何誌勤，樊江濤
(華東交通大學電氣與電子工程學院，江西南昌3300l3)
摘要：運用MATLAB對傳統全波傅氏算法和2種改進算法進行仿真，通過對3種算法頻譜圖的比較分析，說明2種改進傅氏算
法能夠有效濾掉故障電流中衰減的直流分量，從而獲得更為精確的基波和諧波的幅值．
關鍵詞：傅氏算法；衰減直流分量；MATLAB
中圖分類號：TM774 文獻標識碼：A
1 引言
任何壹種保護功能的實現都必須要有相應的算法來支
持．我們對算法性能優劣的評價也取決於該算法能否在較
短數據窗中從交流信號的若幹采樣值中獲得基波分量或者
某次諧波分量較為精確的估計值．傅氏算法是當今較常用
的算法，該算法具有很強的濾除諧波分量的能力，但缺點是
其本身不能濾除衰減的直流分量．為了克服信號中衰減的
非周期分量的影響，國內外很多學者作了大量的分析研究
工作，並提出了壹些相應的保護算法．本文利用MATLAB對
傳統全波傅氏算法和2種改進後的傅氏算法進行仿真，並對
仿真結果進行比較和探討．
2 傳統傅氏算法及其仿真
2．1 傳統傅氏算法的推導
我們以電流為例，設定故障電流波形為以下形式：
i(t)=／oe +
l~sin(kot+仇)
其中k為諧波次數，tot為基波的角頻率．設 ：hsin
( )， =l~cos( )
則原式轉化為：
(I)=Ioe壹+ E[1~cos(b．ot)+I1 s1‘n( )]
運用全波傅氏算法，有：
{f = ： (I)c06( )dt<br>b = J (I)siII( )dt<br>經過A／D(模擬量／數字量)變換采樣量化後，連續量變<br>為離散量，連續量求積變為離散量求和，從而有：<br>f = 2 r~ ．c0sL 27r)式(1)<br>6 = 2三-siIl( )式(2)<br>上式中，Ⅳ為壹個周期 內的采樣點數；k是諧波次數；<br>n為離散的采樣點．<br>2．2 傳統傅氏算法的仿真<br>在用MATLAB進行仿真模擬時，要註意N數目的選擇，<br>這將對仿真效果產生影響．仿真程序的流程圖如圖r<br>／ 會蠹 墨壁 壁塑 _壹setp：1：<br>： ： 婪 滏 l bit(ustteprtl壹y1=) 1：<br>實部和虛部廣—7擷出狽譖 w／<br>圖1 傳統傅氏算法程序流程圖<br>仿真程序的部分代碼如下：<br>％ m ’<br>global step％運算步數<br>global bitbuttedly％每個蝴蝶結中所包含的點數<br>收稿日期：2005—05—25<br>作者簡介：何誌勤(1982壹)，男，江西省九江市人，華東交通大學o3級碩士研究生，研究方向為電力系統及其自動化<br>l14 華東交通大學學報 2006正<br>global frequency％每步運算中蝴蝶結的個數<br>for step 1：5<br>for bitbutterfly=1：2^(step壹1)<br>i= ( (5壹step))*(bitbutterily壹1)；RW =c0s(2 pi*<br>i／32)；％ W的實部<br>IW=(壹1)*sin(2 pi*i／32)；％ W的虛部<br>for frequency=1： (5壹step)<br>temp (frequency壹1)*(2"step)+bitbuttefiy；<br>TR =dataR(temp)；TI=dataI(temp)；<br>dataR(temp)=dataR(temp)+RW*dataR(temp+2 (step壹<br>1))壹IW*dataI(temp+2^(step壹1))；<br>dataI(temp)=dataI(temp)+RW*dataI(temp+2 (step壹<br>1))+IW*dataR(temp+2~(step壹1))；<br>tempi=dataR(temp+2~(step壹1))；<br>dataR(temp+2^(step壹1))=TR壹(RW*dataR(temp+2<br>(step壹1))壹IW*datal(temp+2^(step壹1)))；<br>dataI(temp+2 (step 壹1))=TI壹(RW *dataI(temp+2<br>(step壹1))+IW*temp1)；<br>end<br>end<br>end<br>筆者選擇J7、r為32點，並選取兩組故障電流進行仿真，<br>從而比較非周期的衰減直流分量對運行結果的影響．