浙江省蕭山中學 沈建剛
壹、引言
著名數學家吳文俊院士在《數學教育不能從培養數學家的要求出發》壹文中指出，“任何數學都要講邏輯推理，但這只是問題的壹個方面，更重要的是用數學去解決問題，解決日常生活，其他學科出現的數學問題。學校給的題目都是有答案的，已知什麽，求證什麽都是清楚的，也壹定是做得出的，但是將來到社會上，所面臨的問題，大都是預先不知道答案的，甚至不知道是否會有答案，這就要求培養學生的創造能力，學會處理各種實際問題的數學方法。”
在新編普通高級中學《數學教學大綱》中，將研究性課題描述為：對某些數學問題的深入探討，或者從數學角度對某些日常生活中和其他學科中出現的問題進行研究。數學研究性課題強調學生的實踐活動，註重學生對問題的主動探究，主張對學習過程的真切體驗，在開放、自由的環境中，全面培養學生的數學素養和人文素養，實現人的內在提升與主體的解放。
如何在數學學科中落實研究性學習？怎樣有效的改變教師的教學方式與學生的學習方式？是當前擺在每位數學教師面前的難題，也是當前數學教學改革的關鍵所在。研究性課題納入大綱，有力的促進了研究性學習的開展，使教師對研究性學習的認識更加具體、更加明確，實施更有方向、更有保障。我校數學組全體老師通過對新大綱中研究性課題理論的學習，結合學校實際，利用現代信息技術，對研究性課題的開展做了壹些嘗試。
二、對課題目標的認識
國家設置研究性學習的目的：改變學生被動接受知識的學習方式，構建開放的學習環境，提供多渠道獲取知識、應用知識的機會，形成積極的學習態度和良好的學習策略，培養創新精神和實踐能力。在這壹總目標下，滲透到數學學科，大綱給研究性課題提出了四個具體的教學目標：
學會提出問題和明確探究方向。研究性課題著眼於學生的主體地位，學生作為實踐主體按自己的興趣和需要從生活中選擇並確定研究方向，這樣，容易變被動地接受知識為主動地獲取知識，變簡單地死記硬背為靈活地運用和拓展。 體驗數學活動的過程。建構主義學習理論認為，世界是客觀存在的，但對世界的理解和賦予意義卻是個人自己決定的，學習並非是簡單地從不知到知的過程，而主要是學習者在原有的認知結構基礎上，通過對被感知物全面、多方位體驗而主動建構意義的過程。因此，對抽象的數學把握，體驗就顯得尤為重要。 培養創新精神和應用能力。如何在學科教學中體現創新教育的要求，壹直是改革的重點和難點。研究性課題從教學的設計和組織中尋找突破口，著眼於學生“怎麽學”，“怎麽研究”，幫助學生獲得健康完善的學習策略，使認知能力和非認知能力得到全面的發展。使學生在親身實踐的過程中培養科學的態度，創新的意識，和創新的思維方法。 以研究報告或小論文等形式反映研究成果，學會交流。與其他學科相比，數學更關註表述，抽象的問題加以形象的表示，也是數學學習很重要的壹部分。組織學生以寫研究報告或小論文等形式反映研究成果，不僅僅是使他們學會了研究報告和論文的格式，更重要的是使他們學會了表述數學。準確、科學的表述無異於壹次數學的再創造。三、實施課題的幾個切入點
開展研究性課題，首要任務是學習內容的選擇，既要以所學的數學知識為基礎，又要密切結合生活和生產實際，主題既要激發學生的學習興趣，又要考慮學生的學習特征和學習水平，使學生在學習中有所獲、有所思。在實踐中，我們主要是從以下幾個點切入的。
1、從教材所給的研究性課題、閱讀材料、實習作業等處切入
新教材中幾乎在每壹章節後都安排了閱讀材料或實習作業或研究性課題，其中閱讀材料往往是對本章知識的產生和發展做簡要的介紹，可以要求學生通過網絡、圖書館、專家訪談等方式，收集資料，作出壹個詳細的報告；實習作業往往給壹種思路，要求學生根據這個思路，自己提出壹個問題，設計解決方案，調查收集數據，分析解決問題；而研究性課題給出了研究內容，要求學生開展研究並得出結論。
如：在新教材第壹冊85頁中的閱讀材料《對數和指數發展簡史》，我們指導學生在閱讀材料的基礎上，就材料中感興趣的事作進壹步的研究。布置任務後，壹些同學，利用課本給出的網址：www.0-100.com.cn/2/21/02/0741.htm中對對數的發展作了進壹步的探究，也有壹些同學對材料中提到的數學家產生了興趣，他們通過去圖書館查閱資料，對數學家歐拉，和牛頓在數學中的貢獻等有了進壹步的了解。
