中文名
質數
外文名
prime number
別名
素數
例子
2、3、5、7、11、13、17、19
討論範圍
自然數集
個數
聽語音素數兩性定理
6（x）+-1=（pP）6乘以完全不等數加減1是壹對孿生素數。
其中，6（X-1=（P 6乘以陰性不等數減去1等於陰性素數；
6X）+1=P）6乘以陽性不等數加上1等於陽性素數。
（X=/=6NM+-（M-N）陰性不等數不等於陰性上下兩式；
X）=/=6NM+-（N+M）陽性不等數不等於陽性上下兩式。
（x)=/=6NM+-(M+-N) 完全不等數不等於陰陽上下四式產生的數。
（N，M兩個自然數，N=《M）
素數分布規律
以36N（N+1）為單位，隨著N的增大，素數的個數以波浪形式漸漸增多。
孿生質數也有相同的分布規律。
以下15個區間內質數和孿生質數的統計數。
S1區間1——72，有素數18個，孿生素數7對。（2和3不計算在內，最後的數是孿中的也算在前面區間。）
S2區間73——216，有素數27個，孿生素數7對。
S3區間217——432，有素數36個，孿生素數8對。
S4區間433——720，有素數45個，孿生素數7對。
S5區間721——1080，有素數52個，孿生素數8對。
S6區間1081——1512，素數60個，孿生素數9對。
S7區間1513——2016，素數65個，孿生素數11對。
S8區間2017——2592，素數72個，孿生素數12對。
S9區間2593——3240，素數80個，孿生素數10對。
S10區間3241——3960，素數91個，孿生素數18對。
S11區間3961——4752素數92個，孿生素數17對。
S12區間4752——5616素數98個，孿生素數13對。
S13區間5617——6552素數108個，孿生素數14對。
S14區間6553——7560素數113個，孿生素數19對。
S15區間7561——8640素數116個，孿生素數14對。（以上沒有校正，可能有誤差。）
素數分布規律的發現，許多素數問題可以解決
質數的個數是無窮的。歐幾裏得的《幾何原本》中有壹個經典的證明。它使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設質數只有有限的n個，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設N=p1×p2×……×pn，那麽，pn加壹是素數或者不是素數。
如果pn加壹為素數，則pn加壹要大於p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設的素數集合中。
如果pn加壹為合數，因為任何壹個合數都可以分解為幾個素數的積；而N和N+1的最大公約數是1，所以pn加壹不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數分解得到的素因數肯定不在假設的素數集合中。
因此無論該數是素數還是合數，都意味著在假設的有限個素數之外還存在著其他素數。所以原先的假設不成立。也就是說，素數有無窮多個。
其他數學家給出了壹些不同的證明。歐拉利用黎曼函數證明了全部素數的倒數之和是發散的，恩斯特·庫默的證明更為簡潔，哈裏·弗斯滕伯格則用拓撲學加以證明。
對於壹定範圍內的素數數目的計算
盡管整個素數是無窮的，仍然有人會問“100，000以下有多少個素數？”，“壹個隨機的100位數多大可能是素數？”。素數定理可以回答此問題。
素數分布規律的發現，許多素數問題可以解決。
在壹個大於1的數a和它的2倍之間（即區間(a, 2a]中）必存在至少壹個素數。
存在任意長度的素數等差數列。（格林和陶哲軒，2004年[1]）
壹個偶數可以寫成兩個合數之和，其中每壹個合數都最多只有9個質因數。（挪威數學家布朗，1920年）
壹個偶數必定可以寫成壹個質數加上壹個合成數，其中合數的因子個數有上界。（瑞尼，1948年）
壹個偶數必定可以寫成壹個質數加上壹個最多由5個因子所組成的合成數。後來，有人簡稱這結果為 (1 + 5)(中國潘承洞，1968年)
壹個充分大偶數必定可以寫成壹個素數加上壹個最多由2個質因子所組成的合成數。簡稱為 (1 + 2)(中國陳景潤)[2]
猜想
聽語音哥德巴赫猜想：是否每個大於2的偶數都可寫成兩個素數之和？
孿生素數猜想：孿生素數就是差為2的素數對，例如11和13。是否存在無窮多的孿生素數？
斐波那契數列內是否存在無窮多的素數？
是否有無窮多個的梅森素數？
在n2與（n+1）2之間是否每隔n就有壹個素數？
是否存在無窮個形式如X2+1素數？
黎曼猜想
孿生素數是無限多的證明
關鍵詞:完全不等數,SN區間,LN區間.
