方法，掌握等比數列的前n個和公式及其應用。
2.能力目標:培養學生觀察問題、思考問題的能力，以及靈活運用基本概念分析問題、解決問題的能力，鍛煉數學思維能力。
3.情感目標:培養學生學習數學的熱情，培養學生遇到困難不氣餒的堅強意誌和創新精神。
三、學生情況分析:
學生在學習本節之前，已經學習了算術，幾何級數的概念和通式，算術級數的前n項之和的公式。他們有壹定的數學思維方法，能思考接下來的內容，情感上渴望學習新知識。
四、教學方法分析:
教學方法:數學是培養和發展人的思維的重要學科，所以在教學中，不僅要讓學生“知其所以然”，還要讓學生“知其所以然”。為了體現以學生發展為本的原則，遵循學生的認知規律，體現循序漸進、啟發式教學的原則，我進行了這樣的教學設計:在教師的指導下，創設情景，通過開放性問題的設置啟發學生思考，在思維中體驗數學概念形成過程中所蘊含的數學。
這節課將采用“多媒體優化組合-動機-發現”的教學模式。這種模式能夠主動整合教學過程中的所有要素，如教師、學生、教材、教學方法等，創造最佳的教學氛圍。主要包括啟發式講解、互動討論、研究探索和反饋評價。
學習方式:根據二期課改精神，改變學生的學習方式也是本次課改的重要內容。作為基礎教育的核心學科之壹，改變學生的數學學習方式，變學生的被動接受學習為主動參與學習，不僅有利於提高學生的整體數學素養，也有利於促進學生整體學習方式的轉變。在課堂結構上，我根據學生的認知水平，設計了(1)創設情景(2)觀察歸納(3)討論研究(4)即時訓練(5)總結反思(6)任務延續，六個層次的學習方法，環環相扣，層層深入，順利完成了教學目的。自主探索，觀察發現，類比猜想，合作交流。
教學手段，利用多媒體和POWERPOINT軟件輔助教學。
五、教學程序設計:
1，創建壹個場景:
由於資金短缺，壹家公司決定向銀行貸款。雙方約定，三年內，公司每月向銀行借款65438+萬元。為了償還本金和利息，該公司第壹個月向銀行償還654.38+00元，第二個月償還20元，第三個月償還40元。即每月還款額是上個月的兩倍。請問，如果妳是公司經理或者銀行主管，妳會簽這個合同嗎？
這是壹個懸掛的例子，後面的“如果”把學生帶入例子所創設的情境中，讓學生直接參與到“市場經濟”中。根據心理學，情境具有暗示功能。在暗示作用下，學生自覺或不自覺地參與情境中的角色，這樣他們的學習積極性和思維活動就會被極大地調動起來。
以這種方式引入主題有以下優點:
(1)利用學生的好奇心，以壹個實際問題為切入點，便於調動學生學習本課的興趣和積極性。
(2)在實際情境中學習，可以使學生利用已有的知識和經驗，對正在學習的新知識進行同化和索引，使獲得的知識不僅易於保持，而且易於遷移到不熟悉的問題情境中。
(3)問題內容與本節課教學內容的主題和重點密切相關。
(4)有利於知識的遷移，使學生清楚地了解知識的實際應用。
在老師的指導下，學生根據自己的知識和經驗，很快建立了兩個幾何級數的數學模型。數列{an}是以100000為第壹項，以1為公比的幾何級數，即壹個常數數列。數列{bn}是以10為第壹項，以2為公比的幾何級數。
當同學們急著求這兩個數列的和的時候，題目的引入也就自然而然的來了。教師的啟蒙從特殊到壹般，從具體到抽象，正式引入主題。
2、講授新課:
這節課主要有兩個內容，幾何級數第壹個N項求和公式的推導和幾何級數第壹個N項求和公式及其應用。幾何級數的前n項和公式的推導是這節課的難點。依據如下:
(1)從認知領域來說，在陳述性知識、程序性知識、策略性知識的分類中，屬於學生需求最高層次的掌握策略和方法的策略知識。
(2)就學科知識而言，演繹屬於學科邏輯中的“瓶頸”。突破這個“瓶頸”，將解決以下問題。
