1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
… … … … …
楊輝三角最本質的特征是，它的兩條斜邊都是由數字1組成的，而其余的數則是等於它肩上的兩個數之和。其實，中國古代數學家在數學的許多重要領域中處於遙遙領先的地位。中國古代數學史曾經有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發現就是十分精彩的壹頁。楊輝，字謙光，北宋時期杭州人。在他1261年所著的《詳解九章算法》壹書中，輯錄了如上所示的三角形數表，稱之為“開方作法本源”圖。而這樣壹個三角在我們的奧數競賽中也是經常用到，最簡單的就是叫妳找規律。現在要求我們用編程的方法輸出這樣的數表。
同時 這也是多項式(a+b)^n 打開括號後的各個項的二次項系數的規律 即為
0 (a+b)^0 (0 nCr 0)
1 (a+b)^1 (1 nCr 0) (1 nCr 1)
2 (a+b)^2 (2 nCr 0) (2 nCr 1) (2 nCr 2)
3 (a+b)^3 (3 nCr 0) (3 nCr 1) (3 nCr 2) (3 nCr 3)
. ... ... ... ... ...
因此 楊輝三角第x層第y項直接就是 （y nCr x）
我們也不難得到 第x層的所有項的總和 為 2^x (即(a+b)^x中a,b都為1的時候)
[ 上述y^x 指 y的 x次方;(a nCr b) 指 組合數]
其實，中國古代數學家在數學的許多重要領域中處於遙遙領先的地位。中國古代數學史曾經有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發現就是十分精彩的壹頁。
楊輝，字謙光，北宋時期杭州人。在他1261年所著的《詳解九章算法》壹書中，輯錄了如上所示的三角形數表，稱之為“開方作法本源”圖。
而這樣壹個三角在我們的奧數競賽中也是經常用到，最簡單的就是叫妳找規律。具體的用法我們會在教學內容中講授。
在國外,這也叫做"帕斯卡三角形". 還有小故事: (壹)失之毫厘，謬以千裏
1967年8月23日，蘇聯的聯盟壹號宇宙飛船在返回大氣層時，突然發生了惡性事故——減速降落傘無法打開。蘇聯中央領導研究後決定：向全國實況轉播這次事故。當電視臺的播音員用沈重的語調宣布，宇宙飛船在兩小時後將墜毀，觀眾將目睹宇航員弗拉迪米·科馬洛夫殉難的消息後，舉國上下頓時被震撼了，人們都沈浸在巨大的悲痛之中。
在電視上，觀眾們看到了宇航員科馬洛夫鎮定自若的形象。他面帶微笑地對母親說：“媽媽，您的圖像我在這裏看得清清楚楚，包括您頭上的每根白發，您能看清我嗎?” “能，能看清楚。兒啊，媽媽壹切都很好，妳放心吧!” 這時，科馬洛夫的女兒也出現在電視屏幕上，她只有12歲。科馬洛夫說：“女兒，妳不要哭。”“我不哭……”女兒已泣不成聲，但她強忍悲痛說：“爸爸，妳是蘇聯英雄，我想告訴妳，英雄的女兒會像英雄那樣生活的!” 科馬洛夫叮囑女兒說：“妳學習時，要認真對待每壹個小數點。聯盟壹號今天發生的壹切，就是因為地面檢查時忽略了壹個小數點……”
時間壹分壹秒地過去了，距離宇宙飛船墜毀的時間只有7分鐘了。科馬洛夫向全國的電視觀眾揮揮手說：“同胞們，請允許我在這茫茫的太空中與妳們告別。”
即使是壹個小數點的錯誤，也會導致永遠無法彌補的悲壯告別。
古羅馬的愷撒大帝有句名言：“在戰爭中，重大事件常常就是小事所造成的後果。” 換成我們中國的警句大概就是“失之毫厘，謬以千裏”吧。
(二)壹個故事引發的數學家
