1.褶積性質
設有壹線性系統，對單位脈沖δ(t-t0)的響應為h(t，t1)，
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可以證明，如果h(t，t1)已知，則這個系統即被完全表征。這個系統對任意輸入f(t)的響應為g(t)，響應g(t)可通過h(t，t1)求出。
根據式(2-6-5)，f(t)可表示成
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根據線性系統的性質得到:
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因此
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由於這個系統又是時不變的，即如果系統對單位脈沖δ(t)的響應為h(t):
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根據時不變性質，則有
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根據(2-8-1)式，顯然
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代入式(2-8-3)得到，
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這就是著名的褶積公式。上式右端積分稱為褶積積分。也可寫成
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褶積滿足
(1)交換律:
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(2)分配律:
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(3)結合律:
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從褶積公式可知，褶積積分中有兩個變量，壹個是積分變量τ，壹個是時間變量t，對於不同時間t，其積分限是不同的。下面用壹個例子來說明:
例有壹線性時不變系統，其單位脈沖響應為h(t)=e-atu(t)，如圖2-8-1(b)，求輸入為圖2-8-1(a)所示的方波
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時的輸出g(t)
根據線性時不變系統的褶積性質(2-8-7)式:
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由上式可知:
(1)當t<0時，f(t)=0，所以上述積分等於零;
(2)當0<t<T時，f(t)=1，h(t-τ)=e-a(t-τ)於是
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(3)當t>T時，f(t)=0，所以上述積分限的最大值為T，於是
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圖2-8-1 系統輸入(a)及系統的單位脈沖響應(b)
系統的輸出波形見圖2-8-2。
2.本征函數
壹個線性時不變系統，如果輸入是復指數函數ejω0t，則輸出也是復指數函數。
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其中ejω0t稱為線性時不變系統的本征函數，而H(ω0)稱為該系統的本征值。
圖2-8-2 輸出波形
證明:設
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根據系統的時不變性質
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根據系統的線性性質
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對比(2-8-10)式和(2-8-11)式的右邊
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當t=0時，e(τ)=e(0)ejω0τ
因為時移τ是任意的，將τ改寫成t，則
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式(2-8-9)得證。e(0)壹般是復數，並取決於ω，可用H(ω0)表示:即e(0)=H(ω0)，代入(2-8-13)式
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於是式(2-8-8)得證。