圓與點的位置關系:以點P與圓O為例(設P為點，則PO為該點到圓心的距離)，其中P在外⊙O，PO > R；P on ⊙O，po = r；p在⊙O以內，0 ≤ po < r .直線和圓的位置關系有三種:沒有分離的公共點；有兩個公共點相交，這條直線叫做圓的割線；圓和直線有唯壹的公共切點，這條直線叫做圓的切線，這個唯壹的公共點叫做切點。以直線AB和圓o為例(設OP⊥AB在p中，則PO為AB到圓心的距離):AB與⊙O分離，po > r；AB與⊙O相切，po = r；AB與⊙O相交，0 ≤ po < r .兩個圓之間的位置關系有五種:如果沒有公共點，壹個圓在另壹個圓外稱為外分離，內包含；如果有唯壹的公共點，壹個圓叫做外切於另壹個圓，內接於另壹個圓；有兩個共同點叫做交集。兩個圓的圓心之間的距離叫做中心距。兩個圓的半徑分別為R和R，且R≥r，中心距為p:向外分離p > R+R；外切p = r+r；交集r-r < p < r+r；內割p = r-r；包含P 圓的對稱性:圓是軸對稱圖形，其對稱軸是通過圓心的任意壹條直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。豎徑定理:垂直於弦的直徑平分弦，平分弦對面的兩條弧。逆定理:平分弦的直徑(不是直徑)垂直於弦，平分弦對面的兩條弧。 圓的角度和圓心角的性質和定理在同壹圓或同壹圓內，如果兩個圓心角、兩個圓心角、兩組圓弧、兩個弦和兩個弦中的壹個到圓心的距離相等，則其他對應的量都相等。壹個弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的壹半。直徑的圓周角是直角。90度圓周角對著的弦是直徑。如果壹個弧的長度是另壹個弧的兩倍，那麽它所對的圓周角和圓心角也是另壹個弧的兩倍。 關於外接圓和內切圓的性質和定理①壹個三角形有唯壹的外接圓和內切圓。外接圓的圓心是三角形各邊的中垂線的交點，到三角形三個頂點的距離相等；(2)內切圓的圓心是三角形內角平分線的交點，到三角形三邊的距離相等。③R=2S△÷L(R:內切圓的半徑，s:三角形的面積，L:三角形的周長)④兩個相切圓的連線的交點(連線:兩個圓心相連的直線)⑤圓O中弦PQ的中點m，交點m定義為兩條弦AB、CD，弦AD、BC分別在X、Y方向與PQ相交，則m為。(4)若兩圓相交，則連接兩圓中心的線段(也可用直線)垂直平分公共弦。(5)圓心角的度數等於它對著的弧的度數。(6)圓周角的度數等於它所對著的弧的度數的壹半。(7)弦切角的度數等於它所夾的弧的度數的壹半。(8)圓內角的度數等於該角所對的弧的度數之和的壹半。(9)圓的外角的度數等於由這個角度切割的兩個弧的度數之差的壹半。 切線的性質和定理 圓的切線垂直於切點的半徑；穿過半徑的壹端並垂直於該半徑的直線是該圓的切線。切線的判斷方法:通過半徑外端並垂直於此半徑的直線為圓的切線。切線的性質:(1)通過切點垂直於這個半徑的直線就是圓的切線。(2)垂直於切點的直線必須通過圓心。(3)圓的切線垂直於通過切點的半徑。切線長度定理:從圓外壹點出發的兩條切線的長度相等，該點與圓心的連線平分切線的夾角。 圓的標準方程:在平面直角坐標系中，以點O(a，b)為圓心，半徑為R的圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2 = R ^ 2。圓的壹般方程:將圓的標準方程展開，移位項，合並相似項後，可得圓的壹般方程為x 2+y 2+dx+ey+f = 0(其中d 2+e 2-4f > 0)。對比標準方程，其實D=-2a，E=-2b，f = a 2+b 2-r 2。圓的圓心坐標為(-D/2，-E/2)，半徑r = 0.5 √ d 2+e 2-4f。圓的參數方程:以點O(a，b)為圓心，R為半徑的圓的參數方程為x=a+r*cosθ，y=b+r*sinθ，其中θ為參數。圓的端點公式:已知兩點A (A1，B1)和B (A2)，過圓X ^ 2+Y ^ 2 = R ^ 2上壹點M(a0，b0)的切線方程為A0 * X+B0 * Y = R ^ 2。圓(X ^ 2+Y ^ 2 = R ^ 2)外的壹個點M(a0，B0)引出圓的兩條切線，這兩條切線是A和b。 圓與直線位置關系的判斷 在平面中，判斷直線Ax+By+C=0與圓X ^ 2+Y ^ 2+DX+EY+F = 0位置關系的壹般方法是:1。從Ax+By+C=0，代入Y = (-C-AX)/B，其中B不等於0。利用判別式B 2-4ac的符號，可以確定圓與直線的位置關系如下:如果B2-4ac >；0，圓和直線有兩個交點，即圓和直線相交。若b 2-4ac = 0，圓與直線有1個交點，即圓與直線相切。如果b 2-4ac 數學中的“圓” [圓的定義] 幾何學上說:由平面到定點的距離等於固定長度的所有點組成的圖形叫做圓。固定的點稱為圓心，固定的長度稱為半徑。 軌跡理論:以某點為圓心，以壹定長度為距離的平面上運動點的軌跡稱為圓，簡稱圓。 集合論:到壹個定點的距離等於壹個固定長度的點的集合叫做圓。 圓的相關量 圓周率:圓的周長與直徑長度之比稱為圓周率，其值為3.14159265358979323846…，通常用π表示。