什麽是非線性
非線性(non-linear)，即 變量之間的數學關系，不是直線而是曲線、曲面、或不確定的屬性，叫非線性。非線性是自然界復雜性的典型性質之壹;與線性相比，非線性更接近客觀事物性質本身，是量化研究認識復雜知識的重要 方法 之壹;凡是能用非線性描述的關系，通稱非線性關系。
狹義的非線性是指不按比例、不成直線的數量關系，無法用線性形式表現的數量關系，如曲線、曲面等。而廣義上看，是自變量以特殊的形式變化而產生的不同於傳統的映射關系，如叠代關系的函數，上壹次演算的映射為下壹次演算的自變量，顯然這是無法用通常的線性函數描繪和形容的。很顯然，自然界事物的變化規律不是像簡單的函數圖像，他們當中存在著並非壹壹對應的關系。如果說線性關系是互不相幹的獨立關系，那麽非線性則是體現相互作用的關系，正是這種相互作用，使得整體不再是簡單地全部等於部分之和，而可能出現不同於"線性疊加"的增益或虧損。
線性與非線性的區別
非線性是相對於線性而言的，是對線性的否定，線性是非線性的特例，所以要弄清非線性的概念，明確什麽是非線性，首先必須明確什麽是線性，其次對非線性的界定必須從數學表述和物理意義兩個方面闡述，才能較完整地理解非線性的概念。
(1) 線性
對線性的界定，壹般是從相互關聯的兩個角度來進行的：其壹，疊加原理成立：?如果?l，?2是方程的兩個解，那麽a?l+b?2也是它的壹個解，換言之，兩個態的疊加仍然是壹個態。?疊加原理成立意味著所考察系統的子系統間沒有非線性相互作用。其二，物理變量間的函數關系是直線，變量間的變化率是恒量，這意味著函數的斜率在其定義域內處處存在且相等，變量間的比例關系在變量的整個定義域內是對稱的。
(2) 非線性
在明確了線性的含義後，相應地非線性概念就易於界定：
其?，?定義非線性算符N(?)為對壹些a、b或?、?不滿足L(a?+b?)=aL(?)+bL(?)的算符?，即疊加原理不成立，這意味著?與?間存在著耦合，對(a?+b?)的操作，等於分別對?和?操作外，再加上對?與?的交叉項(耦合項)的操作，或者?、?是不連續(有突變或斷裂)、不可微(有折點)的。
其二，作為等價的另?種表述，我們可以從另壹個角度來理解非線性：在用於描述?個系統的壹套確定的物理變量中，壹個系統的?個變量最初的變化所造成的此變量或 其它 變量的相應變化是不成比例的，換言之，變量間的變化率不是恒量，函數的斜率在其定義域中有不存在或不相等的地方，概括地說，就是物理變量間的壹級增量關系在變量的定義域內是不對稱的。可以說，這種對稱破缺是非線性關系的最基本的體現，也是非線性系統復雜性的根源。
對非線性概念的這兩種表述實際上是等價的，其?疊加原理不成立必將導致其二物理變量關系不對稱;反之，如果物理變量關系不對稱，那麽疊加原理將不成立。之所以采用了兩種表述，是因為在不同的場合，對於不同的對象，兩種表述有各自的方便之處，如前者對於考察系統中整體與部分的關系、微分方程的性質是方便的，後者對於考察特定的變量間的關系(包括變量的時間行為)將是方便的。
關於非線性概念需要強調的是，線性或非線性的提法是相對於物理變量而言的，也就是說，只有物理變量的關系才是判斷是否是非線性的根據，而非物理變量的關系不能成為非線性與否的判據。這裏所說的物理變量是指那些可以觀測的、人們感興趣的、對人類有意義的變量。例如分形理論中，簡單分形的分維D是恒量，在無標度區間內lnN=DlnL，lnN與lnL是線性關系，但是顯然不能籍此得出簡單分形是線性的結論。這裏的物理變量是N和 L，而不是經過對數變換的nN與lnL，即人們可觀測的、感興趣的、對人們有意義的是N和L，而不是lnN和lnL，N與L的關系N=LD是非線性的，所以可得出分形是非線性的結論。再如，物價對時間的直接關系(而不足Mandbrolt所統計的棉花價格指數的無標度性)正是人們感興趣的、對人們有意義的，而且兩者的關系是非線性的，所以物價隨時間的變化是壹種非線性現象。
