數據準備
許多實際情況中統計假設（假定觀測數據抽樣自正態分布或者其他性質較好的理論分布）並不壹定滿足，比如數據抽樣於未知或混合分布、樣本量過小、存在離群點、基於理論分布設計合適的統計檢驗過於復雜且數學上難以處理等情況，這時基於隨機化和重抽樣的統計方法就可派上用場。
置換檢驗的定義
置換檢驗(Permutation test)，也稱隨機化檢驗或重隨機化檢驗，是Fisher於20世紀30年代提出的壹種基於大量計算（computationally intensive），利用樣本數據的全（或隨機）排列，進行統計推斷的方法，因其對總體分布自由，應用較為廣泛，特別適用於總體分布未知的小樣本資料，以及某些難以用常規方法分析資料的假設檢驗問題。
置換檢驗的原理
1、提出原假設，比如XX處理後結果沒有變化
2、計算統計量，如兩組的均值之差，記作t0
3、將所有樣本放在壹起，然後隨機排序進行分組，再計算其統計量t1
4、重復第3步驟，直至所有排序可能性都齊全（比如有A組有n樣本，B組有m樣本，則總重復次數相當於從n+m中隨機抽取n個的次數），得到壹系列的統計量（t1-tn）
5、最後將這些統計量按照從小到大排序，構成抽樣分布，再看t0是否落在分布的置信區間內（如95%置信區間），這時候可計算壹個P值（如果抽樣總體1000次統計量中大於t0的有10個，則估計的P值為10/1000=0.01），落在置信區間外則拒絕原假設
6、如果第3步驟是將所有可能性都計算了的話，則是精確檢驗；如果只取了計算了部分組合，則是近似結果，這時壹般用蒙特卡羅模擬（Monte Carlo simulation）的方法進行置換檢驗
7、置換檢驗和參數檢驗都計算了統計量，但是前者是跟置換觀測數據後獲得的經驗分布進行比較，後者則是跟理論分布進行比較。
請牢記：置換檢驗都是使用偽隨機數來從所有可能的排列組合中進行抽樣（當做近似檢驗時）。因此，每次檢驗的結果都有所不同。
coin包提供了壹個進行置換檢驗的壹般性框架。通過該包，妳可以回答如下問題。
?響應值與組的分配獨立嗎？
?兩個數值變量獨立嗎？
?兩個類別型變量獨立嗎？
表12-2列出來的每個函數都是如下形式：
function_name(formula, data, distribution=)
其中：
? formula描述的是要檢驗變量間的關系。示例可參見表12-2；
? data是壹個數據框；
? distribution指定經驗分布在零假設條件下的形式，可能值有exact，asymptotic和
approximate。
若distribution = "exact"，那麽在零假設條件下，分布的計算是精確的（即依據所有可能的排列組合）。當然，也可以根據它的漸進分布（distribution = "asymptotic"）或蒙特卡洛重抽樣（distribution = "approxiamate(B = #)"）來做近似計算，其中#指所需重復的次數。
distribution = "exact"當前僅可用於兩樣本問題。
傳統t檢驗表明存在顯著性差異（p < 0.05），而精確檢驗卻表明差異並不顯著（p > 0.072）。
第7章我用自己的數據進行了t檢驗，對比壹下傳統t檢驗和置換檢驗，結果如下：
兩種檢驗方式下結果都是顯著的
Wilcoxon-Mann-Whitney U檢驗
coin包規定所有的類別型變量都必須以因子形式編碼。
wilcox.test()默認計算的也是精確分布。
K樣本檢驗的置換檢驗
通過chisq_test()或cmh_test()函數，我們可用置換檢驗判斷兩類別型變量的獨立性。 當數據可根據第三個類別型變量進行分層時，需要使用後壹個函數。若變量都是有序型，可使用lbl_test()函數來檢驗是否存在線性趨勢。
卡方獨立性檢驗
卡方獨立性檢驗的置換檢驗
妳可能會有疑問，為什麽需要把變量Improved從壹個有序因子變成壹個分類因子？（好問題！）這是因為，如果妳用有序因子，coin()將會生成壹個線性與線性趨勢檢驗，而不是卡方檢驗。
結果解讀：兩種檢驗下p值都是小於0.05，說明Treatment和Improved之間相互不獨立
自己數據的演示
結果解讀：p值均為1，表明nitrogen和variety相互獨立。
spearman_test()函數提供了兩數值變量的獨立性置換檢驗。
當處於不同組的觀測已經被分配得當，或者使用了重復測量時，樣本相關檢驗便可派上用場。
對於兩配對組的置換檢驗，可使用wilcoxsign_test()函數；多於兩組時，使用friedman_test()函數。
自己數據演示
lmPerm包可做線性模型的置換檢驗。比如lmp()和aovp()函數即lm()和aov()函數的修改版，能夠進行置換檢驗，而非正態理論檢驗。
