解: |A-λE|=
|2-λ 2 -2|
|2 5-λ -4|
|-2 -4 5-λ|
r3+r2 (消0的同時, 還能提出公因子, 這是最好的結果)
|2-λ 2 -2|
|2 5-λ -4|
|0 1-λ 1-λ|
c2-c3
|2-λ 4 -2|
|2 9-λ -4|
|0 0 1-λ|
= (1-λ)[(2-λ)(9-λ)-8] (按第3行展開, 再用十字相乘法)
= (1-λ)(λ^2-11λ+10)
= (10-λ)(1-λ)^2.
如果有n階矩陣A，其矩陣的元素都為實數，且矩陣A的轉置等於其本身（aij=aji）(i,j為元素的腳標)，而且該矩陣對應的特征值全部為實數，則稱A為實對稱矩陣。
主要性質：
1.實對稱矩陣A的不同特征值對應的特征向量是正交的。
2.實對稱矩陣A的特征值都是實數，特征向量都是實向量。
3.n階實對稱矩陣A必可對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特征值。
4.若λ0具有k重特征值 必有k個線性無關的特征向量，或者說必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E為單位矩陣。
擴展資料：
把壹個m×n矩陣的行，列互換得到的n×m矩陣,稱為A的轉置矩陣,記為A'或AT。
矩陣轉置的運算律(即性質)：
1.(A')'=A
2.(A+B)'=A'+B'
3.(kA)'=kA'(k為實數)
4.(AB)'=B'A'
若矩陣A滿足條件A=A'，則稱A為對稱矩陣。由定義知對稱矩陣壹定是方陣，而且位於主對角線對稱位置上的元素必對應相等，即aij=aji對任意i,j都成立。
（1）對稱矩陣?
在壹個n階方陣A中，若元素滿足下述性質：
則稱A為對稱矩陣。
（2）對稱矩陣的壓縮存儲?
對稱矩陣中的元素關於主對角線對稱，故只要存儲矩陣中上三角或下三角中的元素，讓每兩個對稱的元素***享壹個存儲空間。這樣，能節約近壹半的存儲空間。
①按行優先順序存儲主對角線（包括對角線）以下的元素
即按
次序存放在壹個向量sa[0...n(n+1)/2-1]中（下三角矩陣中，元素總數為n(n+1)/2）。
其中：
sa[0]=a0,0
sa[1]=a1,0
……
sa[n(n+1)/2-1]=an-1,n-1
②元素aij的存放位置
aij元素前有i行（從第0行到第i-1行），壹***有：
1+2+…+i=i×(i+1)/2個元素。
在第i行上，
之前恰有j個元素，即ai0,ai1,…,ai,j-1?，因此有：
sa[i×(i+1)/2+j]=aij
③aij和sa[k]之間的對應關系：
若i≥j，k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2
若i<j，k=j×(j+1)/2+i0≤k<n(n+1)/2
令I=max(i，j)，J=min(i，j)，則k和i，j的對應關系可統壹為：
k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2
（3）對稱矩陣的地址計算公式
LOC(aij)=LOC(sa[k])
=LOC(sa[0])+k×d=LOC(sa[0])+[I×(I+1)/2+J]×d
通過下標變換公式，能立即找到矩陣元素aij在其壓縮存儲表示sa中的對應位置k。因此是隨機存取結構。
參考資料：