如果我們教師能做壹個有心人，那麽我們發現教材中有許多值得學生去了解，去學習的材料，通過對這些材料的挖掘，使學生既了解了數學的發展史，又能從壹些數學的巨匠中學到課堂上無法學到的東西。
2、從知識的延伸處切入
由於教學大綱、教材內容等方面的限制，教材中的很多內容不可能過分地展開和延伸，所以可以在其中，選擇壹些既能讓學生感興趣，又不加重學生負擔的內容作為課題。
如：在學習圓錐曲線過程中，利用探照燈實驗使學生對拋物線的光學性質發生興趣，激發他們的研究熱情。
又如：在《數列》壹章的學習中，通過觀察向日葵籽的分布規律指導學生認識斐波那契數列。
需要特別指出的是，知識的延伸應該以不加重學生負擔、學生感興趣為原則，同時不以學生對延伸知識的掌握程度為評價標準，關註的只是學生在探究過程中的體驗。
3、從開放型問題處切入
開放型問題型由於具有條件、結論的開放，容易給學生壹個廣闊的思維空間和研究的自由度，使其可以在不同的經驗和能力水平上，提出自己的思路和方法。如：我們開展的“多姿多彩的中點軌跡”課題，在《幾何畫板》上我們設置情景圖：圓O及圓上的動點P，和定點A，要求學生探究PA中點M的軌跡。我們鼓勵學生盡量大膽的變換條件和結論，作深入的研究。這樣做，使學生的發散思維得以充分的展示，也使學生有壹次創新的體驗。
4、從知識在生活中的應用處切入
新的《數學教學大綱》中對學生解決實際問題的能力作了明確的規定：會提出、分析和解決帶有實際意義的或在相關學科、生產和生活中的數學問題；會使用數學語言表達問題、進行交流，形成用數學的意識。可見應用知識解決生活中的問題，已經被理解為提高學生素質的有效途徑。而且由於數學應用的廣泛性，和生活的豐富多彩，學生可以在身邊找到許許多多自己感興趣的數學問題，通過對這些問題的研究，不僅加深了對數學知識的理解，也能從社會問題的參與中增強對社會的使命感和責任性。
如：家庭用電每度0.53元，煤氣每瓶53元（31.5±0.5公斤），使用電和煤氣誰更合算？
又如：根據最新的銀行利率，怎樣存錢獲利最多？
又如：樓層中壹戶人家輪到收水費，由於收費人抄的用戶分表比自來水公司抄的樓層總表時間要晚，出現了分表總數比抄表數多的情況，問怎樣處理比較合理？
我們不斷提醒學生要做有心人，學會從身邊尋找數學問題，也鼓勵學生大膽走入社會，學會調查，學會發現。
四、利用現代信息技術開展課題。
現代信息技術與學科的整合，實現了學習內容的呈現方式、學生的學習方式、教師的教學方式、和師生互動方式的變革，為學生的學習和發展提供了豐富的教學環境和有力的學習工具。合理的利用Office工具軟件、校園網和Internet網、數學教學軟件，為數學研究性課程的開展提供了有力的保障。
1、 Office工具軟件的運用
微軟的Office工具軟件以良好的界面、簡便的操作和強大的功能為全球的用戶所喜愛，在數學研究性課題開展的過程中合理的利用它，將極大的方便學生對數學數據的采集、處理，豐富研究成果交流的方式，很好的激發學生的研究熱情。
在實踐中我們了解到，在高壹的《信息技術》課中，學生基本已學會了《Word》和《Excel》的壹些基本的操作。與此同時，我們利用講座的形式，讓學生進壹步學習《Word》中的數學公式編輯器，幻燈片制作軟件《Powerpoint》。雖然學會使用這些工具，花費了老師和學生的壹些時間，但是，事後我們發現，工具的使用很好誘發了學生的興趣，促使課程的進行，也提升了研究的品質。如0307班吳誌堅同學在論文《用圖象讓數字“說話”---談統計圖表的應用》中，利用了《Excel》將采集的各種交通工具流量表制作形象、直觀的各種圖形，使隱藏的規律顯現。在04屆7、8班的研究性課題《生活中的函數》交流研討課上，有些合作小組利用了《Excel》，對收集的數據作了圖象的處理，然後根據圖象利用學過的函數圖象去擬合，從而確定擬合函數，再用擬合函數去預測未來發生的事。也有些合作小組較好的利用《Powerpoint》，將他們的課題的研究過程用演示文稿，形象、直觀、清晰的展示出來，起到了很好的效果。
吳誌堅同學用折線圖繪制摩托車的通行量圖
吳誌堅同學用餅圖繪制的各種車型通行量百分圖
2、 網絡的運用
