因為這幾天沒看新聞，微信後臺壹個同學讓我找壹本書，超過48小時後無法回復。QQQ對這位朋友說了聲抱歉，看到的話可以直接加我好友~其他想找書的同學也可以直接加我微信...畢竟如果不是網上能找到的免費電子書，國家圖書館協會的書基本都是三元，自己掏錢hhh……的...淘寶壹般壹本書收五塊錢，這是人力成本。
好了，事不宜遲，今天就來說壹個評價模型——模糊綜合評價模型。
提前聲明壹下，我是第壹次接觸這些知識，可能無法很好的解釋原理。我會把申請過程寫好。
(關於上壹篇文章提到的熵權方法，還有前面提到的灰色關聯分析，後面我再補。)
首先解釋以下“模糊數學”。模糊數學是研究和處理模糊現象的數學理論和方法。現實生活中，很多概念很難用確定性集合來描述。比如“年輕”這個概念，是15 30年輕，還是18 25年輕？每個人對這個問題可能有不同的看法，很難給出壹個精確的範圍。我們可以理解為壹個模糊的概念。
生活中經常提到的大與小、長與短、美與醜等概念，都是模糊的概念。其實挺好辨認的。妳可以問問自己，多大了？有多小？它有多長？這種問題感覺有點像牧馬人，但正是因為沒有精確的範圍，所以只能問這種問題。與這個模糊的概念相對應的，是壹個確定的概念，比如性別，壹般不是男就是女，基本上有準確的劃分依據；再比如身高，分別是180和190。也很準確，不會有太多的歧義。註意“身高”是壹個確定的概念，而“身高”是壹個模糊的概念。妳自己想想hhh。
模糊數學用於處理涉及模糊概念的問題。盡量用某種方法將模糊概念量化，便於處理和計算。模糊綜合評價自然是模糊數學在評價問題上的壹大應用，即處理涉及模糊概念的評價問題。
其實也可以發現，評價問題的核心之壹就是把各種評價指標量化，然後加權求和，等等。基本上區別不是太大，模糊綜合評價模型也是，理解和實踐起來都不是太難。(這只是指我接觸過的評測機型，不知道是否太先進。)
為了更好地解釋後面的模型，有必要引入模糊數學中的壹些相關概念。
首先回顧經典系列。我們在高中的時候接觸到了集合的概念:屬性相同的事物的集合。這套經典有壹些基本屬性，比如確定性。給定壹個集合和任意元素，這個元素要麽屬於這個集合，要麽不屬於這個集合。沒有第三種情況。
在模糊綜合評價模型中，我們不使用這個經典集合，因為我們要處理模糊概念，所以需要使用模糊集合。模糊集是用來描述模糊概念的集合。模糊集與經典集的區別之壹是模糊集沒有確定性。比如35歲，我們可以認為是“年輕”還是“中年”，並沒有精確的定義。
因此，與傳統的集合不同，壹個元素要麽屬於壹個集合，要麽不屬於。我們用“隸屬度”來表示元素與模糊集的關系，即元素屬於模糊集的程度。說到隸屬度，就要提到隸屬度函數，這是壹個非常重要的概念。簡單來說，隸屬函數就是隸屬度對每個元素的函數，定義域就是我們研究的元素，函數值就是隸屬度。隸屬度的範圍是，它的值越大，就越屬於這個集合。(其實隸屬函數不是用域值來描述的，只是方便理解qwq。)
