匹諾曹有壹天說了這樣壹句話：“我的鼻子會馬上變長。”然後會怎樣呢？如果鼻子變長，那麽匹諾曹就說的是真話，所以鼻子不應該變長。如果鼻子沒有變長，那麽匹諾曹說的就是假話，所以鼻子必須變長。
結果呢？鼻子炸了。
矛盾並不是起於匹諾曹。
公元6世紀，壹個克裏特的哲學家說了壹句名言：“所有克裏特人都是滿嘴謊話”。這個百年老坑挖的好，自己也掉裏面了。
如果這句話是真的，那麽所有克裏特人都是說謊的，哲學家自己也是克裏特人，那麽他也是說謊的，這句話也應該是謊話，這就又產生矛盾了，這句話到底是真的還是假的？
說謊者悖論的精簡版本是：“我在說謊”。
如果妳沒在說謊，那麽妳就說謊了；如果妳在說謊，那麽妳是在說真話。
這是個雙人版本，左邊的說右邊的沒撒謊，右邊的說左邊的撒謊了。如果左邊的沒撒謊，那麽右邊的也沒撒謊，但右邊的又說左邊的肯定撒謊了，那麽到底左邊的有沒有撒謊？
這種問題像是壹個無限循環的自我指涉邏輯嵌套，就像我們無法回答下圖鏡子中有多少個拉奧納多壹樣，我們也無法回答說謊者悖論。
其次這個矛盾是巧妙地混用了“真值為真”和“語義為真”，創造了壹個“含義為真卻真值不能同時為真”的命題。“我在說謊”，我真的在說謊和我這句話是謊話本身就是矛盾的，但又並不違背邏輯。
所以後來有人提出把語言的形式判斷和語義判斷分在不同層級，然後強制不能逆層級進行判斷，只能從形式判斷語義，而不能從語義來反推形式。——這實際上實在“立法禁止”產生矛盾，但並沒有解決矛盾。
也許這個悖論恰好告訴我們壹個真理，即 我們所處的世界並非是完美的邏輯自洽（無矛盾）的。
皮亞諾公理是意大利數學家朱塞佩·皮亞諾 Giuseppe Peano在19世紀末期所構造的算術公理系統中的公理，它包括：
大衛·希爾伯特David Hilbert，德國人，是19世紀初期最偉大的數學家之壹。
1900年，他在巴黎的國際數學家大會上做了作了《數學問題》主題演講，提出的壹系列問題，被稱為希爾伯特的23個問題，這些問題為20世紀的許多數學研究指出方向。
其中第二個問題是算術公理（皮亞諾算術公理系統）是相容的（無矛盾的）。
20世紀20年代，希爾伯特更是啟動了壹項宏偉的計劃，大意是建立壹組公理體系，使壹切數學命題原則上都可由此經有限步推定真偽，這叫做公理體系的“完備性”；並且公理體系保持“獨立性”（即所有公理都是互相獨立的，使公理系統盡可能的簡潔）和“無矛盾性”（即相容性，不能從公理系統導出矛盾）。
希爾伯特的計劃才啟動不久，1931年，庫爾特·哥德爾就給出證明：任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在壹個不可判定命題，用這組公理不能判定其真假。也就是說，“無矛盾”和“完備”是不能同時滿足的！這便是聞名於世的哥德爾不完全性定理。
哥德爾的證明思路即很巧妙的利用了類似“說謊者悖論”邏輯產生的悖論。
哥德爾1931年發表了兩條定理：
哥德爾的不完備定理證明了基本算術的兼容性不能在自身內部證明，因此當然就不能用來證明比它更強的系統的兼容性了，這直接否定了希爾伯特的偉大哲學計劃。同時也是對對希爾伯特23問題中第二個問題的證偽。
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