以運動的觀點探究幾何圖形的變化規律問題，稱之為動態幾何問題，隨之產生的動態幾何試題就是研究，在幾何圖形的運動中，伴隨著出現壹定的圖形位置、數量關系的“變”與“不變”性的試題，就其運動對象而言，有點動、線動、面動，就其運動形式而言，有平移、旋轉、翻折、滾動等。
動態幾何型試題題目靈活多變，動中有靜、動靜結合，能夠在運動變化中發展學生空間想象能力，綜合分析能力，是近幾年中考命題的熱點。下面以06、07年各地中考題為例，將動態幾何問題進行分類分析。
題型壹：點動型
點動型就是在三角形、矩形、梯形等壹些幾何圖形上，設計壹個或幾個動點，並對這些點在運動變化的過程中產生的等量關系、變量關系、圖形的特殊狀態、圖形間的特殊關系等進行研究。
1.單動點型
例1（2007年遼寧十二市）如圖， 已知等邊三角形ABC中，點D，E，F分別為邊AB，AC，BC的中點，M為直線BC上壹動點，△DMN為等邊三角形（點M的位置改變時， △DMN也隨之整體移動） ．
（1）如圖①，當點M在點B左側時，請妳判斷EN與MF有怎樣的數量關系？點F是否在直線NE上？都請直接寫出結論，不必證明或說明理由；
（2）如圖②，當點M在BC上時，其它條件不變，（1）的結論中EN與MF的數量關系是否仍然成立?若成立，請利用圖②證明；若不成立，請說明理由；
（3）若點M在點C右側時，請妳在圖③中畫出相應的圖形，並判斷（1）的結論中EN與MF的數量關系是否仍然成立?若成立?請直接寫出結論，不必證明或說明理由．
練習1（2007年福州市）如圖，直線AC‖BD，連結AB，直線AC，BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個部分，規定：線上各點不屬於任何部分．當動點P落在某個部分時，連結PA，PB，構成∠PAC，∠APB，∠PBD三個角．（提示：有公***端點的兩條重合的射線所組成的角是0°角．）
（1）當動點P落在第①部分時，求證：∠APB =∠PAC +∠PBD；
（2）當動點P落在第②部分時，∠APB =∠PAC +∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？
（3）當動點P落在第③部分時，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關系，並寫出動點的具體位置和相應的結論．選擇其中壹種結論加以證明．
練習2（2006年綿陽市）在正方形ABCD中，點P是CD上壹動點，連結PA，分別過點B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分別為E、F，如圖①．
（1）請探索BE、DF、EF這三條線段長度具有怎樣的數量關系．若點P在DC 的延長線上（如圖②），那麽這三條線段的長度之間又具有怎樣的數量關系？若點P在CD 的延長線上呢（如圖③）？請分別直接寫出結論；
（2）請在（1）中的三個結論中選擇壹個加以證明．
解決此類動點幾何問題常常用的是“類比發現法”，也就是通過對兩個或幾個相類似的數學研究對象的異同進行觀察和比較，從壹個容易探索的研究對象所具有的性質入手，去猜想另壹個或幾個類似圖形所具有的類似性質，從而獲得相關結論。類比發現法大致可遵循如下步驟：（1）根據已知條件，先從動態的角度去分析觀察可能出現的情況。（2）結合某壹相應圖形，以靜制動，運用所學知識（常見的有三角形全等、三角形相似等）得出相關結論。（3）類比猜想出其他情況中的圖形所具有的性質。
2.雙動點型
例2（2007聽哈爾濱市）如圖1，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交於點E，AF平分∠BAC，交BD於點F．
（1）求證：；
（2）點C1從點C出發，沿著線段CB向點B運動（不與點B重合），同時點A1從點A出發，沿著BA的延長線運動，點與的運動速度相同，當動點停止運動時，另壹動點A1也隨之停止運動．如圖2，A1F1平分∠BA1C1，交BD於點F1，過點F1作F1E1⊥A1C1，垂足為E1，請猜想E1F1，與AB三者之間的數量關系，並證明妳的猜想；
（3）在（2）的條件下，當A1E1=3，C1E1=2時，求BD的長．
3.多動點型
例3（2006年眉山市）如圖，∠MON = 90°，在∠MON的內部有壹個正方形AOCD，點A、C分別在射線OM、ON上，點B1是ON上的任意壹點，在∠MON的內部作正方形AB1C1D1.
