數學主要以函數為研究對象,而函數極值無論在初等數學還是在高等數學裏都是函數部分的壹個重要問題，下文是函數求極值的方法，希望對同學們有幫助！
壹、利用二次方程的判別式求極值
在求某壹類分式函數的極值時，若其分子或分母是關於x的二次式，可將其變為關於x的壹元二次方程，根據x在實數範圍內有解，由判別式求的。
例1、求函數y=求函數極值的若幹方法 的極值。
解：將原函變形為關於x的二次方程
(y-1)x 求函數極值的若幹方法 -2yx-3y=0
∵x∈R，且x≠3，x≠-1，
∴上方程在實數範圍內壹定有解。
△= (-2y) 求函數極值的若幹方法 -4 (-3y)(y-1)= 4y(4y-3)≥0
解之得 y≤0 或 y≥ 求函數極值的若幹方法
這裏雖然y無最大（小）值，但對應於y=0和y= 求函數極值的若幹方法 的x分別為x=0和x=-3，
所以當x=0時，y有極大值0，當x=-3時，y有極小值 求函數極值的若幹方法 。
例2、求函數y= 求函數極值的若幹方法 的值域。
解：將原函數變形得：y+yx 求函數極值的若幹方法 =2x
∵x∈R，∴△= 4-4y 求函數極值的若幹方法 ≥0，解之得：-1≤y≤1
∴函數y= 求函數極值的若幹方法 值域為[-1，1]
由上面兩例可以看出，用二次方程的判別式求函數的極值時，實際上就是將y看作x的系數，利用函數的定義域非空，即方程有解，將問題轉化為解壹元二次不等式。但要註意的是：在變型過程中，可能會將x的取值範圍擴大，但所求函數的極值壹定在不等式的解集內，此時，要註意檢驗，即招2出y取極值時的x是否有意義，若無意義必須舍去，再重新考慮其極值。
二、利用倒數關系求極值
對於有些分式函數，當其分子不含變量時，可由分母的極值來求整個函數的極值。
例3、求函數y=2- 求函數極值的若幹方法 的最小值。
解：∵x 求函數極值的若幹方法 -2x+6 = (x-1) 求函數極值的若幹方法 +5＞0
∴函數的定義域為壹切實數， 又由 x 求函數極值的若幹方法 -2x+6=(x-1) 求函數極值的若幹方法 +5 知
當x=1時， 求函數極值的若幹方法 取最小值 求函數極值的若幹方法 ,
∴ 求函數極值的若幹方法 取最大值 求函數極值的若幹方法 ,
此時 y=2- 求函數極值的若幹方法 取最小值 2- 求函數極值的若幹方法 ,
即 當x=1時，有y的最小值是 2- 求函數極值的若幹方法 。
三、利用重要不等式求極值
對於壹類各項積為定值，且每壹項的符號相等的函數極值，可考慮用重要不等式解決。
例4、求函數y=4x+ 求函數極值的若幹方法 的極值。
解：顯然函數的定義域為不等於零的壹切實數。
(1) 當x＞0時，y = 4x+ 求函數極值的若幹方法 ≥2 求函數極值的若幹方法 =2 求函數極值的若幹方法 =12
∴當4x = 求函數極值的若幹方法 時, 即x = 求函數極值的若幹方法 時, y有極小值12.
(2)當x＜0時，令x = -t, 則t＞0. y = 4x+9/x = - (4t+ 求函數極值的若幹方法 )≤-12
∴當x = 求函數極值的若幹方法 時，y有極大值-12 。
在利用重要不等式解題時，壹定要註意必須要求每壹項均為正數，若均為負數時，可提取壹個負號，使括號內每壹項仍為正。上題中若只考慮第壹種情況，就不完全了。
例5、已知l＜0,m＜0，求函數y= 求函數極值的若幹方法 在(0,+∞)上的最大值。
分析：雖然x 求函數極值的若幹方法 ·8x· 求函數極值的若幹方法 =2 求函數極值的若幹方法 為常數，但由x 求函數極值的若幹方法 =8x= 求函數極值的若幹方法 解不出實數x，即無實數解。故由y≥3 求函數極值的若幹方法 =3·8=24得出y的最小值為24的結論是錯誤的，但如能把8x、64/x 求函數極值的若幹方法 各分成相等的m項和n項，設法定出m、n、x，然後再求出y的最小值就行了。
解：設y=x 求函數極值的若幹方法 + 求函數極值的若幹方法 + 求函數極值的若幹方法 +……+ 求函數極值的若幹方法 + 求函數極值的若幹方法 + 求函數極值的若幹方法 + ……+ 求函數極值的若幹方法 ,
(其中 求函數極值的若幹方法 有m項， 求函數極值的若幹方法 有n項)。
即m= 求函數極值的若幹方法 ，n= 求函數極值的若幹方法 時（由x 求函數極值的若幹方法 = 求函數極值的若幹方法 ,x 求函數極值的若幹方法 = 求函數極值的若幹方法 得）,y有最小值,
由2+ 求函數極值的若幹方法 =3· 求函數極值的若幹方法 (x 求函數極值的若幹方法 ·x 求函數極值的若幹方法 =x 求函數極值的若幹方法 )得x 求函數極值的若幹方法 +4x=96,解此方程的唯壹正數解x=2,
此時m = 4, n = 2當時，y的最小值為4+16+8=28（代回去求得）
y≥7 求函數極值的.若幹方法 = 7· 求函數極值的若幹方法 = 7·4=28
四、利用換元法求極值
有些無理函數，往往用以上方法無法求出極值，此時可試用換元法求之。
例6.求函數 y= 求函數極值的若幹方法 -x 在區間[0,1]上的最大值。
解：設 求函數極值的若幹方法 = t，則0≤t≤1,且x = t 求函數極值的若幹方法
∴當t=求函數極值的若幹方法 即x= 求函數極值的若幹方法 時,y取最大值 求函數極值的若幹方法 .