壹。素數兩性定理
大於3的素數只分布在6n-1和6n+1兩數列中。（n非0自然數，下同）
6n-1數列中的合數叫陰性合數，其中的素數叫陰性素數；6n+1數列中的合數叫陽性合數，其中的素數叫陽性素數。
陰性合數定理
6[6NM+（M-N）]-1=（6N+1）（6M-1）（N M兩個非0自然數，N=〈 M，下同）
6[6NM-（M-N）]-1=（6N-1）（6M+1）
在6n-1數列中只有這兩種合數，余下就是陰性素數了，所以就有陰性素數定理
6NM+-（M-N）=/=x（陰性不等數）
6x-1=q（陰性素數）
陽性合數定理
6[6NM+（N+M）]+1=（6N+1）（6M+1）
6[6NM-（N+M）]+1=（6N-1）（6M-1）
在6n+1數列中只有這兩種合數，余下就是陽性素數了，所以就有陽性素數定理
6NM+-（N+M）=/=X（陽性不等數）
6X+1=P（陽性素數）
二。與孿生素數相對應的完全不等數
完全不等數(X),它既不等於陰性上下兩式；也不等於陽性上下兩式。
(X)=/=6NM+-(M+-N)
則有6(X)+1=P 6(X)-1=q （p減1能被6整除的素數，q加1能被6整除的素數，下同）
壹個完全不等數所產生的陰性素數q和陽性素數P就是壹對孿生素數.
並且完全不等數與孿生素數是壹壹對應的.
三。陰陽四種等數在自然數列中的分布概況
6NM+（M-N）=陰性上等數6NM-（M-N）=陰性下等數
6NM+（N+M）=陽性上等數6NM-（N+M）=陽性下等數
為了搞清它們在自然數中分布情況，把四式中的N叫級別因子數，M叫無限因子數。
四種等數的每壹個級別的最小等數都在6NN+-（N+N）範圍。
每壹級別的上等數相鄰兩等數距離是6n+1，在自然數列中比例是1/（6n+1），兩種上等數每個級別的比例合計是2/（6n+1），（但實際是略少於這個比例因每壹級別的底部都沒有這個級別的上等數；下等數也壹樣的情況。）
每壹級別的下等數相鄰等數的距離是6n-1，在自然數列中的比例是1/（6n-1），陰陽兩種下等數的每個級別的合計比例是2/（6n-1）。
每個級別的四種等數在自然數列中的比例是24N/[(6N+1)(6N-1)].
四。四種等數大小數列的互相滲透
自然數列中有陰性上等數數列，陰性的下等數數列，陽性上等數數列和陽性下等數數列。它們的級別有無限多，每壹個級別的數列的等數都是無限多的。同壹種等數級別不同的數列都是互相滲透而產生重疊，並以兩級別的等數距離的乘積而嚴格地重疊的。在計算壹種若幹的級別的等數時用連乘式正好可以表示它的滲透重疊關系。四種等數數列之間都有互相滲透而重疊，只有同壹級別陰陽上上數列.下下數列沒有滲透.四種數列之間的滲透重疊不用計算也足夠可以證明了。
五。與素數分布基本同步的SN區間
把自然數劃分成12，24，36……以12為遞增的壹個個區間，這樣的區間叫SN區間。SN區間與四種等數數列是同步的，即:
12（1+2+3+……+N）=6NN+6N
在這樣的區間內包括N級別及以下的所有四種等數數列的等數，並沒有比N級別大的數列等數，與四種等數的級別是完全同步的，所以與素數的分布也是同步的。
六。每個大於S8區間內都有8個以上的完全不等數
在每壹個SN區間只有存在1至N級別的四種數列等數，每壹級別等數的比例是可以確定，由於上下級別的滲透。就可以拿以下式來計算S8區間的完全不等數的至少個數。
12*8*11/35*95/143*251/323*479/575*779/899*1151/1295*1593/1763*2111/2303=8.2768
其他每壹個SN區間可用這種方法計算.