舉個簡單的例子。我們要衡量“年輕”這個概念，所以直接在0-150歲之間劃壹條線來區分年輕和不年輕是不好的。因此，對於0-150之間的每個整數年齡，我們給出壹個對應的值，即隸屬度，來判斷其與“年輕”的集合的關系。為了更方便的給出這樣壹個值，我們用要研究的元素設計了壹個函數和隸屬函數——這裏是壹個0-150之間的整數。隸屬函數定義如下。
其中A代表模糊集合，也就是這裏的“年輕”集合，X代表集合中的元素，也就是0-150之間的年齡，我們可以畫出壹個函數圖像。
可以發現，當年齡小於20時，對應的隸屬度為1，即我們認為小於20歲壹定屬於年輕範疇；年齡在20-40歲之間時，隸屬度隨著年齡的增長逐漸降低；當年齡超過40歲時，我們認為基本脫離了年輕範疇，隸屬度全部為零。如果壹個人30歲了，我們無法確定他是否年輕，但是我們用0.5的隸屬度，認為30歲的人有50%屬於年輕範疇，有50%不屬於年輕範疇。0.5衡量30歲屬於青春集合的程度，表達30與“青春”的關系。
我們也可以從概率的角度來理解隸屬度，現實生活中隸屬度的確定往往是通過調查來實現的。比如100人被問30歲是否年輕，如果40人回答是，那麽他們的隸屬度就可以確定為:調查總數越大，這個值就越接近真實的隸屬度。是不是像“頻率逼近概率”？至於上面的隸屬函數，只是為了便於理解而隨意構造的，並不等同於真實的調查結果，但仍然反映了構造者的主觀思想。事實上，隸屬函數不是唯壹的。不同的人和不同規模的樣本可能得到不同的隸屬函數。
好了，基本概念，也就是模糊集，隸屬函數，隸屬度，在這裏推廣了。因為接觸時間不長，可能不是很清楚準確。簡單來說，我理解的隸屬度就是壹個元素屬於壹個模糊集的程度，隸屬函數就是用來確定隸屬度的函數，僅此而已。不必太糾結，也不影響背後的具體應用。
壹般來說，模糊集主要有三種類型，小型、中型和大型。其實和TOPSIS法中的最大、最小、中間、區間指標差不多，沒什麽特別的。比如“年輕”是壹個小模糊集，因為年齡越小，隸屬度越大，就越年輕；“老年”是壹個很大的模糊集合。年齡越大，會員越多，年齡越大。而“中年”是壹個中間集，只有年齡在壹定的中間範圍內，隸屬度才越大。總結壹下，就是考慮“元素”和“隸屬度”的關系，以此類推，就是考慮隸屬函數的單調性。下圖可以代表“年輕”、“中年”、“老年”三個模糊集的隸屬函數圖像。看壹看妳就明白我的意思了。
為什麽要知道模糊集的分類？因為在模糊綜合評價模型中，需要確定對應的模糊概念屬於大尺度、小尺度還是中間類型，然後采用對應的隸屬函數，才能找到合適的隸屬度。再次註意，不管是什麽類型的模糊集，隸屬度越大，屬於這個集合的程度就越大，記住了嗎？
以上只是三種常見的類型。其實妳想壹想就知道，形狀應該挺多的，只要壹個元素對應壹個隸屬度，範圍介於之間就行。以上三種只是常見的三種，也是評價問題中經常涉及到的模糊集類型。
當然，可能會有壹些質疑。比如對於“年輕”和“年老”的集合，我們把年齡作為我們研究的元素，年齡可以量化成數字。同樣，快與慢的模糊概念可以用速度來量化，深與淺可以用深度來量化等等。那麽，美與醜，應該用什麽來量化呢？這個我不知道...我覺得沒有壹個共同的變量可以用來量化美醜。壹般的評估模型中，不應該涉及這種坑的問題(沒有，沒有)。有興趣的話，請自行查看...