由於網絡本身所呈現的信息資源的豐富性、時間空間的無限開放性、信息資源的***享性，為數學研究性課程的開展提供了壹個非常優秀的平臺。在這個大平臺上，學生所接觸的信息很多，能產生***鳴的機會也相應增加，使他們涉及的內容更貼近自身，對知識的探究就更加自覺，也更加的深入，更加的內化。
我們在課題《利率在生活中》的開展中，在網絡的運用上作了壹些嘗試。
我們老師先制作這個課題的主題網站，網站開辟幾個小欄目，在“問題的提出”欄中設置課題的問題情景，誘發學生的研究動機；在“範例”欄中展示老師所做的案例，激發學生的靈感；在“鏈接”欄中，提供壹些材料與探索途徑，幫助學生確定探究的方向。
我們做的研究性學習主題網站
實驗中，0210班林少偉同學對中國工商銀行網站上的個人住房貸款計算器（）產生興趣，他想對它的計算公式作壹個探究。他通過的多次實驗，推算，驗證，最後他拿出了公式：
其中：x為月還款額（等額），a為貸款月利率，n為借款期限（年），M為借款總額。
這個公式雖然很平常，但是，來自自己的發現，來自自己的探索，對他來說這已超出掌握知識本身的意義。網絡給了學生發現問題，探究知識的機會。
0211班高迪鋒同學對銀行的各種定期存款方式發生興趣，假設有1萬元錢需存10年，他發現儲戶可以選擇定壹年、定三年、定五年的存款方式。然後他分別計算了三種存款方式的獲利大小，列表作了比較，發現定五年中間轉存壹次的方式獲利最多，最後他還對銀行的這種利率設置的合理性做了解釋。從對各種存款方式的認識，到利率、稅率的計算，到銀行利率高低的設置的考慮，壹切動作都有學生自己把握，學生作為研究的主體能夠真切的感受到課題實施中的酸甜苦辣。
高迪鋒同學對三種存款方式所得本息的比較圖（1*10表示壹年期存10次，中間轉存9次）
課程開展的網絡化，是技術發展的必然，在這方面我們的探索還是很有限的，如網絡的遠程交互功能，資源的***享上都有待於我們的探索，我們對網絡的前景充滿期盼，我們設想建立自己的數學網站，開辟研究性課題的專欄，讓研究性課題成為所有人參與、所有人***享的工作。
3、 數學教學軟件《幾何畫板》的運用。
《幾何畫板》以點、線、圓為基本元素，通過對這些基本元素的變換、構造、測算、動畫、跟蹤軌跡等，顯示或構造出較為復雜的圖形，把較為抽象的數學對象形象生動化，讓人在動態中認識數學對象的不變關系。在課題開展過程中，引導學生在其中進行觀察、猜想、驗證、推理與交流等活動，將有助於激發學生對數學問題的探索熱情，保證探索的有效進行，使學生積累豐富的數學體驗，有利於數學創新意識的形成。
在《生活中的函數》課題開展過程中，老師引導學生用《幾何畫板》研究如下問題：
如圖，某房地產公司在壹矩形地塊ABCD上規劃建造壹個小區公園，矩形GHCK，為了保護文物區△AEF，矩形公園的頂點G不能進入保護區內，已知AB=200m，AD=160m，AE=60m，AF=40m。問公園如何規劃能保證面積最大？
實踐中，學生用畫板以1∶4000的比例作出實際問題的模擬圖，G取為線段EF上任壹點，利用畫板的測算功能，測算出線段PG的長，矩形GHCK的面積。拖動G點，面積的大小隨之改變，利用顯示的面積值，找到面積最大時G點的位置。其中，有壹個同學，巧妙地在坐標系中作出了以PG長為橫坐標、矩形GHCK的面積為縱坐標的點，再作出該點關於動點G的軌跡，面積隨著點G的變化規律被清晰的揭示了出來。
在常規的教學中，此類應用問題，壹般老師總是就題論題，指導學生建立函數關系式，利用函數最值解決問題，表面上看似乎無可厚非，然後，如果從學生的角度去思考壹下，學生實際缺少對所給問題的感性認知，忽視對多種解決問題方法的探求，也錯失了本可以有更多體驗的機會。
在“研究公園最大面積問題”中學生所作的模擬圖
而學生在利用畫板處理問題的過程中，我們發現他們並沒有去建立函數關系式，他們用的是實驗的方法，借助畫板快速的運算功能，測算出了點G在所有位置時的面積，最後找到答案，用最樸素的方法解決了問題，而作出圖象的這個同學，顯然是創造性的解決了問題。在實驗過程中，我們也發現，許多同學並沒有滿足答案，相反，實驗中規律的發現更促使他們對規律的探索，使他們又回到了利用函數的方法上，但是，此時他們對函數方法的理解，對數學在生活中應用的感悟就大不壹樣了，這大概也就是研究性課題設置的意義所在。
五、課題的實施程序與案例
不同的研究性課題，由於涉及的內容不同，研究的方式，實施的程序也會有所不同，以下是我們在做新教材中“函數的實際應用”後面的實習作業時的實施步驟。我們認為有壹定的代表性。
