不過這裏我只能簡單介紹壹下，更加深入的原理，可能需要我專門學習之後才能清楚地表達出來。不過應用起來倒不是很難，部分原理理解不清晰應該也不影響使用，就當作了解壹個新方法吧。
事實上越往後學，例如多元回歸分析、運籌學相關、時間序列分析、各類預測模型、聚類分類等等，都涉及到很多有難度的數學推導。我自己即使有所理解和學習，但想要比較簡單易懂地表達出來，還是需要更長時間沈澱的。所以目前寫學習筆記，就只能簡單說明壹下原理，然後講壹下傻瓜式應用了。等我理解得更加深入了，再回頭把寫得不夠深入清晰的文章翻新壹下吧。
好的，言歸正傳，講壹講灰色關聯分析吧~
“在系統發展過程中，若兩個因素變化的趨勢具有壹致性，即同步變化程度較高，即可謂二者關聯程度較高；反之，則較低。因此，灰色關聯分析方法，是根據因素之間發展趨勢的相似或相異程度，亦即“灰色關聯度”，作為衡量因素間關聯程度的壹種方法。”
以上內容摘自百度，大概就是這麽回事。灰色關聯分析的研究對象往往是壹個系統。系統的發展會受到多個因素的影響。我們常常想知道，在眾多的影響因素中，哪些是主要因素，哪些是次要因素；哪些因素影響大，哪些因素影響小；哪些具有促進作用，哪些具有抑制作用等等。
數理統計中常常使用回歸分析、方差分析、主成分分析等來探究這個問題。但上述的方法有壹些***同的不足之處。例如這些方法都要求大量的數據，數據小則結果沒有太大意義；有時候還會要求樣本服從某個特殊分布，或者出現量化結果與定性分析不符合的情況。而灰色關聯分析則可以較好地應對這種問題。
灰色關聯分析對樣本量的多少和樣本有無規律並沒有要求（當然樣本量也不能太少，就兩、三個樣本還分析什麽），量化結果基本上與定性分析相符合。灰色關聯分析的基本思想是，根據序列曲線幾何形狀的相似程度來判斷其聯系是否緊密。曲線形狀越接近，相應序列之間的關聯度就越大，反之就越小。
嗯，對於上述原理，簡單翻譯壹下，就是研究兩個或多個序列（序列可以理解為系統中的因素或者指標）構成的曲線的幾何相似程度。越相似，越說明他們的變化具有某種緊密的聯系，也就是關聯度高。所以這個方法也幾乎是從純數據的角度去研究關聯性，如果兩個沒啥關系的指標，在曲線形狀上表現得極為相似，那灰色關聯分析就會認為二者關聯程度很高。當然這只是壹個比較極端的例子，對於壹般的數據或者系統，用曲線形狀來衡量關聯度，也是有壹定的道理的。
我們首先來介紹壹下第壹個應用，也是它的基本應用，系統分析。其分析的主要內容，就是給“影響系統發展的各因素”在重要程度或者說影響程度方面排序。用灰色關聯分析的說法，就是給出各個因素與系統總體的關聯度排序。關聯度越高，說明相應因素對系統發展的影響越大。至於關聯度，就是上文提到的曲線形狀的近似程度了。嗯，其實模模糊糊還是可以理解灰色關聯分析的，就是感覺上有壹點兒不靠譜hhh
下面直接舉個例子來講解應用灰色關聯分析的方法。（原理已經講過了呀）
下表為某壹地區國內生產總值的統計數據（單位：百萬元），問該地區從2000年到2005年之間哪壹種產業對GDP總量影響最大。
諾，這就是壹個典型的系統分析問題，找出對GDP發展影響最大的壹個因素。那我們需要怎麽做呢？想想看，灰色關聯分析的原理是，比較序列曲線幾何形狀的相似性，那當然要先把序列曲線給畫出來呀。嗯，第壹步就是畫出序列曲線啦。