最後<br>觀察的是每次諧波的幅值和真實值的差距，根據式(1)和式<br>(2)，幅值即為：I (k)I=~／o + ．<br>3 兩種改進後的傅氏算法及其仿真．<br>3．1 傳統傅氏算法的誤差來源<br>傳統傅氏算法的誤差主要來源於兩方面：1)用離散值累<br>加代替連續積分。其結果受到采樣頻率的影響．此外計算要<br>用到全部N個采樣值，因此，計算須在故障後第N個采樣值<br>出現時，才正確．在此之前，N個采樣值中有壹部分吻故障前<br>的數值，從而使結果不精確．2)傳統傅氏算法無法濾掉衰減<br>的直流分量．<br>3．2 濾除衰減直流分量的改進全波算法1<br>所謂改進就是在全波傅氏變換提取出基波或各次諧波<br>分量的基礎上。減去直流衰減分量帶來的誤差．我們將實部<br>和虛部的誤差設為也 貝lJ有：a t=~ +3 a<br>；設<br>=i(0)壹 (N)，也就是說，在傳統傅氏算法的數據窗32個點<br>的基礎上再加壹個點，取第壹個點減去第J7、r+1個點．通過<br>計算，可得校正量：也=2／(1+ k K2)， (0)；甌=2kTr ；<br>其中K=， (0)／ ．在交流采樣算法中，， (0)= Σ (n)，<br>即采樣點數值之和與總采樣點數之商．將計算出來的 和<br>甌回帶入式(3)和式(4)，計算a 和b ．仿真程序的流程圖如<br>圖2：<br>圖2 改進算法1程序流程圖<br>仿真程序的部分代碼如下：<br>P 3；suln=0；<br>fori=1：32％計算I(O)<br>SHIn=x(j)+sum；<br>end<br>Y=sum／32；d=X(1+P)壹x(33 P)；<br>z=y／d；％計算K<br>for k=1：32<br>ama(k)=0；dRta!(k)=0；<br>for n=1 p：32+P<br>am~(n)=x(n)*c0s(2 pi*n*k／32)；ami(n)=x(n)<br>*(壹1)*sin(2*pi*n*k／32)；<br>datarr(n)=2 y／(1+4 pi pi*k*k*( 2))；％計算<br>實部誤差<br>dataii(n)=k*2 pi*z*datarr(k)；％計算虛部誤差<br>dat~(k)=daaR(k)+d咖(n)壹d北lIr(n)；d劃(k)=<br>dataI(k)+dmi(n)壹dataii(n)；<br>end<br>end<br>程序中由P來控制起始采樣點的位置，通過對P的調<br>整，來測試其對運行結果的影響．結果說明P=3時的仿真效<br>果比較好．<br>3．3 濾除衰減直流分量的改進全波算法2<br>我們對輸入信號進行等間隔采樣．選取三個數據窗，時<br>間間隔為壹個采樣周期．可以得到：<br>』ak=IkCOSgk+3a． f。 =hcos(9k △ ) ：<br>b ：／ksing,+甌’ l b ：／ksin( + u△￡)+ ’<br>fl ～cos(gk+2koAt、)+ ~令：A： 壹 +k,bl,；B：<br>= Iksin(9k+2／~oAt)+ 壹?6?8 ‘<br>b 壹kcb +k,al,；C： 壹 + 6 ；D： 壹kcb +ksaj,；<br>進壹步得出： =<br>(kr—k )壹Ak<br>n 警 ；甌<br>壹<br>1+磚壹2 r’<br>其中：也= ( )； =c0s( )；將計算出來的 和甌<br>第1期 何誌勤，等：基於MATI_AB的全波傅氏算法仿真 115<br>回帶入式(3)和式(4)，計算 和 ．仿真程序的流程圖如圖3．