有界變差函數最初是Jordon為了研究傅裏葉級數的收斂性而引入的。
壹個函數的 total variation 被定義為： 這裏的劃分 是任意的。如果 是有界的，就說 在 上是有界變差的（BV）。
閉區間上的有界變差函數自然是有界的，顯然閉區間上的單調函數是有界變差的。
有界變差函數的重要意義，要從壹個著名的定理說起：
?Jordan分解定理斷言， 有界變差函數能分解成兩個單調函數的差 。因此，有界變差函數，可以理解為單調函數在分析學意義上的推廣，並且有界變差函數也具有壹些單調函數所具有的良好性質。
此外，有界變差函數幾乎處處可導。
單調函數，在分析學上，被用來定義 。
有了有界變差函數，我們就能 將微分號 後面的函數從單調函數，擴展到有界變差函數。
?布朗運動軌道的壹個重要性質就是它 並不是有界變差的 （在給定的時間 上），但它是 二次變差 的。
給定時間 ，標準布朗運動在 上的二次變差 是壹個隨機變量 ：
是標準正態分布的平方，從而 ， ，所以
根據切比雪夫不等式，得到 ，這是以概率收斂的。再根據Borel-Cantelli 引理，得到 ， 最終得到幾乎絕對的收斂性 。同時容易證明 還是 收斂到 的。於是，我們得到： 在 上的布朗運動具有有限的二次變差，並且其值為 。
這是後續定義隨機積分的必要基礎知識。 因為布朗運動不是有界變差的，所以我們不能通過經典的 積分來定義隨機積分 ，處理 這個表達式就需要新的理論。（關於隨機積分的定義，見： /p/89bcfe5c5b60 ）
二次變差是布朗運動壹個較為本質的特性，Levy給出的布朗運動的刻畫說的就是： 從0開始的、軌道連續的鞅在 上具有二次變差 ，那麽它壹定就是標準布朗運動
參見：
http://individual.utoronto.ca/normand/Documents/MATH5501/Project-3/Levy_characterization_of_Brownian_motion.pdf