進制也就是進位制,是人們規定的壹種進位方法。 對於任何壹種進制---X進制,就表示某壹位置上的數運算時是逢X進壹位。 十進制是逢十進壹,十六進制是逢十六進壹,二進制就是逢二進壹,以此類推,x進制就是逢x進位。
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概念
進位制/位置計數法是壹種記數方式,故亦稱進位記數法/位值計數法,可以用有限的數字符號代表所有的數值。可使用數字符號的數目稱為基數(en:radix)或底數,基數為n,即可稱n進位制,簡稱n進制。現在最常用的是十進制,通常使用10個阿拉伯數字0-9進行記數。
對於任何壹個數,我們可以用不同的進位制來表示。比如:十進數57(10),可以用二進制表示為111001(2),也可以用五進制表示為212(5),也可以用八進制表示為71(8)、用十六進制表示為39(16),它們所代表的數值都是壹樣的。
數制也稱計數制,是指用壹組固定的符號和統壹的規則來表示數值的方法。計算機是信息處理的工具,任何信息必須轉換成二進制形式數據後才能由計算機進行處理,存儲和傳輸。
位權概念
對於形式化的進制表示,我們可以從0開始,對數字的各個數位進行編號,即個位起往左依次為編號0,1,2,……;對稱的,從小數點後的數位則是-1,-2,……
進行進制轉換時,我們不妨設源進制(轉換前所用進制)的基為R1,目標進制(轉換後所用進制)的基為R2,原數值的表示按數位為AnA(n-1)……A2A1A0.A-1A-2……,R1在R2中的表示為R,則有(AnA(n-1)……A2A1A0.A-1A-2……)R1=(An*R^n+A(n-1)*R^(n-1)+……+A2*R^2+A1*R^1+A0*R^0+A-1*R^(-1)+A-2*R^(-2))R2
(由於此處不可選擇字體,說明如下:An,A2,A-1等符號中,n,2,-1等均應改為下標,而上標的冪次均用^作為前綴)
舉例:
壹個十進制數110,其中百位上的1表示1個10^2,既100,十位的1表示1個10^1,即10,個位的0表示0個10^0,即0。
壹個二進制數110,其中高位的1表示1個2^2,即4,低位的1表示1個2^1,即2,最低位的0表示0個2^0,即0。
壹個十六進制數110,其中高位的1表示1個16^2,即256,低位的1表示1個16^1,即16,最低位的0表示0個16^0,即0。
可見,在數制中,各位數字所表示值的大小不僅與該數字本身的大小有關,還與該數字所在的位置有關,我們稱這關系為數的位權。
十進制數的位權是以10為底的冪,二進制數的位權是以2為底的冪,十六進制數的位權是以16為底的冪。數位由高向低,以降冪的方式排列。
進數轉換
1.二進制數、十六進制數轉換為十進制數(按權求和)
二進制數、十六進制數轉換為十進制數的規律是相同的。把二進制數(或十六進制數)按位權形式展開多項式和的形式,求其最後的和,就是其對應的十進制數——簡稱“按權求和”.
例如:把(1001.01)2 二進制計算。
解:(1001.01)2
=8*1+4*0+2*0+1*1+0*(1/2)+1*(1/4)
=8+0+0+1+0+0.25
=9.25
把(38A.11)16轉換為十進制數
解:(38A.11)16
=3×16的2次方+8×16的1次方+10×16的0次方+1×16的-1次方+1×16的-2次方
=768+128+10+0.0625+0.0039
=906.0664
2.十進制數轉換為二進制數,十六進制數(除2/16取余法)
整數轉換.壹個十進制整數轉換為二進制整數通常采用除二取余法,即用2連續除十進制數,直到商為0,逆序排列余數即可得到――簡稱除二取余法.
例:將25轉換為二進制數
解:25÷2=12 余數1
12÷2=6 余數0
同理,把十進制數轉換為十六進制數時,將基數2轉換成16就可以了.
例:將25轉換為十六進制數
解:25÷16=1 余數9
1÷16=0 余數1
所以25=(19)16
3.二進制數與十六進制數之間的轉換
由於4位二進制數恰好有16個組合狀態,即1位十六進制數與4位二進制數是壹壹對應的.所以,十六進制數與二進制數的轉換是十分簡單的.
(1)十六進制數轉換成二進制數,只要將每壹位十六進制數用對應的4位二進制數替代即可――簡稱位分四位.
例:將(4AF8B)16轉換為二進制數.
解: 4 A F 8 B
0100 1010 1111 1000 1011
所以(4AF8B)16=(1001010111110001011)2
(2)二進制數轉換為十六進制數,分別向左,向右每四位壹組,依次寫出每組4