這裏需要註意，我們想要研究各因素對系統總體的關聯度，就需要找出壹個可以代表系統總體發展的指標，這裏就是GDP。類似的，我們想要反映教育發達程度，就可以使用國民平均接受教育的年數來代表；我們想要反映社會治安面貌，就可以使用刑事案件的發生率來表達；想要反映國民健康水平，就可以使用醫院掛號次數來表達。不管怎樣，總是需要找到壹個指標，對系統整體的發展進行刻畫。
別的不說，只看曲線形狀，我就覺得第壹產業對GDP的影響最小了。GDP壹直往高處走，而第壹產業曲線的形狀幾乎就是平著的。而單看相似性，好像第二產業，也就是灰色曲線與GDP曲線最為相似。不過畫出圖像只是為了給出壹個直觀的感受和分析，曲線形狀的近似程度，還是需要計算的。
第二步是確定分析序列。分析序列分為兩類，壹類稱之為母序列，也就是反映系統整體行為特征或發展的數據序列，可以理解為回歸分析中的因變量，這裏就是GDP這壹列。另壹類稱之為子序列，也就是影響系統發展的因素組成的數據序列，可以理解為回歸分析中的自變量，這裏就分別是第壹產業，第二產業，第三產業的生產總值數據。
第三步是對數據進行預處理。預處理我們講到許多了，例如正向化，標準化，歸壹化等等。這裏預處理的目的就是去除量綱的影響，以及縮小數據範圍方便計算。數據標準化往往就是這個作用。數據標準化有多種方法，例如 標準化，就是原數據減去均值除以方差，隨機變量往往使用這種方法；再比如 標準化，就是 。這兩個方法之前都提到過。
那在這裏，我們使用的標準化方法是每壹個元素除以對應指標的均值，也就是 。嗯，我們展示壹下處理之後的數據。用excel處理就可以了，比較方便。
第四步，計算處理後的子序列中各個元素與母序列相應元素的關聯程度。記母序列為 ，子序列為 ， ， 。我們首先計算出母子序列最小差 ，之後再計算壹下母子序列最大差 。計算如下表。
嗯，可以發現， 就是上表中最小的元素， 就是上表最大的元素。然後我們就可以計算子序列中每個元素與母序列相應元素的關聯度啦。
灰色關聯分析中，定義 ，其中 是分辨系數，壹般位於 之間，往往取 。至於為什麽要用這樣壹個公式定義子序列某元素與母序列相應元素的關聯度呢？我就不曉得了……嗯，自行查閱，如果知道了請留言告訴我，謝謝！
第五步，計算各個序列，也就是指標與系統總體的關聯程度。我們定義 ，用它來表達某個指標與系統總體發展的關聯度。
嗯，其實就是第四步，求出了指標內部各個元素與母序列對應元素的關聯度，把他們求個平均值，就可以看作該指標與系統總體的關聯度了。如果妳可以接受上文中的關聯度計算公式，想來接受這個關聯度均值，應該不是太難。
上圖就是該題的最終計算結果了，計算證明，取分辨系數為0.5時，第三產業對國內生產總值的影響最大。好像跟那個圖片不是很符合……畢竟從圖片上直觀感受，應該是第二產業的曲線形狀與GDP的曲線形狀最為相近，結果計算出的是第三產業。那，我們換壹下 試試。
壹番操作，還是第三產業對GDP影響最大。不過再次提醒，實際使用時， 是最常用的。
如果要強行解釋壹波，大概就是GDP的增長率是有起伏的，2002-2005之間每壹段折線的斜率是不同的，而第二產業2002-2005之間，基本是壹條直線過去，相比之下，第三產業的增長變化，更像GDP的變化……好吧就是強行解釋壹下啦
上圖是每壹年的增量情況……嗯，好像也是灰色和藍色更像，不過2003-2005的增量，也就是2002-2005這四年來看，第三產業和GDP的增長更加相似。而第二產業只有壹兩年比較相似，所以綜合來看，可能還是第三產業對GDP的影響更大吧。
