已知數列{an}滿足ni＝1i?ai＝i．（I）求an的通項公式；（II）若bn＝2nan，求bn的前n項和Sn；（III）若cn

（I）當n≥2時，nan＝

n

i＝1

i?ai?

n?1

i＝1

i?ai＝1?an＝

1

n

當n=1時，a1=1成立，故an＝

1

n

（II）bn=n?2n

Sn=1?21+2?22+3?23+…+n?2n①

2Sn=1?22+2?23+3?24+…+（n-1）?2n+n?2n+1②

由①-②得，-Sn=21+22+23++2n-n?2n+1

=

2(1?2n)

1?2

?n?2n+1＝(1?n)?2n+1?2

故Sn=（n-1）?2n+1+2

（III）證明：cn＝

1

n2

令f（x）=2x-x2

f′（x）=2xln2-2x，又ln2＞ln

e

＝

1

2

故f′′（x）=2x（ln2）2-2≥f′′（5）＞0

故f′（x）在[5，+∞）上單調遞增，故f′（x）≥f′（5）＞0

故f（x）在[5，+∞）上單調遞增，故f（x）≥f（5）=7＞0

故當n＞4時，2n＞n2恒成立，即

1

2n

＜

1

n2

故

n

i＝1

ci＞

n

i＝1

1

2i

＝1?

1

2n

又

1

n2

＜

1

n(n?1)

＝

1

n?1

?

1

n

故

n

i＝1

ci＜1+1?

1

2

+

1

2

?

1

3

+…+

1

n?1

?

1

n

＝2?

1

n

＜2

綜上可得，1?

1

2n

＜

n

i＝1

ci＜2(n＞4)

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