設a[1]，a[2]，...是r中的柯西序列。
很容易知道柯西序列是有界的，所以我們設L
考慮集合E = {x ∈ R |有無窮個k，使得a[k] ≤ x}。
由U ∈ E，E≦？也很容易看出l是e的壹個下界。
e是壹個有下界的非空集，所以有壹個下確界b。
斷言lim {k→∞} a [k] = B。
否則，存在ε>；0，使得無窮多個k滿足|a[k]-b| ≥ ε。
因為b是e的下界，所以有a[k]& lt；大多數有限的k構成a[k]
但是，因為{a[k]}是柯西序列，所以存在n，當m，n >時；有| a [m]-a [n] |
有無窮多個k，有k > N使得a[k] ≥ b+ε。
所以對於任意n > N，其中a[n] > a[k]-ε/2 ≥ b+ε/2。
因此，至多有有限個k使a[k] ≤ b+ε/2，即b+ε/2不屬於e .
很容易了解任何x
所以斷言成立，柯西序列收斂。
(2)柯西序列收斂→上確界原理。
設E是R中的非空集，且存在於上界。
首先，我們證明了引理:對於e的任意上界b，如果t >；0使得b-t不是e的上界，
那麽e就有壹個上界c，所以c-t/2不是e的上界。
原因很簡單:如果b-t/2是E的上界，那麽c = b-t/2滿足條件。
如果b-t/2不是e的上界，那麽c = b滿足條件。
設x是E和y ∈ E的壹個上界，設t = x-y+1 >；0，那麽x-t = y-1
構造序列{a[k]}:設a[1] = x，則a[1]是e的上界，a[1]-t不是e的上界.
由引理可知，E存在壹個上界a[2]，所以a[2]-t/2不是E的上界.
則存在壹個E的上界a[3]，使得a[3]-t/4不是E的上界，以此類推。
A[k]是E的上界，A [k]-t/2 (k-1)不是E的上界.
設a[k+1]為e的上界，其中a[k+1]> a[k]-t/2^(k-1).
而a [k+1]-t/2 k不是e的上界，存在a[k]>；a[k+1]-t/2^k.
綜合| a [k+1]-a [k] |
可以證明{a[k]}是柯西序列:
| a[n+m]-a[n]|≤| a[n+m]-a[n+m-1]|+...+| a[n+1]-a[n]| = | a[n+1]-a[n]|(1+1/2+...+1/2^(m-1))
& lt2 | a[n+1]-a[n]| & lt；t/2^(n-2).
對於任何給定的ε>；0，我們知道有n，當n >；當n | a [n+m]-a [n] |
設lim{k → ∞} a[k] = d，證明d是e的上確界。
首先，D是E的上界，因為對任意x ∈ E，x ≤ a[k]對任意k成立.
X ≤ lim{k → ∞} a[k] = d由極限的保序性得到。
另壹方面，d是e的上確界
對於任何d '
k的存在使得d' ≤ a [k]-t/2 (k-1)，而a [k]-t/2 (k-1)由於構造過程的原因並不是e的上界。
因此，D' ≤ A [k]-T/2 (k-1)不是E的上界.
所以d是e的最小上界，即d是e的上確界，e有上確界。
註(*):事實上，這裏使用了關於實數完整性(阿基米德性質)的壹個推論:
對於任意壹個a，b > 0，都有壹個正整數n使得na > b。
嚴格來說要從用柯西列構造實數開始，其中要求ε是正有理數。
阿基米德性質對於有理數是正確的。