嗯，強行解釋完畢。
最後對於系統分析問題，還有兩個問題。
嗯，系統分析講到這裏。
灰色關聯分析用於綜合評價的核心是，通過指標的關聯度確定每個指標的權重，之後加權求和打分。
還是這二十條河流。評價水質，我們用灰色關聯分析怎麽做呢？
第壹步、把所有指標進行正向化處理。正向化處理知道是什麽吧，就是把極小型，中間型，區間型指標，全部轉化為極大型指標。也就是要求數據值越大，最後得分越高。
第二步、對正向化的矩陣進行標準化。這裏的標準化跟上面系統分析的標準化是壹個東西。也就是用每壹個元素除以對應指標的均值， ，把數據的範圍縮小，消除量綱影響。將經過了上述兩步處理的矩陣記為
第三步、將正向化、預處理之後的矩陣，每壹行取出壹個最大值，作為母序列。嗯，這裏就是灰色關聯分析用於綜合評價問題需要註意的點了，也就是人為的構造出這麽壹個母序列。
第四步、按之前提到的方法，計算各個指標與母序列的灰色關聯度，記為 。
第五步、計算各個指標的權重。每個指標的權重 。也就是關聯度占總體關聯度之和的比重。
第六步、我們求出每個評價對象的得分。對於第 個評價對象，其得分 。這裏的 ，也就是上面提到的經過正向化和標準化的矩陣 。 中的每壹個指標都是極大型指標，數值越大分數應該越高，同時消除了量綱的影響。因此我們直接把 中的元素作為每個指標下對每個評價對象的打分，然後對指標的分數進行加權求和。權重就是我們上面使用灰色關聯度求得的權重。這樣子，我們就求出了最終的分數。
第七步、對分數進行歸壹化處理。 ，這樣子可以把分數全部放在0-1之間。歸壹化的好處就是，此時的分數可以解釋成相應的研究對象在總體研究對象中“水某平”的百分比，也就是所處的位置。在水質題目中，也就是某河流水質情況在所有河流中所處的位置。嗯，用壹個更通俗的說法，就類似於“您的成績超越了百分之xx的同學”。這就是歸壹化的目的。
下圖展示了對於水質情況的評價，使用TOPSIS方法與灰色關聯分析的結果。
可以看到，這兩種方法對於該問題最後的排序是不同的。第壹名的取法就不壹樣，中間壹部分順序也比較不同，不過總體上還是比較相近的。hhh，不如再使用壹個層次分析法，把三種方法得出的歸壹化後的分數，再取個平均，作為最終排序的依據。嗯，妳看這個模型，是不是壹下子就復雜了。
好的，本文就到這裏，其實還是有幾個迷惑的問題沒有解決。
後兩個好像可以強行解釋，因為我們把正向化以及標準化後的矩陣當成分數矩陣了，所以取每壹行的最大值，用來構造系統的最優得分序列，每壹項方案就相當於系統的壹次發展。之後計算關聯度，就是看指標對系統最優序列的影響程度，影響程度越大，我們就賦給它更大的權重……嗯，強行解釋
上面這三個問題，如果誰有比較好的想法，希望可以留個言告訴我，現在這裏謝過！如果我以後慢慢理解了，也會在文章中更新。（不過發在微信公眾號上可能是無法更新了，知乎和都可以）
灰色關聯分析，我能分享的也就這麽多了。如果想要繼續了解，可以閱讀《灰色系統理論及其應用》，劉思峰等著。嗯，灰色系統還有灰色系統預測，灰色組合模型，灰色決策，灰色聚類評估等應用，沒事兒可以看看。
這兩天知乎給我推送了壹些數學建模相關的問答，其中壹個是數學建模相關書籍。我把高贊回答推薦的書的電子版找了壹下，如果需要的話，在微信公眾號“我是陳小白”後臺回復“數學建模書籍”即可。
以上