在計算中，常取3.1416作為其近似值。 弧弦:圓上任意兩點之間的部分稱為弧，或簡稱為弧。大於半圓的弧稱為上弧，小於半圓的弧稱為下弧。連接圓上任意兩點的線段稱為弦。通過圓心的弦叫做直徑。 圓心角和圓心角:頂點在圓心上的角度叫做圓心角。頂點在圓周上，兩邊又與圓相交的角叫圓周角。 內外圓心:過三角形三個頂點的圓稱為三角形的外接圓，其圓心稱為三角形的外圓心。與壹個三角形的三條邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓，它的圓心叫做心。 扇形:在圓上，由兩條半徑和壹條弧圍成的圖形稱為扇形。錐面的展開圖是壹個扇形。這個扇形的半徑成為圓錐的母線。 圓與圓相關量的字母表示法 圓-⊙半徑-R弧-⌒直徑-D。 扇形弧長/圓錐母線-l周長-c面積-s [圓和其他圖形之間的位置關系] 圓與點的位置關系:以點P與圓O為例(設P為點，則PO為該點到圓心的距離)，其中P在外⊙O，PO > R；P on ⊙O，po = r；p在⊙O以內，po < r。 直線和圓有三種位置關系:沒有分離的公共點；有兩個共同點相交；圓和直線有唯壹的公共切點，這條直線叫做圓的切線，這個唯壹的公共點叫做切點。以直線AB和圓o為例(設OP⊥AB在p中，則PO為AB到圓心的距離):AB與⊙O分離，po > r；AB與⊙O相切，po = r；AB和⊙O相交，po < r。 兩個圓之間的位置關系有五種:如果沒有共同點，壹個圓在另壹個圓之外稱為外分離，內包含；如果有唯壹的公共點，壹個圓叫做外切於另壹個圓，內接於另壹個圓；有兩個共同點叫做交集。兩個圓的圓心之間的距離叫做中心距。兩個圓的半徑分別為R和R，且R≥r，中心距為p:向外分離p > R+R；外切p = r+r；交集r-r < p < r+r；內割p = r-r；它包含P 圓的平面幾何性質和定理 【關於圓的基本性質和定理】 圓的確定:不在同壹直線上的三點確定壹個圓。 圓的對稱性:圓是軸對稱圖形，其對稱軸是通過圓心的任意壹條直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。 豎徑定理:垂直於弦的直徑平分弦，平分與弦相對的弧。逆定理:平分弦的直徑(不是直徑)垂直於弦，平分與弦相對的弧。 [關於圓心角和圓心角的性質和定理] 在同壹個圓或同壹個圓內，如果兩個圓心角、兩個圓周角、兩個圓弧和兩個弦的壹組相等，則對應的其他組分別相等。 壹個弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的壹半。 直徑的圓周角是直角。90度圓周角對著的弦是直徑。 [關於外接圓和內切圓的性質和定理] 三角形有唯壹的外接圓和內切圓。外接圓的圓心是三角形各邊的中垂線的交點，到三角形三個頂點的距離相等；內切圓的圓心是三角形內角平分線的交點，到三角形三邊的距離相等。 [關於切線的性質和定理] 圓的切線垂直於切點的直徑；穿過直徑壹端並垂直於該直徑的直線是該圓的切線。 切線判斷定理:通過半徑外端並垂直於該半徑的直線為圓的切線。 切線的性質:(1)通過圓心垂直於這個半徑的直線就是圓的切線。(2)垂直於切點的直線必須通過圓心。(3)圓的切線垂直於通過切點的半徑。 切線長度定理:從圓外的壹點到圓的兩條切線的長度等。 [關於圓的計算公式] 1.圓的周長C=2πr=πd 2。圓的面積S=πr？3.扇形弧長l=nπr/180 4.扇形面積S=nπr？/360=rl/2 5。圓錐體的側面面積S=πrl。 圓的解析幾何性質和定理 圓的解析幾何方程 圓的標準方程:在平面直角坐標系中，以點O(a，b)為圓心，半徑為R的圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2 = R ^ 2。 圓的壹般方程:將圓的標準方程展開，移位項，合並相似項後，可得圓的壹般方程為X ^ 2+Y ^ 2+DX+EY+F = 0。對比標準方程，其實D=-2a，E=-2b，f = a 2+b 2。 圓的偏心率為e=0，圓上任意壹點的曲率半徑為r。 【圓與直線位置關系的判斷】 在平面中，判斷直線Ax+By+C=0與圓X ^ 2+Y ^ 2+DX+EY+F = 0的位置關系的壹般方法是: 1.由Ax+By+C=0，y = (-c-ax)/b，其中b不等於0，代入x ^ 2+y ^ 2+dx+ey+f = 0，即變成二次方程f(x)=0。使用判別式B 2-4ac的符號，圓和直線之間的位置關系可以確定如下: 如果b 2-4ac > 0，則圓與直線有兩個交點，即圓與直線相交。 若b 2-4ac = 0，圓與直線有1個交點，即圓與直線相切。 如果b 2-4ac 2.若B=0表示直線為Ax+C=0，即X =-C/A，平行於Y軸(或垂直於X軸)，將X ^ 2+Y ^ 2+DX+EY+F = 0改為(X-A) 2+(Y-B) 2 = R，設y=b，此時找出兩個X值x1和X 2，指定X1 當x =-c/a X2時，直線與圓分離。 當x1 當x =-c/a = x1或x =-c/a = x2時，直線與圓相切。