則3sinp+4cosp=a
即3/√(3^2+4^2)sinp+4/√(3^2+4^2)cosp=a/√(3^2+4^2)
即3/5sinp+4/5cosp=a/5
令3/5=cosФ，4/5=sinФ（顯然0<Ф<π/2）
則有cosФsinp+sinФcosp=a/5
即有sin(p+Ф)=a/5（I）
同理有sin(q+Ф)=a/5（II）
由（I）（II）有sin(p+Ф)=sin(q+Ф)
即sin(p+Ф)-sin(q+Ф)=0
即2cos[(p+q)/2+Ф]sin[(p-q)/2]=0
因p≠q，且0<(p-q)/2<π，則sin[(p-q)/2]≠0
得cos[(p+q)/2+Ф]=0
而0<(p+q)/2<2π，則0<Ф<(p+q)/2+Ф<2π+Ф<5π/2
所以(p+q)/2+Ф=π/2或(p+q)/2+Ф=3π/2
於是p+q=π/2-Ф=π/2-arccos3/5=π/2-arcsin4/5
或p+q=3π/2-Ф=3π/2-arccos3/5=3π/2-arcsin4/5
由（I）（II）有
p+Ф=arcsin(a/5)
q+Ф=arcsin(a/5)
相加得p+q+2Ф=2arcsin(a/5)即(p+q)/2+Ф=arcsin(a/5)
由前面的結果知
當(p+q)/2+Ф=π/2時，arcsin(a/5)=π/2即a=5
當(p+q)/2+Ф=3π/2時，arcsin(a/5)=3π/2即a=-5
所以a=±5
2)因cos2x=1-2(sinx)^2，則
方程cos2x+2sinx+2m-3=0即(sinx)^2-sinx+(1-m)=0
如果上述方程sinx無解，則x無解
如果上述方程sinx有兩解，因0≤x<2π，且每個解都滿足-1≤sinx≤1，則每個sinx都對應兩個不同的x值，即x有四個解
所以要保證在[0,2π)上恰有兩個相異的x的實數根，上述關於sinx的方程有且只能有壹個滿足-1≤sinx≤1的解，分兩種情況：
（1）當上述方程只有壹個sinx的解，則必有⊿=4m-3=0，即m=3/4
此時sinx=1/2，滿足-1≤sinx≤1
（2）當上述方程有兩個sinx的解，但只有壹個滿足-1≤sinx≤1。不妨先解出sinx=[1-√(4m-3)]/2或sinx=[1+√(4m-3)]/2
當-1≤[1-√(4m-3)]/2≤1時，3/4<m≤3
當-1≤[1+√(4m-3)]/2≤1時，3/4<m≤1
如果sinx=[1-√(4m-3)]/2滿足-1≤sinx≤1，則sinx=[1+√(4m-3)]/2不滿足-1≤sinx≤1，此時1<m≤3
如果sinx=[1+√(4m-3)]/2滿足-1≤sinx≤1，則sinx=[1-√(4m-3)]/2不滿足-1≤sinx≤1，此時無m存在
綜上知使得方程在[0,2π)上恰有兩個相異的x的實數根的m的取值範圍為{3/4}U(1，3]