第壹種分析方法是單位脈沖響應疊加形成的卷積。
第二種是通過傅立葉級數和傅立葉變換。深入壹點。..
(1).傅裏葉級數
為了將LTI系統的信號表示為基本信號的組合，這些基本信號必須具有兩個性質:
以下是連續時間的例子。
找到:
1)復指數信號e st在LTI系統中的響應也是復指數信號h (s) e st，滿足第二個性質。
2)性質1可以由書中的傅立葉級數的收斂性來確定，幾乎所有的周期信號都可以用傅立葉級數來表示(自考數據的嚴格證明)。
從而建立了傅立葉級數的核心，壹個周期信號可以用復指數的線性組合來表示。復指數可以用歐拉公式表示為三角函數，即可以由正弦和余弦的線性組合組成。
(科普:科學發現的正確順序是先想到三角函數，再用歐拉公式之後更方便的復指數形式)
關於公式的推導:直接閱讀，切割沒有難度。
了解之後，有些性質可以通過我自己的推演來驗證，雖然我懶得直接記很多。。
補充:更形象的理解為什麽任何波形都可以用復指數表示，可以用正弦(余弦)疊加得到，復指數形式可以完美的代替正弦和余弦。
如果我說我可以把壹個矩形波和上面說的正弦波疊加成90度角，妳會相信嗎？妳不會的，就像我壹樣。但是看看下面這張圖:
說完周期函數，可以用卷積或者傅裏葉級數來表示。非周期函數呢？
基本思想:在T→無窮大的極限處，把壹個非周期信號當作周期信號。
我覺得書中的推導過程很自然..然後是廣義的表達。
...與上述性質相同
壹個信號有頻域圖和時域圖，只是同壹事物的不同表現形式。
傅立葉變換最好的地方就是可以在時域和頻域之間轉換！
下面是壹個圖表:
在這些圖中，前面的黑線是所有正弦波的總和，也就是越來越接近矩形波的圖形。以不同顏色排列的正弦波是矩形波的組成部分。這些正弦波按照頻率從低到高從前到後排列，每壹個波的振幅都不壹樣。
我們可以看看矩形波，它在頻域中的另壹種表現:
這是什麽奇怪的東西？
這就是矩形波在頻域的樣子。是不是完全認不出來了？教科書壹般都是在這裏給出，然後留給讀者無盡的遐想和無盡的吐槽。其實教科書補充壹張圖就夠了:頻域圖像，也叫頻譜，是——
問題中看到的頻域圖和時域圖的關系圖是醬~
備註:
傅立葉分析到底是為了什麽？
我來說壹個最直接的用途。無論是聽廣播還是看電視，我們都必須熟悉壹個詞——頻道。信道信道就是頻率的信道，不同的信道用不同的頻率作為壹個信道來傳遞信息。讓我們試試壹件事:
先在紙上畫個罪(x)，不壹定標準，但意思差不多。沒那麽難。
好了，我們來畫壹個sin(3x)+sin(5x)的圖。
不要說標準不標準。上升或者下降的時候不壹定畫曲線吧？
好吧，畫不出來也沒關系。我給妳sin(3x)+sin(5x)的曲線，但前提是妳不知道這條曲線的方程。現在我需要妳把sin(5x)從圖片中去掉，看看還剩下什麽。這基本不可能。
但是在頻域呢？很簡單，無非就是幾條豎線。
所以，很多在時域看似不可能的數學運算，在頻域就可以很容易的反過來。這就是需要傅裏葉變換的地方。尤其是從壹條曲線中去掉某些特定的頻率成分，工程上稱為濾波，是信號處理中最重要的概念之壹，只有在頻域中才能很容易地做到。
再來說壹個更重要，但是稍微復雜壹點的用法——解微分方程。微分方程的重要性不用我過多介紹。它被用於各行各業。但是解微分方程是壹件比較麻煩的事情。因為除了計算加減乘除，還要計算微分積分。傅裏葉變換可以讓微分和積分變成頻域的乘除，大學數學瞬間變成小學算術。