我們知道，壹般函數的定義是，對於自變量X的每壹個值，都有壹個特定的函數值f(x)與之對應，f(x)稱為X點的函數值，但我們這裏要討論的δ函數不是這個普通意義上的函數，因為它沒有普通意義上的“函數值”；它的運算功能只有出現在積分符號中才能體現出來。它是某種復雜極限過程的簡化符號，是壹種廣義函數。
狄拉克δ函數是壹個算子δ(x ),這使得下面的等式對於在x=0處連續的任何函數f(x)都成立:
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為了理解δ(x)，對於h > 0引入以下函數序列。
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根據積分中值定理，有ξ和|ξ |
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所以我得到了:
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由此我們可以直觀地知道，δ(x)是δh(x)在某種意義上的極限，這也可以用嚴格的理論來證明。因為
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所以δ(x)可以大致理解為滿足。
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和
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公式(8.1.3)是壹個比通常的函數含義更廣的“函數”，是使f≡1)得到的。
物理上，δ函數常用來描述集中分布的量，如集中質量、集中電荷等。如果壹個單位質量集中在X軸上的原點，用δ(x)來表示密度分布函數，那麽當x≠0時，δ(x)=0。若δ(x)= c為有限常數，則δ(x)為通常意義下的分段連續函數，按壹般積分計算，有
δ(x)dx=0，即總質量為零，與直線上有單位質量的假設相矛盾。因此，不能假設δ(0)等於壹個有限常數。事實上，如果δl取為包含原點的區間段，δM為X軸上該段的總質量，則密度應為:
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可以看出，這裏介紹的δ函數只是描述了集中質量問題。在電法勘探問題中，δ函數只是描述了點源的電荷(或電流)密度。
上面我們已經定義了壹個壹維δ函數，它的奇點在x=0。對於奇點在任意壹點的n維δ函數(，，，)，可以類似定義，即它是壹個算子δ (x1-) δ (x2-)...δ (xn-)，使得對於在該點連續的任意函數f(，，，)。
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它成立，特別是當n=1，x1=x，=0時，得到公式(8.1.1)。其實n維δ函數可以寫成n個壹維δ函數的乘積。它還應滿足以下要求:
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和
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本書只涉及二維或三維δ函數。
對於有限的研究領域，我們還可以給出以下關於δ函數的常見結果，例如，以二維情況為例:
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其中d是二維區域，f(x1，x2)在(，)處連續，在第二個方程中，要求d的邊界γ在奇點(，)附近光滑。在特殊情況下，當f=1時，我們可以得到:
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現在給出公式(8.1.7)的直觀證明。當x0=(，)在D外時，由公式(8.1.5)可知，δ在D及其邊界處為常數。此時，公式(8.1.7)的左邊部分可以理解為正常意義下的零函數的積分，其積分值為零。當x0為零時，
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圖8.1 D∩B的二維幾何表示
因此，從公式(8.1.4)可以看出，公式(8.1.7)中的第三個等式成立。對於奇點x0在區域邊界γ的情況，設B(x0，ε)是以x0為圓心，ε為半徑的開圓(壹維開區間，三維無球面的球面，n維開球。
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其中D∩B表示D域與B圓的重疊部分，即圖8.1中的陰影部分，此外，還有
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因為γ在x0附近是光滑的，當ε趨於零時，D∩B域趨於半圓，因此，由上述兩個方程給出
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這是(8.1.7)中的第二個等式。
8.1.2δ函數的性質及其傅裏葉變換
對於壹維情形，給出了δ函數及其傅裏葉變換的壹些共同性質，它們都假設f(x)在奇點處連續。由(8.1.7)。
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另外，設α1和α2為常數，δ函數與加法運算成線性關系。
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對於任何在x0連續的函數f(x ),有
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上述公式稱為δ函數的屏蔽性質。因為
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可知的
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因為
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所以有
δ(x)f(x)=δ(x)f(0)(8.1.14)
還是老樣子
δ(x-x0)f(x)=δ(x-x0)f(x0)(8.1.15)
如果公式(8.1.14)中的f(x)=x，我們得到
xδ(x)=0 (8.1.16)
如果f(x)在區間外等於零(-∞，α) (α為正數)，則f(0)=0，則
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由此推斷
δ(x)=0 x < 0 (8.1.17)
同理。
δ(x)=0 x>0 (8.1.18)
這就是公式(8.1.2)的由來。
兩個δ函數的卷積由以下公式確定。
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因此
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接下來，我們給出δ函數的傅裏葉變換。根據δ函數的定義(8.1.1)，公式如下
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反過來也可以用數學證明。
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也就是說，δ(x)和1形成了壹個傅立葉變換對。由公式(8.1.10)設f(x)=cosωx，δ的余弦變換可得如下
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