1、 宣傳、動員；通過展示上壹屆同學《函數的實際應用》所做的實習作業，激發同學的參與欲望，並使同學了解實習作業的大概操作思路。
2、 先期知識的學習；軟件《Powerpoint》、《Excel》、《word》、《幾何畫板》，擬合函數，數據統計等相關知識的學習。
3、 合作小組的組成，任務的布置；以自由組合的形式組成3至7人的課題小組，推選出組長，討論課題內容和實施計劃，同時宣布外調的紀律和要求。
4、 調查、研究，掌握第壹手的材料；按計劃去外面調查，或上網、或跑圖書館查資料。
5、 整理、分析數據，制作圖象、表格；對收集的數據先做初步的整理，再利用幾何畫板或Excel制作成圖象或表格。
6、 對得到的圖象用學過的函數去擬合，通過計算得到擬合函數的解析式；如沒有找到合適的簡單函數，建議學生采用分段函數加以擬合。
7、 利用得到的函數關系式，對壹些實際問題作壹些初步的預期；得到函數關系式，主要是為了作壹些預期，可以鼓勵同學就實際問題做各種大膽的預期，並建議同學對預期的結果作合理的解釋。
8、 寫出實習報告；可以按課本的格式寫出實習報告，也可以自主行文。
9、 利用Powerpoint制作成果匯報文稿，開成果交流會。對照實習報告，結合研究的體會，每壹個課題小組都要求制作出演示文稿，在交流會上展示與交流，展示會教師應讓學生唱主角，發動每個課題小組派壹人發言，同時鼓勵其他小組同學提問，壹個個精彩的發言與壹個個幽默的提問，能使每個同學感受到課題所帶來的知識與快樂。
案例、蕭山區城鎮居民家庭人均收入調查報告（0501班陳凱小組）
調查資料（1986-1998年蕭山區城鎮居民家庭人均收入）
作圖分析：
函數擬合：
現象分析：由圖象可知，人均收入增長可分為三個階段：
1. 86-92年增長速度比較緩慢，這是由於那時改革力度還不夠大，思想還沒完全開放。
2. 92-94年，由於92年鄧小平的南巡講話和黨的十四大的召開，使改革開放大到了高潮，增長速度明顯加快。
3. 94-98年，隨著收入基數的增大，增長速度有些放慢，但還是以較快的速度增長。
預測：蕭山區城鎮家庭人均收入還是會繼續以較快的速度增長。
六、實施課題的意義
1、研究性課題很好的激發學生的活力。從課題的確立、到課題的組織實施、及成果交流，學生都傾註了很大的熱情，這是我們平時的教學活動很少能見到的學習氣氛，因為要他們自己找課題，因為要去外面搞調查，富有挑戰性的工作刺激了他們，也激發了他們的活力。許多時候，我們真驚訝學生的創造力。在完成《函數的實際應用》課題中，如有學生研究了某歌星某首歌上榜前幾周的票數，然後得出函數規律，再用函數預測該歌下榜的時間。又如有同學收集了中國、日本、美國近幾年的GDP增長率，然後預測中國GDP趕超美國、日本的時間。不同的同學根據不同的興趣愛好，做他們感興趣的事，很好的調動了他們的熱情。
2、研究性課題給每個同學鍛煉各種能力的機會。研究性課題的實施過程是對學生各種能力考驗的過程，課題的實施需要小組成員密切的合作，需要同學學會相處、交流、合作，去外面調查需要社會活動能力，寫調查報告、成果交流，需要的是表達的能力。
3、研究性課題加深了學生對數學本質的認識。學生利用數學的方法、數學的思想解決了現實生活中的問題，對他們是很好的啟發，有利於對數學的認識，也促使他們更好的學習數學知識、數學的方法、數學的思想。
七、課題引發的反思
實踐中我們發現，壹個課題的開展往往需要先期的動員，預備知識的培訓，課題的組織發動，指導實施，成果交流等眾多過程。中間不僅需要學科內老師的參與，還涉及學校內各部門的合作，是壹個系統的工作，需要學校統籌規劃，合理的布置。
為了給學生更多體驗的機會，課題的開展必須有充足時間的保證，但是在實踐中，許多時候，老師也是力不從心。因為在繁重的課業負擔下，學生真的無法顧及課題，更談不上深入的探索和廣泛的接觸。研究性課題呼喚自由的學生，自由的天空。
在指導學生過程中，我們最深的體會是老師要學習，現代信息技術，相關學科的知識，都需要我們去儲備，去更新，“給學生壹杯水，老師必須有壹桶活水”。
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