陳景潤壹個家喻戶曉的數學家，在攻克歌德巴赫猜想方面作出了重大貢獻，創立了著名的“陳氏定理”，所以有許多人親切地稱他為“數學王子”。但有誰會想到，他的成就源於壹個故事。 1937年，勤奮的陳景潤考上了福州英華書院，此時正值抗日戰爭時期，清華大學航空工程系主任留英博士沈元教授回福建奔喪，不想因戰事被滯留家鄉。幾所大學得知消息，都想邀請沈教授前進去講學，他謝絕了邀請。由於他是英華的校友，為了報達母校，他來到了這所中學為同學們講授數學課。 壹天，沈元老師在數學課上給大家講了壹故事：“200年前有個法國人發現了壹個有趣的現象：6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，28=5+23，100=11+89。每個大於4的偶數都可以表示為兩個奇數之和。因為這個結論沒有得到證明，所以還是壹個猜想。大數學歐拉說過：雖然我不能證明它，但是我確信這個結論是正確的。 它像壹個美麗的光環，在我們不遠的前方閃耀著眩目的光輝。……”陳景潤瞪著眼睛，聽得入神。
從此，陳景潤對這個奇妙問題產生了濃厚的興趣。課余時間他最愛到圖書館，不僅讀了中學輔導書，這些大學的數理化課程教材他也如饑似渴地閱讀。因此獲得了“書呆子”的雅號。 興趣是第壹老師。正是這樣的數學故事，引發了陳景潤的興趣，引發了他的勤奮，從而引發了壹位偉大的數學家。
(三)為科學而瘋的人
由於研究無窮時往往推出壹些合乎邏輯的但又荒謬的結果(稱為“悖論”)，許多大數學家唯恐陷進去而采取退避三舍的態度。在1874—1876年期間，不到30歲的年輕德國數學家康托爾向神秘的無窮宣戰。他靠著辛勤的汗水，成功地證明了壹條直線上的點能夠和壹個平面上的點壹壹對應，也能和空間中的點壹壹對應。這樣看起來，1厘米長的線段內的點與太平洋面上的點，以及整個地球內部的點都“壹樣多”，後來幾年，康托爾對這類“無窮集合”問題發表了壹系列文章，通過嚴格證明得出了許多驚人的結論。
康托爾的創造性工作與傳統的數學觀念發生了尖銳沖突，遭到壹些人的反對、攻擊甚至謾罵。有人說，康托爾的集合論是壹種“疾病”，康托爾的概念是“霧中之霧”，甚至說康托爾是“瘋子”。來自數學權威們的巨大精神壓力終於摧垮了康托爾，使他心力交瘁，患了精神分裂癥，被送進精神病醫院。
真金不怕火煉，康托爾的思想終於大放光彩。1897年舉行的第壹次國際數學家會議上，他的成就得到承認，偉大的哲學家、數學家羅素稱贊康托爾的工作“可能是這個時代所能誇耀的最巨大的工作。”可是這時康托爾仍然神誌恍惚，不能從人們的崇敬中得到安慰和喜悅。1918年1月6日，康托爾在壹家精神病院去世。
康托爾(1845—1918)，生於俄國彼得堡壹丹麥猶太血統的富商家庭，10歲隨家遷居德國，自幼對數學有濃厚興趣。23歲獲博士學位，以後壹直從事數學教學與研究。他所創立的集合論已被公認為全部數學的基礎。
(四)數學家的“健忘”
我國數學家吳文俊教授六十壽辰那天，仍如往常，黎明即起，整天浸沈在運算和公式中。
有人特地選定這壹天的晚間登門拜門拜訪，寒暄之後，說明來意：“聽您夫 人說，今天是您六十大壽，特來表示祝賀。” 吳文俊仿佛聽了壹件新聞，恍然大悟地說：“噢，是嗎？我倒忘了。” 來人暗暗吃驚，心想:數學家的腦子裏裝滿了數字，怎麽連自己的生日也記不住？
其實，吳文俊對日期的記憶力是很強的。他在將近花甲之年的時候，又先攻 了壹個難題——“機器證明”。這是為了改變了數學家“壹支筆、壹張紙、壹個腦袋”的勞動方式，運用電子計算機來實現數學證明，以便數學家能騰出更多的時間來進行創造性的工作，他在進行這項課題的研究過程中，對於電子計算機安裝的日期、為計算機最後編成三百多道“指令”程序的日期，都記得壹清二楚。
後來，那位祝壽的來客在閑談中問起他怎麽連自己生日也記不住的時候，他知著回答：
“我從來不記那些沒有意義的數字。在我看來，生日，早壹天，晚壹天，有 什麽要緊？所以，我的生日，愛人的生日，孩子的生日，我壹概不記，他從不想 要為自己或家裏的人慶祝生日，就連我結婚的日子，也忘了。但是，有些數字非記不可，也很容易記住……”
(五)蘋果樹下的例行出步