這裏利用了換元法將無理式變形為二次求解，它是求無理函數極值的常用方法，特別是對形如 y=kx+ 求函數極值的若幹方法 的函數, 可令 t= 求函數極值的若幹方法 化為關於的二次函數再利用配方法求得其極值。
例7.求函數y=x 求函數極值的若幹方法 +1+2x(1-x 求函數極值的若幹方法 )的最大值和最小值
解：∵y的定義域為[-1，1]，故可令x=cosθ(0≤θ≤π),
則 y= 求函數極值的若幹方法
= 求函數極值的若幹方法 (其y=中求函數極值的若幹方法 為銳角，且 求函數極值的若幹方法 )
∵-1≤sin(2θ+α)≤1,
∴ 求函數極值的若幹方法 ≤y≤ 求函數極值的若幹方法
當sin( 求函數極值的若幹方法 ) = -1時, 求函數極值的若幹方法
故x = 求函數極值的若幹方法
當sin 求函數極值的若幹方法 時，2 求函數極值的若幹方法
故x = 求函數極值的若幹方法
即當x =- 求函數極值的若幹方法 時, 求函數極值的若幹方法
當x= 求函數極值的若幹方法 時, 求函數極值的若幹方法
此題中抓住了函數的定義域[-1，1]為條件。從而將無理函數轉化為三角函數來得以解決函數的極值問題。
五、用解析法求極值
形如y=求函數極值的若幹方法 其中(f(x)、g(x)是關於的二次式，且二次項系數為1)的函
極值，直接用純代數法非常困難，因為要平方兩次才能去掉根號。但若借助與解析法，將 求函數極值的若幹方法 分別視作平面直角坐標系內兩點的距離，利用平面圖形性質，便可簡捷求解。
例8.求函數y= 求函數極值的若幹方法 的最小值，其中a、b、c均為正數，
解：在直角坐標系內取點C (0, 求函數極值的若幹方法 )、D (c,- 求函數極值的若幹方法 )、M (x,0) 、B (c,0)
則y = 求函數極值的若幹方法 =∣CM∣+∣MD∣
即為M到C、D兩點的距離之和。
由平面圖形性質可知當且僅當C、M、D三點***線時距離之和最短，此時M在Mˊ位置上。
由 △CO Mˊ∽△DBMˊ 得∣OM∣∶∣MˊB∣=∣OC∣∶∣BD∣
即 求函數極值的若幹方法 解之得 x=求函數極值的若幹方法
此時 求函數極值的若幹方法 =∣CD∣= 求函數極值的若幹方法
例9.求函數y= 求函數極值的若幹方法 的值域。
分析y= 求函數極值的若幹方法 = 求函數極值的若幹方法
所以 求函數極值的若幹方法 可看作平面直角坐標系內的點(x,0)到點求函數極值的若幹方法 與點 求函數極值的若幹方法 的距離之差。
解: 在直角坐標系內取點A(- 求函數極值的若幹方法 , 求函數極值的若幹方法 )、點B( 求函數極值的若幹方法 , 求函數極值的若幹方法 )、點M(x,0)
則y= 求函數極值的若幹方法 =∣AM∣-∣BM∣
即為△ABM的兩邊之差，由平面圖形性質知：
∣AM∣-∣BM∣＜∣AB∣=∣ 求函數極值的若幹方法 ∣=1
反之∣BM∣-∣AM∣＜∣AB∣= 1
∴∣y∣＜1
∴-1＜ y ＜1
此法壹般適用於為兩個二次根式的和、差函數，且根號內為二次函數式，此時可通過配方將其變型為平面直角坐標系內兩點之間的距離和與差來計算。這樣既省去了平方計算的麻煩，又使式子具有明顯的幾何意義，從而更方便找出解題方法，將難度較大的問題轉化為較簡單的問題。在解此軸上的點到另兩點的距離和或差，若求和的極值，則當三點***線時有最小值，即為這兩點的距離，若為差，則無極值，此時差的絕對值小於這兩點的距離，從而可求出函數值域。
例10.求函數y= 求函數極值的若幹方法 的值域
分析：此題既是分式函數，又是三角函數，往往用純代數法不易達到目的，
但如果將其看作是點 ( 求函數極值的若幹方法 )與點(3,2)所在直線的斜率，就不難解決了。