（1）連結D1D，求證：∠ADD1 = 90°；
（2）連結CC1，猜壹猜，∠C1CN的度數是多少？並證明妳的結論；
（3）在ON上再任取壹點B2，以AB2為邊，在∠MON的內部作正方形AB2C2D2，觀察圖形，並結合（1）、（2）的結論，請妳再做出壹個合理的判斷.
練習（2007年宜昌市）如圖1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6. △ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，連接AE，AC和BE相交於點O.
（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，說明理由；
（2）如圖2，P是線段BC上壹動點（圖2），（不與點B、C重合），連接PO並延長交線段AE於點Q，QR⊥BD，垂足為點R.
①四邊形PQED的面積是否隨點P的運動而發生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積；
②當線段BP的長為何值時，△PQR與△BOC相似？
通過上述例題可以發現，雙動點的題型可以轉化為單動點題型求解，關鍵是抓準決定整道題的那個關鍵的動點，從而將問題轉化.
題型二：線動型
1.線平移型
例4（2007年樂山市）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．直角尺的直角頂點P在AD上滑動時（點P與A，D不重合），壹直角邊經過點C，另壹直角邊AB交於點E．我們知道，結論“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．
（1）當∠CPD=30°時，求AE的長；
（2）是否存在這樣的點P，使△DPC的周長等於△AEP周長的2倍？若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由．
2.線旋轉型
例5（2006年衡陽市） 已知：如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1， ，對角線AC、BD交於O點，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC、AD於點E、F.
(1)證明：當旋轉角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形；
(2)試說明在旋轉過程中，線段AF與EC總保持相等；
(3)在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能，請說明理由；如果能，說明理由並求出此時AC繞點O順時針旋轉的度數.
線動實質就是點動，即點動帶動線動，進而還會產生面動，因而線動型幾何問題可以通過轉化成點動型問題來求解.解決此類題的關鍵是要把握圖形運動與變化的全過程，抓住其中的等量關系和變量關系.從運動變化得圖形的特殊位置，進而探索出壹般的結論或者從中獲得解題啟示，這種由特殊到壹般的思想對我們解決運動變化問題是極為重要的.
題型三：圖動型圖形的運動變換主要有平移、旋轉和翻折這三種基本變換。主要是對給定的圖形（或其壹部分）實行某種位置變化，然後在新的圖形中分析有關圖形之間的關系，這類問題常與探究性、存在性等結合在壹起，考察學生動手能力、觀察能力、探索與實踐能力.
1.圖形平移型
例6（2007年河北省）ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長線於點G．壹等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，壹條直角邊與AC邊在壹條直線上，另壹條直角邊恰好經過點B．
（1）在圖1中請妳通過觀察、測量BF與CG的長度，猜想並寫出BF與CG滿足的數量關系，然後證明妳的猜想；
（2）當三角尺沿AC方向平移到圖2所示的位置時，壹條直角邊仍與AC邊在同壹直線上，另壹條直角邊交BC邊於點D，過點D作DE⊥BA於點E．此時請妳通過觀察、測量DE、DF與CG的長度，猜想並寫出DE＋DF與CG之間滿足的數量關系，然後證明妳的猜想；
（3）當三角尺在（2）的基礎上沿AC方向繼續平移到圖3所示的位置（點F在線段AC上，且點F與點C不重合）時，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說明理由）
圖形平移實質上就是線的平移，線的平移會產生相似圖形，所以這類問題解題的關鍵思路是利用相似得到待求量之間的關系。本題是壹道利用三角板為背景設計的題目，求解時壹定要了解三角板的特性，使求解難度降低，通過求解我們還可以看出，三角板通過適當的操作能變幻出許多精彩的中考數學試題，近兩年的中考中就頻頻出現此類問題。
2.圖形旋轉型
例7（2007年臨沂市）
如圖1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把壹塊含30°角的三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉.
⑴在圖1中，DE交AB於M，DF交BC於N.
①證明DM＝DN；
②在這壹過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發生變化？若發生變化，請說明是如何變化的？若不發生變化，求出其面積；
⑵繼續旋轉至如圖2的位置，延長AB交DE於M，延長BC交DF於N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
⑶繼續旋轉至如圖3的位置，延長FD交BC於N，延長ED交AB於M，DM＝DN是否仍然成立？若成立，請寫出結論，不用證明.
練習1（2006年常德市）把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在壹起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉，設射線DE與射線AB相交於點P，射線DF與線段BC相交於點Q．
（1）如圖1，當射線DF經過點B，即點Q與點B重合時，易證△APD∽△CDQ．此時，AP·CQ＝ ；
（2）將三角板DEF由圖9所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉，設旋轉角為α，其中0°＜α＜90°，問AP·CQ的值是否改變？說明妳的理由；
（3）在（2）的條件下，設CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數關系式．（圖2，圖3供解題用）
練習2（2007年資陽市）如圖1，已知P為正方形ABCD的對角線AC上壹點(不與A、C重合)，PE⊥BC於點E，PF⊥CD於點F.