1884年春天，年輕的數學家阿道夫·赫維茨從哥廷根來到哥尼斯堡擔任副教授，年齡還不到25歲，在函數論方面已有出色的研究成果．希爾伯特和閩可夫斯基很快就和他們的新老師建立了密切的關系．他們這三個年輕人每天下午準5點必定相會去蘋果樹下散步．希爾伯特後來回憶道：“日復壹日的散步中，我們全都埋頭討論當前數學的實際問題；相互交換我們對問題新近獲得的理解，交流彼此的想法和研究計劃．”在他們三人中，赫維茨有著廣泛“堅實的基礎知識，又經過很好的整理，”所以他是理所當然的帶頭人，並使其他兩位心悅誠服．當時希爾伯特發現，這種學習方法比鉆在昏暗的教室或圖書館裏啃書本不知要好多少倍，這種例行的散步壹直持續了整整八年半之久．以這種最悠然而有趣的學習方式，他們探索了數學的“每壹個角落”，考察著數學世界的每壹個王國，希爾伯特後來回憶道：“那時從沒有想到我們竟會把自己帶到那麽遠！”三個人就這樣“結成了終身的友誼．”
(六)報效祖國宏願--華羅庚的故事
同學們都知道，華羅庚是壹位靠自學成才的世界壹流的數學家。他僅有初中文憑，因壹篇論文在《科學》雜誌上發表，得到數學家熊慶來的賞識，從此華羅庚北上清華園，開始了他的數學生涯。 1936年，經熊慶來教授推薦，華羅庚前往英國，留學劍橋。20世紀聲名顯赫的數學家哈代，早就聽說華羅庚很有才氣，他說："妳可以在兩年之內獲得博士學位。"可是華羅庚卻說："我不想獲得博士學位，我只要求做壹個訪問者。""我來劍橋是求學問的，不是為了學位。"兩年中，他集中精力研究堆壘素數論，並就華林問題、他利問題、奇數哥德巴赫問題發表18篇論文，得出了著名的"華氏定理"，向全世界顯示了中國數學家出眾的智慧與能力。
1946年，華羅庚應邀去美國講學，並被伊利諾大學高薪聘為終身教授，他的家屬也隨同到美國定居，有洋房和汽車，生活十分優裕。當時，不少人認為華羅庚是不會回來了。新中國的誕生，牽動著熱愛祖國的華羅庚的心。1950年，他毅然放棄在美國的優裕生活，回到了祖國，而且還給留美的中國學生寫了壹封公開信，動員大家回國參加社會主義建設。他在信中坦露出了壹顆愛中華的赤子之心："朋友們！梁園雖好，非久居之鄉。歸去來兮……為了國家民族，我們應當回去……"雖然數學沒有國界，但數學家卻有自己的祖國。
華羅庚從海外歸來，受到黨和人民的熱烈歡迎，他回到清華園，被委任為數學系主任，不久又被任命為中國科學院數學研究所所長。從此，開始了他數學研究真正的黃金時期。他不但連續做出了令世界矚目的突出成績，同時滿腔熱情地關心、培養了壹大批數學人才。為摘取數學王冠上的明珠，為應用數學研究、試驗和推廣，他傾註了大量心血。
據不完全統計，數十年間，華羅庚***發表了152篇重要的數學論文，出版了9部數學著作、11本數學科普著作。他還被選為科學院的國外院士和第三世界科學家的院士。
(七)、中西文化交流之倡導者
萊布尼茲對中國、的科學、文化和哲學思想十分關註，是最早研究中國文化和中國哲學的德國人。他向耶酥會來華傳教士格裏馬爾迪了解到了許多有關中國的情況，包括養蠶紡織、造紙印染、冶金礦產、天文地理、數學文字等等，並將這些資料編輯成冊出版。他認為中西相互之間應建立壹種交流認識的新型關系。在《中國近況》壹書的緒論中，萊布尼茲寫道：“全人類最偉大的文化和最發達的文明仿佛今天匯集在我們大陸的兩端，即匯集在歐洲和位於地球另壹端的東方的歐洲——中國。”“中國這壹文明古國與歐洲相比，面積相當，但人口數量則已超過。”“在日常生活以及經驗地應付自然的技能方面，我們是不分伯仲的。我們雙方各自都具備通過相互交流使對方受益的技能。在思考的縝密和理性的思辯方面，顯然我們要略勝壹籌”，但“在時間哲學，即在生活與人類實際方面的倫理以及治國學說方面，我們實在是相形見拙了。”在這裏，萊布尼茲不僅顯示出了不帶“歐洲中心論”色彩的虛心好學精神，而且為中西文化雙向交流描繪了宏偉的藍圖，極力推動這種交流向縱深發展，是東西方人民相互學習，取長補短，***同繁榮進步。萊布尼茲為促進中西文化交流做出了畢生的努力，產生了廣泛而深遠的影響。他的虛心好學、對中國文化平等相待，不含“歐洲中心論”偏見的精神尤為難能可貴，值得後世永遠敬仰、效仿。