確定隸屬函數其實就是給定壹個模糊集，然後通過壹些方法，給出我們需要研究的元素相對於模糊集的隸屬度。比如對於“年輕”的模糊集，要盡量確定0到150之間各個年齡的隸屬度，畫出壹個圖像，這個圖像就是隸屬函數的圖像。
有三種方法來確定隸屬函數。
1.模糊統計方法
模糊統計的原理是找多個人來描述同壹個模糊概念，用隸屬度來定義隸屬度。類似於求概率，我們可以用頻率逼近概率。比如我們上面提到的，想知道30歲相對於“青春”的隸屬度，那就去問個人吧。如果其中壹個人認為30歲屬於“青年”的範疇，可以作為30歲相對於“青年”的隸屬度。越大越真實，越準確。這樣問其他年齡，可以畫出壹個函數像。
嗯，這種方法比較符合實際情況，但是往往是通過發放問卷或者其他方式進行調查。數學建模競賽，時間可能不夠，所以只是入門，基本用不到。(不過現在淘寶填問卷挺快的，有錢就好。)
2.借助於現有的客觀尺度
對於壹些模糊集，我們可以用已有的指標作為元素的隸屬度。比如對於“小康家庭”的模糊集合，我們要確定100個家庭的隸屬度，那麽就可以用恩格爾系數來衡量相應的隸屬度。恩格爾系數=食物總支出/家庭總支出。顯然，壹個家庭越接近小康水平，其恩格爾系數就應該越低，“1-恩格爾系數”就越大，所以我們可以把“1-恩格爾系數”看作壹個家庭相對於小康家庭的隸屬度。然而，這只是壹個類比。畢竟對於富裕家庭來說恩格爾系數很小，隸屬度很大，但富裕家庭是不是“小康家庭”還有待商榷。
同樣，對於“設備完好”的模糊集，可以用設備完好率來衡量隸屬度，對於“質量穩定”的模糊集，可以用正品率來衡量隸屬度。遇到問題可以先百度壹下，說不定哪天就能找到壹個不錯的指標。
但是需要註意的是，隸屬度是介於之間的，所以在找指標的時候，也要註意介於之間。如果沒有，可以歸壹化，前面說過。
這種方法可以用在建模中，視具體題目而定。
3.分配方法
這是壹種主觀方法，即根據主觀意願，在確定模糊集的分類後，給它們分配壹個隸屬函數，得到元素的隸屬度。聽起來很主觀，但也是比賽中最常用的方法之壹。妳可以很容易地通過選擇得到隸屬函數。
我把常用的函數形式貼在下面。
圖片可能不是很清晰，但基本可以看出，對於壹個小的模糊集，隸屬函數整體是遞減的，即某個元素的某個特征越大，隸屬度越小；對於大集合，隸屬函數壹般是遞增的，即元素的某個特征越大，隸屬度越大；對於中間集，隸屬函數壹般是先增後減，中間部分或某壹點取最大值。
在實際建模比賽中，為了計算方便，梯形分布隸屬函數是最常用的(我在課上說過)。當然，具體問題還是要具體分析。隸屬函數要更平滑更陡峭，中間部分或某壹點的極值要根據具體情況選擇，但總體來說就是這麽回事。
再來看看梯形分布的隸屬函數圖像。
這是確定隸屬函數的幾種方法。還有其他壹些方法，如德爾菲法、二元比較排序法、綜合加權法等。有興趣可以自己咨詢他們。
經過這麽長時間的準備，我們終於可以用這個方法解決問題了。
首先還是要介紹壹些概念。
比如我們要評價壹個學生的成績，根據前面提到的層次分析法或者TOPSIS法，我們會找到指標，進行綜合評分，常用來比較幾個學生的成績，給出壹個排名。以上評價指標實際上對應的是這裏設置的因子。我們可以用因子聚類的四個指標來評價壹個學生的綜合表現。
評論集是對應對象的評價結果，類似於上面說的“打分結果”。不同的是，評論集不是分數的集合，而是由模糊概念組成的評論。例如，要評估學生的表現，我們可以將註釋集設置為。評論集中的這三條評論都是比較模糊的概念，但是在處理具體問題的時候，我們也可以把方案放到評論集中來選擇最佳方案。
重量設置就是妳想要的重量。給每個指標壹個權重，用來綜合評價，我就不多說了。這裏，我們可以把權重集作為因素集中四個指標的權重。
模糊綜合評價模型解決什麽問題？嗯，其實就是給定壹個對象，用因子集的指標對它進行評價後，從評論集中找到壹個最適合它的評論。如果評論的重點是方案，那就是選擇最合適的方案。那麽這個“適合”的衡量標準是什麽呢？很明顯，是隸屬度，壹個模糊集的隸屬度。
好了，總結壹下，比如我們現在有壹個學生，壹個因素集，壹個權重集，壹個評論集。我們的目的是在壹些操作之後給學生壹個適當的評論。妳懂嗎~
