古今中外，許多人致力於圓周率的研究與計算。為了計算出圓周率的越來越好的近似值，壹代代的數學家為這個神秘的數貢獻了無數的時間與心血。十九世紀前，圓周率的計算進展相當緩慢，十九世紀後，計算圓周率的世界紀錄頻頻創新。整個十九世紀，可以說是圓周率的手工計算量最大的世紀。進入二十世紀，隨著計算機的發明，圓周率的計算有了突飛猛進。借助於超級計算機，人們已經得到了圓周率的2061億位精度。歷史上最馬拉松式的計算，其壹是德國的Ludolph Van Ceulen，他幾乎耗盡了壹生的時間，計算到圓的內接正262邊形，於1609年得到了圓周率的35位精度值，以至於圓周率在德國被稱為Ludolph數；其二是英國的William Shanks，他耗費了15年的光陰，在1874年算出了圓周率的小數點後707位。可惜，後人發現，他從第528位開始就算錯了。把圓周率的數值算得這麽精確，實際意義並不大。現代科技領域使用的圓周率值，有十幾位已經足夠了。如果用Ludolph Van Ceulen算出的35位精度的圓周率值，來計算壹個能把太陽系包起來的壹個圓的周長，誤差還不到質子直徑的百萬分之壹。以前的人計算圓周率，是要探究圓周率是否循環小數。自從1761年Lambert證明了圓周率是無理數，1882年Lindemann證明了圓周率是超越數後，圓周率的神秘面紗就被揭開了。現在的人計算圓周率, 多數是為了驗證計算機的計算能力，還有，就是為了興趣。
圓周率的計算方法
古人計算圓周率，壹般是用割圓法。即用圓的內接或外切正多邊形來逼近圓的周長。Archimedes用正96邊形得到圓周率小數點後3位的精度；劉徽用正3072邊形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen用正262邊形得到了35位精度。這種基於幾何的算法計算量大，速度慢，吃力不討好。隨著數學的發展，數學家們在進行數學研究時有意無意地發現了許多計算圓周率的公式。下面挑選壹些經典的常用公式加以介紹。除了這些經典公式外，還有很多其它公式和由這些經典公式衍生出來的公式，就不壹壹列舉了。
1、 Machin公式
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這個公式由英國天文學教授John Machin於1706年發現。他利用這個公式計算到了100位的圓周率。Machin公式每計算壹項可以得到1.4位的十進制精度。因為它的計算過程中被乘數和被除數都不大於長整數，所以可以很容易地在計算機上編程實現。
Machin.c 源程序
還有很多類似於Machin公式的反正切公式。在所有這些公式中，Machin公式似乎是最快的了。雖然如此，如果要計算更多的位數，比如幾千萬位，Machin公式就力不從心了。下面介紹的算法，在PC機上計算大約壹天時間，就可以得到圓周率的過億位的精度。這些算法用程序實現起來比較復雜。因為計算過程中涉及兩個大數的乘除運算，要用FFT(Fast Fourier Transform)算法。FFT可以將兩個大數的乘除運算時間由O(n2)縮短為O(nlog(n))。
2、 Ramanujan公式
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1914年，印度數學家Srinivasa Ramanujan在他的論文裏發表了壹系列***14條圓周率的計算公式，這是其中之壹。這個公式每計算壹項可以得到8位的十進制精度。1985年Gosper用這個公式計算到了圓周率的17,500,000位。
1989年，David & Gregory Chudnovsky兄弟將Ramanujan公式改良成為：
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這個公式被稱為Chudnovsky公式，每計算壹項可以得到15位的十進制精度。1994年Chudnovsky兄弟利用這個公式計算到了4,044,000,000位。Chudnovsky公式的另壹個更方便於計算機編程的形式是：
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3、AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法
Gauss-Legendre公式：
初值：/images/200503/pic_247051.gif
重復計算：/images/200503/pic_247052.gif
最後計算：/images/200503/pic_247053.gif
這個公式每叠代壹次將得到雙倍的十進制精度，比如要計算100萬位，叠代20次就夠了。1999年9月Takahashi和Kanada用這個算法計算到了圓周率的206,158,430,000位，創出新的世界紀錄。
4、Borwein四次叠代式：
初值：/images/200503/pic_247054.gif
重復計算： /images/200503/pic_247055.gif
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最後計算：/images/200503/pic_247057.gif
這個公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein於1985年發表，它四次收斂於圓周率。
5、 Bailey-Borwein-Plouffe算法
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這個公式簡稱BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe於1995年***同發表。它打破了傳統的圓周率的算法，可以計算圓周率的任意第n位，而不用計算前面的n-1位。這為圓周率的分布式計算提供了可行性。1997年，Fabrice Bellard找到了壹個比BBP快40％的公式：
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