隨著區間的增大完全不等數計算的數量也會越來越多.以後都會超過8個.
七。誤差分析
用最嚴格下取整的誤差分析方法，將SN區間捆綁成1,2,4,8,16......2^(N-1)的LN區間.在每壹個大於S8的SN區間計算都大於8個完全不等數,在每壹個LN區間都有2^N-1級別等數數列, 每級級別有4種等數數列,每壹級別壹種等數篩壹次誤差極限是1 .每壹個LN區間誤差極限是4*(2^N-1).
8*2^(N-1)-4*(2^N-1)=4
最嚴格下取整後大於L4的區間仍然還有4個完全不等數。
八。總結
根據以上的論證，在大於S8區間每壹個SN區間都有8個以上的完全不等數.
嚴格的下取整後，大於L4的每壹個LN區間都還有多於4個的完全不等數以上的量。
LN區間是無限多的，完全不等數與孿生素數對是壹壹對應的，所以孿生素數也是無限多的。
這個證明期待著權威的表態。
性質
聽語音質數具有許多獨特的性質：
（1）質數p的約數只有兩個：1和p。
（2）初等數學基本定理：任壹大於1的自然數，要麽本身是質數，要麽可以分解為幾個質數之積，且這種分解是唯壹的。
（3）質數的個數是無限的。
（4）質數的個數公式 是不減函數。
（5）若n為正整數，在 到 之間至少有壹個質數。
（6）若n為大於或等於2的正整數，在n到 之間至少有壹個質數。
（7）若質數p為不超過n( )的最大質數，則 。
（8）所有大於10的質數中，個位數只有1,3,7,9。
編程
聽語音基本判斷思路：
在壹般領域，對正整數n，如果用2到 之間的所有整數去除，均無法整除，則n為質數。
質數大於等於2 不能被它本身和1以外的數整除
Python 代碼：
from math import sqrt
def is_prime(n):
if n == 1:
return False
for i in range(2, int(sqrt(n))+1):
if n % i == 0:
return False
return True
Java代碼：
1.
public static boolean testIsPrime2(int n){
if (n <= 3) {
return n > 1;
}
for(int i=2;i<n;i++){
if(n%i == 0)
return false;
}
return true;
}
/*優化後*/
public static boolean testIsPrime3(int n){
if (n <= 3) {
return n > 1;
}
for(int i=2;i<=Math.sqrt(n);i++){
if(n%i == 0)
return false;
}
return true;
}
2.