壹級模糊綜合評價模型，即因素集中度只有壹層評價指標，沒有壹層的嵌套，這也是最基本的情況。
解決這個問題，主要有幾個步驟。
好了，到目前為止，我們已經學會了壹級模糊綜合評判的解題步驟。這壹點也應該認識到。最重要的是明確判斷矩陣和權向量。乘以二，綜合隸屬向量就出來了。選擇最大的壹個。就像權重向量之前說的，如何求判斷矩陣的隸屬度，或者說判斷矩陣？上面也提到了確定隸屬函數的方法。利用隸屬函數，可以得到隸屬度。在實際建模中，我們經常使用“賦值法”來指定壹個符合實際問題的隸屬函數，也可以使用其他方法。只要知道判斷矩陣和權重向量，評價問題就基本解決了。
其實解題步驟挺簡單的，只是前面準備的太多了，所以寫的比較多，做起來也不是很復雜。我會找壹個中國大學大型開放式網絡課程的例子來展示解題過程。好吧，全用手打太浪費時間了，我就地圖了。
這是題目，即給出了汙染物的濃度和空氣質量等級中各汙染物的權重。讓我們來確定這壹天的空氣質量等級。
下圖顯示了評估標準。
汙染物濃度是本題的因子集，空氣質量四個等級是評論集，也是壹個模糊概念。比如，當TSP的濃度為0.20時，我們不能單純從TSP的角度來確定空氣質量等級是壹級還是二級，但是我們可以確定相對於各個等級的隸屬度。
如何確認會員資格？這裏可以用賦值法指定四個模糊集的隸屬函數，采用最常用的更符合題意的梯形分布隸屬函數。可以發現，“壹級”應該是壹個很小的模糊概念，即汙染物濃度越低，屬於“壹級”的程度越大；“二級”和“三級”應該是中間概念。當汙染物濃度處於中間某壹範圍時，對應的隸屬度較大；“四級”是壹個很大的概念，汙染物濃度越大，屬於“四級”的程度就越大。在我們確定了評論集中模糊概念的類型後，我們可以給出相應的梯形分布隸屬函數。如下圖。
這與上表中各汙染物濃度恰好處於1234四個等級時的數值相對應。從隸屬函數的角度來看，當汙染物濃度等於本表中的數值時，相對於相應空氣質量等級的隸屬度正好為1。應該不難理解，想想就知道了。
確定隸屬度函數，將各汙染物在這壹天的濃度直接帶入隸屬度函數，從而得出隸屬度，得到判斷矩陣。
利用判斷矩陣和權重向量，可以直接計算出綜合隸屬度向量。
顯然，這壹天的空氣質量最大程度上屬於二級，所以我們認為這壹天的空氣質量等級為二級。
嗯，例題也準備好了。可以去中國大學大型開放式網絡課程搜索華中農業大學的數學建模課程，對模糊綜合評價有更詳細的講解。這個例子也來自這門課。嗯，還有其他建模方法。
多級模糊綜合評價實際上相當於將幾層因素集相加。比如我們要同時處理20個評價指標，確定權重會比較麻煩。然後我們可以把這20個指標分成四大類，在每壹類內確定壹次指標的權重，再確定四大類的權重。這樣會更方便。如果指標多，可以嵌入幾層，即多級模糊綜合評價。
上圖所示的學生評價模型是兩級綜合評價模型，指標後面的數字代表相應級別的權重。此時我們如何確定判斷矩陣？第壹層的判斷矩陣肯定不可能壹上來就確定，需要從最後壹層壹步步往上推。
比如我們在考察學習成績對應的隸屬向量時，需要考察它的下壹級指標，即專業課程成績和非專業課程成績。比如Z同學的專業課成績是90分，那麽從這個指標來看，Z同學的隸屬向量是，評論集依然是“優、良、差”。然後看非專業課程的分數，得到壹個隸屬向量。利用這兩個向量，我們可以構造壹個矩陣，表示學習成績指標下由兩個二級指標組成的判斷矩陣。那麽學習成績壹級指標相對於評論集的隸屬度向量是怎麽得到的？很簡單。我以為有壹個重量向量。如果我們使用，就可以得到壹個新的向量，這個向量自然就是Z學生相對於來自學習成績指標的評論集的隸屬度向量。嗯，除此之外，就是兩個二級指標隸屬度的加權和，應該不難理解。
同樣，得到其他壹級指標的隸屬度向量，形成壹級指標的判斷矩陣，再進行加權，得到綜合隸屬度向量。
嗯，其實就是得到壹級指標的判斷矩陣，得到壹級指標的隸屬度向量，然後和壹級指標的隸屬度向量形成判斷矩陣，得到壹級指標的隸屬度向量，這就是用於綜合評價的隸屬度向量。
嗯，就這樣吧~
至於局限性就不說了，只知道使用條件，不知道說什麽，就這樣吧，下期見~
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以上。