正交矩陣是方塊矩陣，行向量和列向量皆為正交的單位向量。
行向量皆為正交的單位向量，任意兩行正交就是兩行點乘結果為0，而因為是單位向量，所以任意行點乘自己結果為1。
對於3x3正交矩陣，每行是壹個3維向量，兩個3維向量正交的幾何意義就是這兩個向量相互垂直。
所以3x3正交矩陣的三行可以理解為壹個3D坐標系裏的三個坐標軸，下面是3＊3正交矩陣M，
x1，x2，x3，／／x軸y1，y2，y3，／／y軸z1，z2，z3，／／z軸
單位矩陣表示的三個坐標軸就是笛卡爾坐標系裏的x，y，z軸：
1，0，0，／／x軸0，1，0，／／y軸0，0，1，／／z軸
壹個向量乘以3x3正交矩陣的幾何意義就是把這個向量從當前坐標系變換到這個矩陣所表示的坐標系裏，比如下面的矩陣M1，
0，1，0，1，0，0，0，0，1，
壹個向量（1，2，3）右乘這個矩陣M1得到新的向量（2，1，3），就是把原向量從原坐標系變換到壹個新的坐標系。
新坐標系的x軸在原坐標系裏是（0，1，0），即落在原坐標系的y軸上，
新坐標系就是把原坐標系的x和y軸對調，所以這個正交矩陣M1作用於向量（1，2，3）後把向量的x和y分量對調了。
正交矩陣的定義“行向量和列向量皆為正交的單位向量”帶來了另壹個好處：正交矩陣的轉置就是正交矩陣的逆，比普通矩陣求逆矩陣簡單多了。
下面解釋壹下為什麽正交矩陣的轉置就是正交矩陣的逆：
還是開頭說的正交矩陣M：
x1，x2，x3，／／rowxy1，y2，y3，／／rowyz1，z2，z3，／／rowz
每行都是單位長度向量，所以每行點乘自己的結果為1。
任意兩行正交就是兩行點乘結果為0。
矩陣M的轉置矩陣MT是：
x1，y1，z1，x2，y2，z2，x3，y3，z3，
兩個矩陣相乘Mmul＝M＊MT：
rowx＊rowx，rowx＊rowy，rowx＊rowz，rowy＊rowx，rowy＊rowy，rowy＊rowz，rowz＊rowx，rowz＊rowy，rowz＊rowz，
點乘自己結果為1，點乘別的行結果為0，所以Mmul等於單位矩陣
1，0，0，0，1，0，0，0，1，
逆矩陣的定義就是逆矩陣乘以原矩陣等於單位矩陣，所以，
正交矩陣的轉置就是正交矩陣的逆。
擴展資料
正交矩陣定義：
如果：AA＇＝E（E為單位矩陣，A＇表示“矩陣A的轉置矩陣”．）或A′A＝E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣，若A為單位正交陣，則滿足以下條件：1）A是正交矩陣。
判斷是正交矩陣的方法：
壹般就是用定義來驗證，若AA' = I,則A為正交矩陣，也就是驗證每壹行(或列)向量的模是否為1
任意兩行(或列)的內積是否為0。