lmp()和aovp()函數的參數與lm()和aov()函數類似，只額外添加了perm =參數。
perm =選項的可選值有"Exact"、"Prob"或"SPR"。Exact根據所有可能的排列組合生成精確檢驗。Prob從所有可能的排列中不斷抽樣，直至估計的標準差在估計的p值0.1之下，判停準則由可選的Ca參數控制。SPR使用貫序概率比檢驗來判斷何時停止抽樣。註意，若觀測數大於10，perm = "Exact"將自動默認轉為perm = "Prob"，因為精確檢驗只適用於小樣本問題。
簡單線性回歸的置換檢驗
R語言實戰的例子：
多項式回歸的置換檢驗
R語言實戰的例子：
自己數據集的例子：
R語言實戰的例子：
自己數據集的例子：
當兩種方法所得結果不壹致時，妳需要更加謹慎地審視數據，這很可能是因為違反了正態性假設或者存在離群點。
R語言實戰的例子：
自己數據集的例子：
R語言實戰的例子：
自己數據集的例子：
R語言實戰的例子：
自己數據集的例子：
值得註意的是，當將aovp()應用到方差分析設計中時，它默認使用唯壹平方和法（SAS也稱為類型III平方和）。每種效應都會依據其他效應做相應調整。R中默認的參數化方差分析設計使用的是序貫平方和（SAS是類型I平方和）。每種效應依據模型中先出現的效應做相應調整。對於平衡設計，兩種方法結果相同，但是對於每個單元格觀測數不同的不平衡設計，兩種方法結果則不同。不平衡性越大，結果分歧越大。若在aovp()函數中設定seqs = TRUE，可以生成妳想要的序貫平方和。
妳可能已經註意到，基於正態理論的檢驗與上面置換檢驗的結果非常接近。在這些問題中數據表現非常好，兩種方法結果的壹致性也驗證了正態理論方法適用於上述示例。
當然，置換檢驗真正發揮功用的地方是處理非正態數據（如分布偏倚很大）、存在離群點、樣本很小或無法做參數檢驗等情況。不過，如果初始樣本對感興趣的總體情況代表性很差，即使是置換檢驗也無法提高推斷效果。
置換檢驗主要用於生成檢驗零假設的p值，它有助於回答“效應是否存在”這樣的問題。不過，置換方法對於獲取置信區間和估計測量精度是比較困難的。幸運的是，這正是自助法大顯神通的地方。
所謂自助法，即從初始樣本重復隨機替換抽樣，生成壹個或壹系列待檢驗統計量的經驗分布。 無需假設壹個特定的理論分布，便可生成統計量的置信區間，並能檢驗統計假設。
倘若妳假設均值的樣本分布不是正態分布，該怎麽辦呢？可使用自助法。
(1)從樣本中隨機選擇10個觀測，抽樣後再放回。有些觀測可能會被選擇多次，有些可能壹直都不會被選中。
(2)計算並記錄樣本均值。
(3)重復1和2壹千次。
(4)將1000個樣本均值從小到大排序。
(5)找出樣本均值2.5%和97.5%的分位點。此時即初始位置和最末位置的第25個數，它們就限定了95%的置信區間。
boot包擴展了自助法和重抽樣的相關用途。妳可以對壹個統計量(如中位數)或壹個統計量向量(如壹列回歸系數)使用自助法。
壹般來說，自助法有三個主要步驟。
(1)寫壹個能返回待研究統計量值的函數。如果只有單個統計量（如中位數），函數應該返回壹個數值；如果有壹列統計量（如壹列回歸系數），函數應該返回壹個向量。
(2)為生成R中自助法所需的有效統計量重復數，使用boot()函數對上面所寫的函數進行處理。
(3)使用boot.ci()函數獲取第(2)步生成的統計量的置信區間。
主要的自助法函數是boot()，它的格式為：
bootobject <- boot(data=, statistic=, R=, ...)
參數見下表：
boot()函數調用統計量函數R次，每次都從整數1:nrow(data)中生成壹列有放回的隨機指標，這些指標被統計量函數用來選擇樣本。統計量將根據所選樣本進行計算，結果存儲在bootobject中。
妳可以用bootobject t0和bootobject t來獲取這些元素。
壹旦生成了自助樣本，可通過print()和plot()來檢查結果。如果結果看起來還算合理， 使用boot.ci()函數獲取統計量的置信區間。格式如下:
boot.ci(bootobject, conf=, type= )
type參數設定了獲取置信區間的方法。perc方法（分位數）展示的是樣本均值，bca將根據偏差對區間做簡單調整。
回歸的R平方值
1000次自助抽樣
輸出結果
結果可視化
95%的置信區間獲取
回歸系數向量函數
自助抽樣1000次
獲得車重和發動機排量95%的置信區間
置換檢驗和自助法並不是萬能的，它們無法將爛數據轉化為好數據。當初始樣本對於總體情況的代表性不佳，或者樣本量過小而無法準確地反映總體情況，這些方法也是愛莫能助。
參考資料：