2.輸入代碼如下
x=1*pi/180:1*pi/180:89*pi/180;
S=sum(tan(x).*tan(x))
回車即可
3.結果為
S = 5.3103e+003
這個題目不可能出現在高考及高中數學競賽中 只能出現在計算機類編程題裏
壹般高中數學題目是這麽出的
tan?(1°)×tan?(2°)×tan?(3°)×...×tan?(89°)
tan1°×tan2°×tan3°...×tan89°
請仔細檢查題目 祝玩的開心 學得開心 ~~
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後來看到其他網友回答的更好 解答摘錄如下
方法二：
證明：用到的公式有tan?a=tan^2(90-a)=cot^2(a) 1+cot^2(a)=csc^2(a)
tan?1°+tan?2°+tan?3°+···+tan?89°=(tan^2(1)+cot^2(1))+(tan^2(2)+cot^2(2))+...+(tan^2(44)+cot^2(44))+tan^2(45)=1/(sin^2(1)*cos^2(1))-2+......+(tan^2(44)+cot^2(44))+tan^2(45)=4csc^2(2)+4csc^2(4)+4csc^2(6)+........4csc^2(88)+tan^2(45)-2*44
=4(1+cot^2(2))+4(1+cot^2(4)）+.........+4(1+cot^2(88)）+1-2*44
=4*44+1+4cot^2(2)+4cot^2(4)+.....+4cot^2(88) -2*44
＝4*44+1+4(cot^2(2)+cot^2(88))+........-2*44
=4*44+1+4(cot^2(2)+tan^2(2))+.......-2*44
下面反復應用tan?a=tan^2(90-a)=cot^2(a) 1+cot^2(a)=csc^2(a)
就不求了。
最後可以證明tan?1°+tan?2°+tan?3°+···+tan?89°=5310+(1/3)
方法三：
cosnx+isinnx = (cosx+isinx)^n = (cosx)^n+C(n,1)(cosx)^{n-1}(isinx)+...+(isinx)^n
比較虛部得到
sinnx = C(n,1)(cosx)^{n-1}(sinx)-C(n,3)(cosx)^{n-3}(sinx)^3+...
取n=2m=180, x=1°,2°, ..., 89°代入，左邊總是零，兩邊同除以cosx(sinx)^{n-1}，並令t=(cotx)^2得到
C(2m,1)t^{m-1}-C(2m,3)t^{m-3}+...=0
也就是說tan?1°, tan?2°, ..., tan?89°恰好是上述關於t的89次多項式的根，利用Vieta定理就得到其和為C(180,3)/C(180,1)=15931/3
這個解法真高 看到以後想起了為數學奮鬥的高中時代 感動。。。