非線性的性質
非線性科學正處於發展過程之中，它所研究的各門具體科學中的非線性普適類，有已經形成的 (如混沌、分形、孤子)，有正在形成的(如適應性與自湧行為)，還會有將要形成的，所以非線性的性質還沒有完全呈現出來，這裏也就不可能全面地討論非線性的性質。下面僅從?非線性與線性的關系?、?非線性的物理機制?和?非線性與穩定性?三個方面作初步探討。
(1) 非線性與線性的關系
非線性與線性是相對而言的，兩者是壹對矛盾的概念，壹方面兩者在壹定程度上可以相互轉化，另壹方面兩者又存在本質區別，再者兩者同時存在於?個系統中，規定著系統相應方面的性質。
①非線性與線性的密切聯系
首先，在數學上壹些線性方程可轉化為非線性方程來解。物理上的壹些非線性問題，也可以通過數學變換而轉化為線性方程來研究。如非線性的KdV方程通過散射反演方法化為線性的可積方程，從而求出了精確的解析解;壹些非線性不強的問題，可用線性逼近方法將其轉化為若幹線性問題來求近似解，這是已在各門學科中廣泛采用並相當有效的的方法。
其次，在某些情況下，由方程得到的解析解並不能提供更多的信息，無助於更好地理解系統的行為，而從解的非線性形式中，我們卻可以方便地得到所研究系統的重要性質。如：考慮這樣壹個簡單方程：d2X/dt2+X=0，它的解是X=Acos(t)+Bsin(t)，從這個非線性形式中，我們容易知道它是個周期函數，滿足cos(t+2?)=cos(t)，sin(t+2?)=sin(t)。而從cos(t)和sin(t)的解析形式中，極難證明其具有相應的周期性這壹重要性質。所以，認為線性方程可以得到解析解， 非線性方程難以得到解析解，因而線性能給出比非線性更多的有用信息是不確切的。這意味著，對某些問題從非線性的角度考察不僅是可能的，而且有時也是必要的。
所以，線性與非線性在壹定程度上是可以相互轉化的，這表明了線性與非線性之間有密切的聯系。
②非線性與線性的本質區別
非線性與線性雖然可以通過數學變換而相互轉化，在數學上有壹定的聯系，但是在同壹視角、同壹層次、同壹參照系下，非線性與線性又是有本質區別的。
在數學上，線性函數關系是直線，而非線性函數關系是非直線，包括各種曲線、折線、不連續的線等;線性方程滿足疊加原理，非線性方程不滿足疊加原理;線性方程易於求出解析解，而非線性方程壹般不能得出解析解。
在物理上，近線性問題(它不是我們所說的非線性問題)可用線性逼近方法求出壹定精確度的解，即依據具體問題對精確度的要求，逐次解出若幹個線性問題，把它們疊加起來，就能得到很好的近似解。但是對於非線性問題，由於存有小參數發散及收斂慢等問題，線性逼近方法將失效，特別是對於高速運動狀態、強烈的相互作用、長時間的動態行為等非線性很強的情況，線性方法將完全無能為力。線性逼近方法的這些局限性，導致非線性方法的不可替代，在無法用線性方法處理的強非線性的地方，只能用非線性方法。線性逼近方法並非經常能奏效，這不光是方法論問題，也是自然觀問題，自然界既有量變又有質變，在質變中， 自然界要經歷躍變或轉折，這是線性所不能包容的。
③非線性與線性在同壹系統中的作用
非線性與線性有壹定的聯系又有本質區別，它們常同時存在於壹個系統之中，規定著系統不同側面的性質，壹個確定的系統，壹般都同時具有線性和非線性兩種性質：首先，在壹個給定的非線性系統中，它的非線性性質決定它的平衡構造或說穩定機制是否存在，及存在的地方。其次，系統的線性性質決定著系統關於其平衡點(穩定結構)的小振動的規律，即系統在穩定點附近的線性展開性質。