在GOCAD項目的框架中，已經提出用三角形來模擬極復雜地質界面。這種對三角形面片的選擇是基於任何曲面都可以分解成平面或曲線三角形這壹事實而決定的，本節中將展示這種分解可以非常高效的用於解決兩點射線追蹤問題。射線路徑的確定基於費馬原理——對於給定的發射點、接收點和反射面，要使每條射線的旅行時最小。最小化過程使用曲面三角剖分的單純形方法叠代來實現。初始射線可以由試射算法、射線偏移算法或彎曲算法來提供。此外，基於GOCAD軟件的幾何信息數據可以引入動力學信號，為此，用邊界曲面定義三維空間的均勻域，並且發展了壹種基於有限狀態的自動化新算法，用以確定三維空間中任何給定點的對應區域。
有些文獻（G.Farin,1988;J.L.Guiziou,A.Haas,1988）提出了幾種方法用於解決三維兩點射線追蹤問題。通常這些方法可以給出滿意的結果，但當存在復雜非規則地質體時，如正斷層、逆斷層、鹽丘等，它們的速度極慢並且往往不能適應這些不均勻體。
本節中，介紹壹種基於GOCAD幾何數據結構的新方法。不同物性的交界面（層位）由數據插值得到的三角剖分曲面代表（簡寫作“T-surface”）。實際工作中，用兩步插值過程來構造T-surface：
（1）第壹步插值由DSI方法（J.L.Mallet,1989，本書第三章）實現，其目的在於計算三角形頂點的位置使得T-surface與所有有效數據吻合。
（2）第二步插值由Bezier或Gregory方法（G.Farin,1988;J.A.Gregory,1980）實現，使得用平滑曲線三角形近似平面三角形。
與基於Bezier，樣條或Nurbs的經典方法相比，Gregory的方法允許考慮：
·當前所有有效的不均勻數據（測井數據，地震數據，斜尺數據）；
·某些不精確的數據類型；
·復雜拓撲結構的層位，例如可以考慮壹個與鹽丘相交的地層。
GOCAD項目的目的不僅在於提供壹個有效的復雜地質界面建模工具，它還可以被用於與這些曲面有關的地球物理應用，如射線追蹤、偏移、層析……
5.2.1 層位的幾何建模和地質意義
下面給出適合於射線追蹤的界面（層位）表示法要點。在GOCAD項目中，不同介質的交界面用由無序的三角形面元集合構成的界面圖形來表示。面元集合的節點為三角形頂點，節點位置由DSI算法得到的。
假設所有層位都包含在壹個代表研究區域D的平行面元體中。層｛H1,H2，…，Hm｝將D分割成壹個子區域集合｛D1,D2，…，Dm｝對應於獨立的均勻介質，為了定義這些區域，我們將界面定向，也就是每層位有兩面（正面和負面）。使用GOCAD提供的圖形工具，這種定向可以通過交互的方法實現，這樣每個區域可以用壹個有向界面的子集來定義。例如，壹個區域Dj可以由壹系列對應於其邊界層位的壹些面 來定義。對於給定的三維點P，發展了壹種基於有限狀態，能夠自動返回P所屬區域ID號的算法。通過對區域的這種定義，可以很容易的定義介質連續性，而這對被穿過的壹系列界面所定義的射線的特征研究來說是非常重要的。
註意到，每個層位都至少分割兩種介質。對於我們感興趣彈性波傳播來說，壹個介質平滑變化的區域可以用壹個空間函數集合來描述，刻劃其彈性性質。下面假設每種介質速度為常數。這樣在每壹區域內射線為壹直線並且根據斯涅爾定理在界面處不連續的改變方向。
5.2.2 射線追蹤問題
設ρ（E,R,Hr）為連接發射點E到接收點R並在層位Hr上反射的壹條射線。假設ρ（E,R,Hr）為由對應於地質模型中ρ（E,R,Hr）與層位Hi的交點的n個接觸點Ii組成的多邊形線：
地質模型計算機輔助設計原理與應用
記σ（E,R,Hr）為對應射線與模型的接觸點Ii的（n個）層位Hi系列，稱為ρ（E,R,Hr）的“頁碼”：
地質模型計算機輔助設計原理與應用
根據ρ（E,R,Hr）的定義可知，Hr至少有壹次包括於σ（E,R,Hr）中，並且在復雜的地質條件下，層位Hi可以幾次出現在σ（E,R,Hr）中。例如，鹽丘、透鏡體或逆斷層等。
對應於射線路徑ρ＝ρ（E,R,Hr）的旅行時T（ρ）由下式定義：
地質模型計算機輔助設計原理與應用
這裏Vi為射線在包含線段IiIi+1的地質區域Di中的速度，在被線段IiIi+1穿過區域Di（地層）中速度Vi是壹常量，並且只要確定IiIi+1的中點所屬的區域Di就可以確定這壹速度值。