public class Prime {
public static void main(String[] args) {
int a = 17; //判斷17是不是質數
int c = 0;
for (int b = 2; b < a; b++) {
if (a % b != 0) {
c++;
}
}
if (c == a - 2) {
System.out.println(a + "是質數");
} else {
System.out.println(a + "不是質數");
}
}
}
Php代碼：
function isPrime($n) {//TurkHackTeam AVP production
if ($n <= 3) {
return $n > 1;
} else if ($n % 2 === 0 || $n % 3 === 0) {
return false;
} else {
for ($i = 5; $i * $i <= $n; $i += 6) {
if ($n % $i === 0 || $n % ($i + 2) === 0) {
return false;
}
}
return true;
}
}
C#代碼：
using System;
namespace 計算質數
{
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
for (int i = 2,j=1; i < 2100000000&&j<=1000; i++)//輸出21億內的所有質數，j控制只輸出1000個。
{
if (st(i))
{
Console.WriteLine("{0,-10}{1}",j,i);
j++;
}
}
}
static bool st(int n)//判斷壹個數n是否為質數
{
int m = (int)Math.Sqrt(n);
for(int i=2;i<=m;i++)
{
if(n%i==0 && i!=n)
return false;
}
return true;
}
}
}
C/C++代碼：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const long long size=100000;//修改size的數值以改變最終輸出的大小
long long zhishu[size/2];
void work(){//主要程序
zhishu[1]=2;
long long k=2;
for(long long i=3;i<=size;i++){//枚舉每個數
bool ok=1;
for(long long j=1;j<k;j++){//枚舉已經得到的質數
if(i%zhishu[j]==0){
ok=!ok;
break;
}
}
if(ok){
zhishu[k]=i;
cout<<"count"<<k<<' '<<i<<endl;
k++;
}
}
}
int main(){
freopen("zhishu.out","w",stdout);
cout<<"count1 2"<<endl;
work();
return 0;
}
質數（prime number）又稱素數，有無限個。質數定義為在大於1的自然數中，除了1和它本身以外不再有其他因數的數稱為質數。
中文名
質數
外文名
prime number
別名
素數
例子
2、3、5、7、11、13、17、19
討論範圍
自然數集
個數
聽語音素數兩性定理
6（x）+-1=（pP）6乘以完全不等數加減1是壹對孿生素數。
其中，6（X-1=（P 6乘以陰性不等數減去1等於陰性素數；
6X）+1=P）6乘以陽性不等數加上1等於陽性素數。
（X=/=6NM+-（M-N）陰性不等數不等於陰性上下兩式；
X）=/=6NM+-（N+M）陽性不等數不等於陽性上下兩式。
（x)=/=6NM+-(M+-N) 完全不等數不等於陰陽上下四式產生的數。
（N，M兩個自然數，N=《M）
素數分布規律
以36N（N+1）為單位，隨著N的增大，素數的個數以波浪形式漸漸增多。
孿生質數也有相同的分布規律。
以下15個區間內質數和孿生質數的統計數。
S1區間1——72，有素數18個，孿生素數7對。（2和3不計算在內，最後的數是孿中的也算在前面區間。）
S2區間73——216，有素數27個，孿生素數7對。
S3區間217——432，有素數36個，孿生素數8對。
S4區間433——720，有素數45個，孿生素數7對。
S5區間721——1080，有素數52個，孿生素數8對。
S6區間1081——1512，素數60個，孿生素數9對。
S7區間1513——2016，素數65個，孿生素數11對。
S8區間2017——2592，素數72個，孿生素數12對。
S9區間2593——3240，素數80個，孿生素數10對。
S10區間3241——3960，素數91個，孿生素數18對。
S11區間3961——4752素數92個，孿生素數17對。