<br>仿真程序的部分代碼如下：<br>for n=(2+P)：(33 P)％ 取數據窗3<br>datar3(n)= (n)*cos(2 p * *k／32)；da妊li3(11,)=<br>(n)*(壹1)*sin(2 *n*k／32)；<br>3(k)=dataR3(k)+datar3(n)；datal3(k)=datal3<br>(k)+datai3(n)；<br>end<br>∞ =dataR1(k)壹dataR2(k)；％ 計算A<br>輸入模擬故障電流函數<br>對采樣點值構成的數組初始化<br>取第壹個數據窗，計算變換後實部和虛部<br>取第二個數據窗，計算變換後實部和虛部<br>取第三個數據窗，計算變換後實部和虛部<br>計算實部和虛部誤差<br>計算修正後的實部和虛部<br>輸出頻譜圖<br>圖3 改進算法2程序流程圖<br>bb=datall(k)壹datal2(k)；％ 計算<br>cc=dataR2(k)壹dataR3(k)；％ 計算C<br>dd=datal2(J})壹datal3(J})；％ 計算D
=n6s(cc)／(a／s(kc*∞ + *66))；
k1=(拍*(kc*kt壹1)+∞ * *缸)／(1+ 2—2*
*kc)；％虛部誤差
ks1=(∞ *(kc*kt壹1)壹66* * )／(1+ r2—2*
*k)；％實部誤差
( )=dataR1(k)+ks1；datal(k)=datall(k)+
kc1；
end
筆者在編程時，對誤差計算做了修改，結果更佳．要註意
誤差和初值的加減問題，在算法2的程序中誤差是和初值相
加，在算法1中是相減，否則結果誤差會反而增大，此處不再
做深入分析．
4 傳統算法和改進算法的性能比較(Ⅳ統壹
取32)
4．1 含有較大的衰減直流分量
根據程序，我們取：
(t)=30e壹4o‘+3Osin(10D7c￡+r．／3)+6sin(200rrt+rt／4)+
15sin(30o ￡+rt／6)+5sin(400~t+rt／3)+1Osin(50D兀￡+7r／4)；
仿真結果如表1．
表1 含較大衰減值流分量仿真結果表
蠶壹叭
40
30
20
lO
0
圖4b 改進算法1仿真波形
圖4c 改進算法2仿真波形
改進算法2仿真波形
4．2 含有較小的衰減直流分量
根據程序，我們取：
(t)=8e壹20‘+30sin(100~t+rt／3)+6sin(200rrt+rt／4)+
15sin(300~t+rt／6)+5sin(40Orrt+rt／3)+10sin(500~t+rt／4)；
仿真結果如下表2：
116 華東交通大學學報 2006正
表2 含較小衰減值流分■仿真結果表
計算後的仿真數值波形如圖5
0 0 02 0 04 0 06 0．∞ 01 0120．140 16 0．18 0 2
0 0．02 0．04 0 06 0．∞ 0 1 0．120 14 0 16 0．18 0．2
圖5b 改進算法1仿真波形
5 全波傅氏算法小結
全波富氏算法能濾除所有的整次諧波分量，且穩定性
好，但其數據窗較長，所以其響應速度較慢．通過上面的仿真
結果，我們可以得出以下結論：
1)對照同壹故障波形進行分析，可以看出：2種改進算
法所算結果都比較傳統傅氏算法要精確．
2)在故障波形諧波含量都相同的情況下，衰減直流分
量的初始值越小，衰減時間常數越大時，衰減非周期分量對
基波以及各次諧波的影響越小．
3)筆者將采樣點數Ⅳ從16提高到32後，3種算法誤差
均有壹定程度的減小．如果進壹步提高采樣率到64點／N或
128點／N時，對提高計算精度作用不大，而計算時間相應增
加．因此，將采樣點定為32點／周對減少誤差有益．
雖然改進算法總體要比傳統算法精確，但都還存在壹個
無法避免的計算誤差，那就是所取數據窗內的正常數據和故
障數據的分辨問題．為了全部使用故障後的采樣值，往往取
i≥N／2，i表示從故障起始時刻開始第i個采樣點．本文中
是通過對改進算法中P的調整，模擬故障發生後，起始采樣
點的位置．理論上如果有充足的判據是可以的，但無疑增加
了保護計算的時延和難度，而且跳過的半個周期采樣值不予
計算，這肯定會給故障時刻電流的計算帶來壹定的誤差．因
此，這個問題還有待進壹步的研究．