(3)從心理上講，學生對該學習內容的熟悉程度不高，原有知識薄弱，難以理解。
這裏說的是如何利用多媒體激發和啟發學生的思維，突破教材難點。
幾何級數有兩種:公比q=1和公比q 1。
當q=1時，Sn=na1。
當q 1時，sn = a1+a1q+...+a1qn-1 =
Q 1，Sn的結果是怎麽推導出來的？這是這節課的難點。
預習過教材的同學會知道結果和推導過程，但不知道為什麽。可以說，大多數學生很難根據自己的知識和經驗推導出這個公式。
這時候可以讓學生先思考。如果用數學中“從特殊到壹般”的數學思維方法，是否能更接近這個結果？
我們很容易得出以下結論:
S1=a1，
S2 = a 1+a2 = a 1+a 1q = a 1(1+q)
S3 = a 1+a2+a3 = a 1+a 1q+a 1q 2 = a 1(1+q+Q2)
……
sn = a 1+a2+……+an = a 1(1+q+Q2+……+qn-1)
很多同學可能會按照這個公式來思考。
a 1(1+q+Q2+……+qn-1)= a 1(1+q+Q2+……+qn-1)(1-q)/(1-q)= a 1
這時候我想給同學們解釋壹下，這種從特殊到壹般，逐步歸納的思維方法是很好的，是我們解決數學問題經常用到的方法。那麽我們要指出，在這個階段，我們無法證明這個過程，所以它的給予是不嚴格的。這不僅使學生重新認識到數學最基本的特點和嚴密的邏輯。也為以後學習二項式展開的內容埋下了伏筆。
在這壹點上，現階段僅僅從形式上系統嚴密地證明歸納是不可能的，只能在思考的過程中另辟蹊徑。所以，我們要復習等差數列的求和公式，借助推導等差數列求和公式的思維方法，找到壹種推導等比數列前n項和公式的方法！
讓學生回憶等差數列前n項和公式的推導過程。
可以發現，當時我們把a1和an，a2和an-1的位置互換，都是首尾等距，得到了Sn的反和形式。然後將兩個公式相加。這樣2Sn就是壹個有n項的常數序列，每項都是a1+an。從而導出了Sn的公式。
等差數列求和法是根據等差數列的特點和學生的知識結構和認知水平。形式上，是反向加法。本質上就是消除數列中項之間的差異，用相同的項構造壹個新的常數數列，然後根據常數數列的和推導出Sn的公式。它的本質特征是等差數列從第二項開始每多壹項D。
那麽幾何級數可以用類似的方法構造壹個常數級數或者部分常數級數嗎？讓學生自己嘗試。結果如何？
這時候學生自然會逆向思維。結果顯然不可行。
這時候老師的主要任務就是讓學生的思維快速發散——擺脫逆序加法的固定模式。抓住學生急於解決這個問題的心理，及時通過媒體進行啟發。老師要告訴學生，構造壹個常數級數或常數級數的壹部分的想法是正確的。既然逆序不行，有沒有其他方法構造常數序列？
然後，從幾何級數的定義出發，引導學生深入了解幾何級數。從第二項開始，每壹項都是前壹項的Q倍，也就是說，每壹項乘以Q後，就成了它的後壹項。那麽，當Sn的和兩邊同時乘以Q時，q Sn的和中的第壹項就是Sn的第二項，這就造成了Sn和q Sn之間的錯位。能否由兩個和構造壹個常數序列的和或壹個常數序列的壹部分？加起來怎麽樣？顯然不是！妳會減法嗎？很明顯。
q Sn減去Sn後得到N-1的所有項都為0的常數序列。當我們找到這個恒常序列，難度就被打破了，Sn的導出也就容易了，這節課的認知目標也就基本達到了。
為了加深理解，此時也要對等差數列求和公式的推導過程進行類比分析:
兩個級數求和的基本思想是構造壹個常數級數，構造壹個常數級數的思想也是其他級數求和的基本思想。在構造常數級數的過程中，幾何級數采用了“錯位減法”，而算術級數采用了“逆向加法”，本質上是“錯位加法”，是大範圍的“錯位加法”，而幾何級數只是小範圍的“錯位加法”，步長為1。說明在Sn的求和公式中，兩邊同時乘以q是解題的關鍵——構造常數數列的關鍵，導出等比數列求和公式的關鍵。