(1) 求證：BP=DP；
(2) 如圖2，若四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉，在旋轉過程中是否總有BP=DP？若是，請給予證明；若不是，請用反例加以說明；
(3) 試選取正方形ABCD的兩個頂點，分別與四邊形PECF的兩個頂點連結，使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉的過程中長度始終相等，並證明妳的結論 .
練習3（2007年揚州市）如圖，正方形ABCD繞點A逆時針旋轉n°後得到正方形AEFG，邊EF與CD交於點O．
（1）以圖中已標有字母的點為端點連結兩條線段（正方形的對角線除外），要求所連結的兩條線段相交且互相垂直，並說明這兩條線段互相垂直的理由；
（2）若正方形的邊長為2cm，重疊部分（四邊形AEOD）的面積為，求旋轉的角度n．
解：（1）我連結的兩條相交且互相垂直的線段是______和______．
理由如下：
圖形的旋轉實質就是線的旋轉，也可抓住旋轉圖形和不變圖形的交點，轉化成動點問題先動後靜來求解.
3.圖形翻折型
例8（2007年濟寧市）如圖，先把壹矩形ABCD紙片對折，設折痕為MN，再把B點疊在折痕線上，得到△ABE.過B點折紙片使D點疊在直線AD上，得折痕PQ.
(1)求證：△PBE∽△QAB；
(2)妳認為△PBE和△BAE相似嗎？如果相似給出證明，如不相似請說明理由；
(3)如果沿直線EB折疊紙片，點A是否能疊在直線EC上？為什麽？
練習1（2007年孝感市）在我們學習過的數學教科書中，有壹個數學活動，其具體操作過程是：
第壹步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）；
第二步：再壹次折疊紙片，使點A落在EF上，並使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖2）.
圖1 圖2
請解答以下問題：
（1）如圖1，若延長MN交BC於P，△BMP是什麽三角形？請證明妳的結論；
（2）在圖2中，若AB=a，BC=b，a、b滿足什麽關系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結論的三角形紙片BMP ？
（3）設矩形ABCD的邊AB=2，BC=4，並建立如圖3所示的直角坐標系. 設直線BM′為y=kx，當∠M′BC=60°時，求k的值.此時，將△ABM′沿BM′折疊，點A是否落在EF上（E、F分別為AB、CD中點）？為什麽？
圖3
練習2（2007年臺州市）如圖，四邊形OABC是壹張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊，使點B落在邊OA的點D處．已知折痕，且．
（1）判斷△OCD與△ADE是否相似？請說明理由；
（2）求直線CE與x軸交點P的坐標；
（3）是否存在過點D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式並畫出相應的直線；如果不存在，請說明理由．
圖形翻折實際上是軸對稱變換，變換前後的對應線段相等、對應角相等。常常與角平分線、線段垂直平分線、等腰三角形的高相聯系。解決旋轉、平移、翻折的動態幾何問題關鍵是結合直角三角形或全等三角形或相似三角形的有關知識，全面尋找圖形運動過程中的不變量。
例9（2007義烏）如圖1，小明將壹張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片（如圖2），量得他們的斜邊長為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，但點B、C、F、D在同壹條直線上，且點C與點F重合（在圖3至圖6中統壹用F表示）
圖1 圖2 圖3
小明在對這兩張三角形紙片進行如下操作時遇到了三個問題，請妳幫助解決.
（1）將圖3中的△ABF沿BD向右平移到圖4的位置，使點B與點F 重合，請妳求出平移的距離；
（2）將圖3中的△ABF繞點F順時針方向旋轉30°到圖5的位置，A1F交DE於點G，請妳求出線段FG的長度；
（3）將圖3中的△ABF沿直線AF翻折到圖6的位置，AB1交DE於點H，請證明：AH＝DH.
圖4 圖5 圖6
本題是圍繞圖形的翻折、平移、旋轉設計的壹道綜合題，不但考察學生對翻折、平移、旋轉的性質、三角形全等的判定和性質等基礎知識的掌握程度，而且還考察了學生們的綜合運用能力.
解決運動型試題需要用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運動與變化的全過程，抓住其中的等量關系和變量關系，並特別關註壹些不變量和不變關系或特殊關系.