解：設xˊ= 求函數極值的若幹方法 ,yˊ=求函數極值的若幹方法 , 則 y= 求函數極值的若幹方法
即為平面直角坐標系內點( 求函數極值的若幹方法 )與(3,2)所在直線的斜率，
又(xˊ, yˊ)在圓 xˊ 求函數極值的若幹方法 + yˊ 求函數極值的若幹方法 = 1 上，
故只要求出點(3,2)與圓上每壹點連線的斜率範圍即可。
設過(3,2)且與圓 xˊ 求函數極值的若幹方法 + yˊ 求函數極值的若幹方法 = 1 相交的直線方程為
yˊ-2=k (xˊ-3) , 即 kxˊ-yˊ- 3k+2 = 0
由點到直線的距離公式知： 求函數極值的若幹方法 = 1,
即(-3k+2) 求函數極值的若幹方法 =1+k 求函數極值的若幹方法 ， 8k 求函數極值的若幹方法 -12k+3 = 0
∴k= 求函數極值的若幹方法
∴當 求函數極值的若幹方法 ≤k≤ 求函數極值的若幹方法 時，直線與圓相交
即函數y=求函數極值的若幹方法 的值域為[ 求函數極值的若幹方法 , 求函數極值的若幹方法 ]
形如f(x) = 求函數極值的若幹方法 函數的值域，可將其看作平面內點( 求函數極值的若幹方法 , 求函數極值的若幹方法 ),（-b,-d）的斜率來解決 ，而點（求函數極值的若幹方法 ）必在二次曲線 求函數極值的若幹方法 = 1上，再利用點(-b,-d)的直線與曲線相交的斜率取值範圍來解決是壹種簡便易行的方法。從上例我們可以看出，上
面函數關系也可看成是：求三元函數，多元函數的最大、最小值問題
我們已經知道求壹元函數極大值、極小值的步驟，對於多元函數的極大值、極小值的求解也可采用同樣的步驟。下面我們給出實際問題中多元函數的極大值、極小值求解步驟。 如下：
a)：根據實際問題建立函數關系，確定其定義域；
b)：求出駐點；
c)：結合實際意義判定最大、最小值.
例題：在平面3x+4y-z=26上求壹點，使它與坐標原點的距離最短。
解答：a)：先建立函數關系,確定定義域
求解與原點的距離最短的問題等價於求解與原點距離的平方最小的問題.但是P點位於所給的平面上，故z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我們所需的函數關系:
-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞
b)：求駐點
解得唯壹駐點x=3，y=4.由於點P在所給平面上,故可知
z=-1
c)：結合實際意義判定最大、最小值在約束條件 3x+4y-z=26 下的最小值 ，壹個多元函數在壹個或幾個約束條件下的極值稱為條件極值。
由問題的實際意義可知，原點與平面距離的最小值是客觀存在的，且這個最小值就是極小值.而函數僅有唯壹的駐點.所以，平面上與原點距離最短的點為P(3,4,-1)的若幹方法 。
拓展延續
關於函數求極值的方法有如下幾項：
導數求極值步驟：
1.先求導，
2.使導函數等於零，求出x值，
3.確定定義域，
4.畫表格，
5.找出極值，註意極值是把導函數中的x值代入原函數。
導數求極值步驟：
1求函數f'(x)的極值步驟
1、找到等式f'(x)=0的根
2、在等式的左右檢查f'(x)值的符號。如果為負數，則f(x)在這個根得到最大值；如果為正數則f(x)在這個根得到最小值。
3、判斷f'(x)無意義的點。首先可以找到f'(x)=0的根和f'(x)的無意義點。這些點被稱為極點，然後根據定義來判斷。
4、函數z=f(x,y)的極值的方法描述如下：
(1)解方程式f(x)(x,y)=0，fy(x,y)=0，求壹個實數解，可以求所有的塞音；
(2)對於每個停止點(x0,y0)，找到二階偏導數的值a,b,c；
(3)確定ac-b2的符號，並根據定理2的結論確定f(x0,y0)是壹個最大值、最大值還是最小值。