所以這兩個數列求和公式的推導方法在數學思想和方法上是壹致的，但也有不同，即錯位的方法不同。也正是因為這種差異，老師有了更大的教學空間。當教師帶領學生走出“逆序加法”的思維定式時，學生數學思維的深刻性、廣泛性等思維品質得到提高，思維品質和思維能力得到提高。這樣，這節課的認知目標和質量目標基本達到了。
公式推導出來後，要說明公式的特點，讓學生記住。同時，應說明公式的另壹種表達方式和應用中的註意事項。幫助學生理解其形式和實質，明確其內涵和外延，為靈活運用公式奠定基礎。
用求和公式，讓學生親自計算所舉例子中的錢數。從計算結果中，讓學生知道實際問題的解決離不開數學，在市場經濟中必須有敏銳的數學頭腦。
3.舉例說明。
我們在舉例說明的時候，不僅僅是怎麽解，還有為什麽解。及時總結解題方法和規律，有助於發展學生的思維能力。本課程中有兩種類型的示例:
1)幾何級數對知三求二問題的解法。
例:求幾何級數第壹項為2，公比為2的前八項之和，第五項的值。
還有書中的例4。
2)實際應用題。
例:某糖廠在1年生產50000噸糖。如果年均產量比上年增加10%，從1年算起，幾年後總產量可以達到30萬噸(預留到壹個地方)？
這種設置主要基於:
(1)例題與教學大綱規定的教學目標和任務以及本節課的重點和難點有對應的匹配關系。
(2)遵循鞏固的原則和教學-反饋-再教學的教學體系的思想來樹立這樣的榜樣。
(3)應用題更適合測試智力技能，有利於數學能力的提高。同時可以保持學生後半段學習的興趣和主動性。
4.形成練習:
範例處理後，設置壹組形成性練習，作為本課的實時測試。習題基本都是直接用公式求和，按照由易到難、由簡單到復雜的認知規律和心理特點設計三個習題，有利於提高學生的積極性。學生練習時，老師巡視，觀察學習情況，及時得到反饋。表揚和鼓勵學生習題中獨特的解法，對偶爾出現的錯誤進行辨析和糾正。通過形成性練習，培養學生的適應能力和舉壹反三的能力，逐步形成技能。
5.課程總結
本課總結如下:
(1)等比級數的前n項和公式
(2)公式的推導方法——錯位減法。
(3)求和的思想——構造常數級數或部分常數級數。
通過師生總結，充分發揮學生的主體作用，有助於學生鞏固知識，培養歸納概括能力。進壹步完成認知目標和質量目標。
最後，古印度國王西拉木和象棋發明者的故事結束了。發明家要求國王把1粒谷物放在他棋盤上的64個方格中，第二個方格2粒，第三個方格4粒，第四個方格8粒...應該給發明者多少粒？讓學生感受數學的奇妙，激發他們學習數學的熱情。
布置家庭作業
根據學生素質的差異，分層次培養，既能幫助學生掌握基礎知識，又能提高有余力的學生，從而達到拔尖和“減負”的目的。
也可以布置相應的研究作業，思考如何用其他方法推導幾何級數的前n項和公式，加深學生對這個知識點的理解。
第六，教學評價與反饋:
根據高二學生的心理特點、教材內容、因材施教的原則和啟發性的教學思路，我在這節課中采用的是規則學習和問題解決的策略，即“案例-公式-應用”，案例是淺層要求，讓學生有個大概的印象。公式是中級要求，由淺入深，重點難點集中推導講解，便於突破。應用是壹個全面的要求。要多角度、多情境的消化鞏固所學內容，反饋驗證本節教學目標的落實情況。
其中，案例是基礎，讓學生感知教材；公式是讓學生理解課本的關鍵；實踐即應用，讓學生鞏固知識，舉壹反三。
三步教學中，啟發性問題層層推演，輔以學生小組討論，充分利用板書、電腦課件等直觀完整的教具，改變教師講、學生聽的填鴨式教學模式，充分體現了學生是主體，教師教學為學生服務的思想。而且學生用“案例-公式-應用”從簡單到深入，從感性到理性，從直觀到抽象。