S12區間4752——5616素數98個，孿生素數13對。
S13區間5617——6552素數108個，孿生素數14對。
S14區間6553——7560素數113個，孿生素數19對。
S15區間7561——8640素數116個，孿生素數14對。（以上沒有校正，可能有誤差。）
素數分布規律的發現，許多素數問題可以解決
質數的個數是無窮的。歐幾裏得的《幾何原本》中有壹個經典的證明。它使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設質數只有有限的n個，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設N=p1×p2×……×pn，那麽，pn加壹是素數或者不是素數。
如果pn加壹為素數，則pn加壹要大於p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設的素數集合中。
如果pn加壹為合數，因為任何壹個合數都可以分解為幾個素數的積；而N和N+1的最大公約數是1，所以pn加壹不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數分解得到的素因數肯定不在假設的素數集合中。
因此無論該數是素數還是合數，都意味著在假設的有限個素數之外還存在著其他素數。所以原先的假設不成立。也就是說，素數有無窮多個。
其他數學家給出了壹些不同的證明。歐拉利用黎曼函數證明了全部素數的倒數之和是發散的，恩斯特·庫默的證明更為簡潔，哈裏·弗斯滕伯格則用拓撲學加以證明。
對於壹定範圍內的素數數目的計算
盡管整個素數是無窮的，仍然有人會問“100，000以下有多少個素數？”，“壹個隨機的100位數多大可能是素數？”。素數定理可以回答此問題。
素數分布規律的發現，許多素數問題可以解決。
在壹個大於1的數a和它的2倍之間（即區間(a, 2a]中）必存在至少壹個素數。
存在任意長度的素數等差數列。（格林和陶哲軒，2004年[1]）
壹個偶數可以寫成兩個合數之和，其中每壹個合數都最多只有9個質因數。（挪威數學家布朗，1920年）
壹個偶數必定可以寫成壹個質數加上壹個合成數，其中合數的因子個數有上界。（瑞尼，1948年）
壹個偶數必定可以寫成壹個質數加上壹個最多由5個因子所組成的合成數。後來，有人簡稱這結果為 (1 + 5)(中國潘承洞，1968年)
壹個充分大偶數必定可以寫成壹個素數加上壹個最多由2個質因子所組成的合成數。簡稱為 (1 + 2)(中國陳景潤)[2]
猜想
聽語音哥德巴赫猜想：是否每個大於2的偶數都可寫成兩個素數之和？
孿生素數猜想：孿生素數就是差為2的素數對，例如11和13。是否存在無窮多的孿生素數？
斐波那契數列內是否存在無窮多的素數？
是否有無窮多個的梅森素數？
在n2與（n+1）2之間是否每隔n就有壹個素數？
是否存在無窮個形式如X2+1素數？
黎曼猜想
孿生素數是無限多的證明
關鍵詞:完全不等數,SN區間,LN區間.
壹。素數兩性定理
大於3的素數只分布在6n-1和6n+1兩數列中。（n非0自然數，下同）
6n-1數列中的合數叫陰性合數，其中的素數叫陰性素數；6n+1數列中的合數叫陽性合數，其中的素數叫陽性素數。
陰性合數定理
6[6NM+（M-N）]-1=（6N+1）（6M-1）（N M兩個非0自然數，N=〈 M，下同）
6[6NM-（M-N）]-1=（6N-1）（6M+1）
在6n-1數列中只有這兩種合數，余下就是陰性素數了，所以就有陰性素數定理
6NM+-（M-N）=/=x（陰性不等數）
6x-1=q（陰性素數）
陽性合數定理
6[6NM+（N+M）]+1=（6N+1）（6M+1）
6[6NM-（N+M）]+1=（6N-1）（6M-1）
在6n+1數列中只有這兩種合數，余下就是陽性素數了，所以就有陽性素數定理
6NM+-（N+M）=/=X（陽性不等數）
6X+1=P（陽性素數）
二。與孿生素數相對應的完全不等數
完全不等數(X),它既不等於陰性上下兩式；也不等於陽性上下兩式。
(X)=/=6NM+-(M+-N)
則有6(X)+1=P 6(X)-1=q （p減1能被6整除的素數，q加1能被6整除的素數，下同）
壹個完全不等數所產生的陰性素數q和陽性素數P就是壹對孿生素數.
並且完全不等數與孿生素數是壹壹對應的.
三。陰陽四種等數在自然數列中的分布概況
6NM+（M-N）=陰性上等數6NM-（M-N）=陰性下等數
6NM+（N+M）=陽性上等數6NM-（N+M）=陽性下等數
為了搞清它們在自然數中分布情況，把四式中的N叫級別因子數，M叫無限因子數。
四種等數的每壹個級別的最小等數都在6NN+-（N+N）範圍。
每壹級別的上等數相鄰兩等數距離是6n+1，在自然數列中比例是1/（6n+1），兩種上等數每個級別的比例合計是2/（6n+1），（但實際是略少於這個比例因每壹級別的底部都沒有這個級別的上等數；下等數也壹樣的情況。）
每壹級別的下等數