可以看到，T（ρ）是點｛I0，…，Ii，…，In｝的函數，根據費馬原理當且僅當ρ（E,R,Hr）為真射線時，這些點對應於T（ρ）的壹個局部極值。我們將應用這壹性質來求取逼近壹個給定初始近似值ρ0（E,R,Hr）的射線ρ（E,R,Hr）。
ρ（E,R,Hr）確定：設ρk（E,R,Hr）為在第k步時ρ（E,R,Hr）的壹個近似值，並且讓σk（E,R,Hr）為其對應的“頁碼”：
地質模型計算機輔助設計原理與應用
如果ρk（E,R,Hr）的所有點除Iik外都是固定的，而Iik可以在相應的層位Hik上移動，那麽對應於ρk（E,R,Hr）的旅行時可這樣表示：
地質模型計算機輔助設計原理與應用
在第（k+1）步上，如果考慮費馬原理，可以移動位於Hik的點Iik到 ，並且使T（Iik｜ρk）是最小的，這樣得到壹個更好的近似值ρk+1＝ρk+1（E,R,Hr）。由上壹個近似值ρk（E,R,Hr）導出的射線ρk+1（E,R,Hr）有如下形式：
地質模型計算機輔助設計原理與應用
上面表達式中 的性質將在下節中精確描述。
動態頁碼。對比文獻（V.Peireyra,1988;J.L.Guiziou,A.Haas,1988）中提到的壹般方法，這裏提出的算法允許“頁碼”σk（E,R,Hr）從第k步到第（k+1）步時改變。這種“頁碼”的變化由下面的規則來控制：
規則1。層位 壹般來說是相同於Hik的，除非 位於Hik的邊界，對於最後壹種情況建議在下面兩種描述中選取其中之壹：
（1）如果 是 與另壹曲面H的壹個連接點，則讓 。換句話說，就是曲面 的改變。有賴於基於幾何數據的GOCAD結構，可以很容易實現這壹點。
（2）如果 不是 與另壹曲面H的連接點，那麽射線ρ（E,R,Hr）可能穿出了研究區域，這樣模型的寬度不足以確定它。在這種情況下，必須放棄ρ（E,R,Hr）的考慮。
規則2。如果新的射線ρk+1（E,R,Hr）與並沒有進入頁碼σk+1（E,R,Hr）的新的層位相交，則有必要在頁碼σk+1（E,R,Hr）中增加這些層位，並且在ρk+1（E,R,Hr）中增加相應的射線與模型的接觸點。為了確定這些新的接觸點和其對應的層位，需要測試Pk+1（E,R,Hr）中所有的線段Ii,k+1Ii+1,k+1與地質模型中所有層位的相交。這壹操作是非常耗時的，這也是為什麽GOCAD數據庫允許使用基於八叉樹（octree）技術快速算法的原因（J.L.Mallet,1990;Y.Huang 1990）。
規則3。可能發生這種情況，ρk+1（E,R,Hr）正切於屬於頁碼σk+1（E,R,Hr）但不是Hr的層位 。此時，存在不同於E和R的兩個射線與模型的接觸點Iα，k+1和Iβ，k+1，並有：
地質模型計算機輔助設計原理與應用
在這種情況下，建議：
·從ρk+1中去掉Iα，k+1和Iβ，k+1，
·從σk+1中去掉Hα，k+1和Hβ，k+1
用單純形方法尋找 :
對於與初始頁碼σ0（E,R,Hr）相聯系的給定的壹個初始近似射線路徑ρ0（E,R,Hr），用壹種叠代算法來確定射線路徑ρ（E,R,Hr），ρ0（E,R,Hr）的逼近值在算法的每壹步k中，Iik在Iik上被移動到對應於T（Iik｜ρk）的最小值的點 上。這個最小值通過使用“單純形”算法來確定，這種算法基於用來定義T-surface的Hik的初始三角形的平滑曲線插值。
應用實例。在圖5.14中，給出了壹個由上述方法獲得的射線追蹤的例子。可以看到地質情況是比較復雜的，特別是包括壹個與給定地層相交的鹽丘。為了獲得較清晰的圖像，在圖中顯示了較少的射線。
圖5.14 使GOCAD產生的幾何數據進行射線追蹤的例子（Philippe Nobil等，1990）
可以看到鹽丘切割了壹個層面，層面位於鹽丘內部的部分被移動
基於Bezier或樣條插值的經典CAD軟件的目標是交互地模擬較好的曲面，而不能生成符合地質應用中遇到的復雜數據的曲面。因此，基於這些方法的軟件只能生成抽象的地質曲面，而不是與真實地質界面對應的曲面。與這些經典方法相反，在GOCAD項目開發的幾何工具允許模擬極復雜的地質體並且可以同時有效地考慮所有的數據。另外，這樣獲得的模型可以方便的用於開發地球物理應用程序。本節給出的射線追蹤算法並不要求使用超級計算機，它可以在工作站上運行，這要歸功於GOCAD的幾何數據庫的結構。