經典定義：在某變化過程中設有兩個變量x,y，按照某個對應法則，對於每壹個給定的x值，都有唯壹確定的y值與之對應，那麽y就是x的函數。其中x叫自變量，y叫因變量。
另外，若對於每壹個給定的y值，也都有唯壹的x值與之對應，那麽x也是y的函數。
現代定義 ：壹般地，給定非空數集A,B,按照某個對應法則f，使得A中任壹元素x，都有B中唯壹確定的y與之對應，那麽從集合A到集合B的這個對應，叫做從集合A到集合B的壹個函數。
記作：x→y=f(x),x∈A.集合A叫做函數的定義域，記為D,集合{y∣y=f(x),x∈A}叫做值域，記為C。定義域，值域，對應法則稱為函數的三要素。壹般書寫為y=f(x),x∈D.若省略定義域，則指使函數有意義的壹切實數所組成的集合。
用映射的定義：壹般地，給定非空數集A,B，從集合A到集合B的壹個映射，叫做從集合A到集合B的壹個函數。
對應、映射、函數三者的重要關系：
函數是數集上的映射，映射是特指的對應。即：{函數}包含於{映射}包含於{對應}
函數過程中的這些語句用於完成某些有意義的工作——通常是處理文本，控制輸入或計算數值。通過在程序代碼中引入函數名稱和所需的參數，可在該程序中執行（或稱調用）該函數。
與數學上的函數類似，函數多用於壹個等式，如y=f(x)（f由用戶自己定義）。
函數是數學中的壹個基本概念，也是代數學裏面最重要的概念之壹。首先要理解，函數是發生在非空數集之間的壹種對應關系。然後，要理解發生在A、B之間的函數關系不止壹個。最後，要重點理解函數的三要素。函數的對應法則通常用解析式表示，但大量的函數關系是無法用解析式表示的，可以用圖象，表格及其他形式表示。在壹個變化過程中，發生變化的量叫變量，有些數值是不隨變量而改變的，我們稱它們為常量。自變量，函數壹個與它量有關聯的變量，這壹量中的任何壹值都能在它量中找到對應的固定值。因變量(函數)，隨著自變量的變化而變化，且自變量取唯壹值時，因變量(函數)有且只有唯壹值與其相對應。
函數值，在y是x的函數中，x確定壹個值，Y就隨之確定壹個值，當x取a時，Y就隨之確定為b，b就叫做a的函數值。
映射定義: 設A和B是兩個非空集合，如果按照某種對應關系f，對於集合A中的任何壹個元素a，在集合B中都存在唯壹的壹個元素b與之對應，那麽，這樣的對應（包括集合A，B，以及集合A到集合B的對應關系f）叫做集合A到集合B的映射(Mapping)，記作f：A→B。其中，b稱為a在映射f下的象，記作：b=f(a); a稱為b關於映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合記作f(A)。
定義域、對應域和值域 輸入值的集合X被稱為f的定義域；可能的輸出值的集合Y被稱為f的值域。函數的值域是指定義域中全部元素通過映射f得到的實際輸出值的集合。註意，把對應域稱作值域是不正確的，函數的值域是函數的對應域的子集。
性質函數的有界性: 設函數f(x)的定義域為D，數集X包含於D。如果存在數K1，使得f(x)≤K1對任壹x∈X都成立，則稱函數f(x)在X上有上界，而K1稱為函數f(x)在X上的壹個上界。如果存在數K2，使得f(x)≥K2對任壹x∈X都成立，則稱函數f(x)在X上有下界，而K2稱為函數f(x)在X上的壹個下界。如果存在正數M，使得|f(x)|<=M對任壹x∈X都成立，則稱函數f(x)在X上有界，如果這樣的M不存在，就稱函數f(x)在X上無界。
函數f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界。
函數的單調性: 設函數f(x)的定義域為D，區間I包含於D。如果對於區間I上任意兩點x1及x2，當x1<x2時，恒有f(x1)<f(x2)，則稱函數f(x)在區間I上是單調增加的；如果對於區間I上任意兩點x1及x2，當x1<x2時，恒有f(x1)>f(x2)，則稱函數f(x)在區間I上是單調減少的。單調增加和單調減少的函數統稱為單調函數。
函數的奇偶性: 設f(x)為壹個實變量實值函數，則f為奇函數若下列的方程對所有實數x都成立：
f(x) = f( - x) 或f( -x) = - f(x) 幾何上，壹個奇函數與原點對稱，亦即其圖在繞原點做180度旋轉後不會改變。
奇函數的例子有x、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。
設f(x)為壹實變量實值函數，則f為偶函數若下列的方程對所有實數x都成立：
f(x) = f( - x) 幾何上，壹個偶函數會對y軸對稱，亦即其圖在對y軸為鏡射後不會改變。
偶函數的例子有|x|、x^2、cos(x)和cosh(sec)(x)。
偶函數不可能是個雙射映射。 函數的周期性
狄利克雷函數
設函數f(x)的定義域為D。如果存在壹個正數l，使得對於任壹x∈D有(x士l)∈D，且f(x+l)=f(x)恒成立，則稱f(x)為周期函數，l稱為f(x)的周期，通常我們說周期函數的周期是指最小正周期。周期函數的定義域 D 為至少壹邊的無界區間，若D為有界的，則改函數不具周期性。
並非每個周期函數都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函數。
函數的連續性
在數學中，連續是函數的壹種屬性。直觀上來說，連續的函數就是當輸入值的變化足夠小的時候，輸出的變化也會隨之足夠小的函數。如果輸入值的某種微小的變化會產生輸出值的壹個突然的跳躍甚至無法定義，則這個函數被稱為是不連續的函數（或者說具有不連續性）。
設f是壹個從實數集的子集射到 的函數：。f在中的某個點c處是連續的當且僅當以下的兩個條件滿足：
f在點c上有定義。c是中的壹個聚點，並且無論自變量x在中以什麽方式接近c，f(x) 的極限都存在且等於f(c)。我們稱函數到處連續或處處連續，或者簡單的連續，如果它在其定義域中的任意點處都連續。更壹般地，我們說壹個函數在它定義域的子集上是連續的當它在這個子集的每壹點處都連續。
不用極限的概念，也可以用下面所謂的 方法來定義實值函數的連續性。
仍然考慮函數。假設c是f的定義域中的元素。函數f被稱為是在c點連續當且僅當以下條件成立：
對於任意的正實數，存在壹個正實數δ> 0 使得對於任意定義域中的，只要x滿足c - δ< x < c + δ，就有成立。
函數的凹凸性
設函數f(x)在I上連續。如果對於I上的兩點x1≠x2，恒有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2，（f((x1+x2)/2)<(f(x1)+f(x2))/2）那麽稱f(x)是區間I上的(嚴格)凸函數；如果恒有f((x1+x2)/2)≥(f(x1)+f(x2))/2，（f((x1+x2)/2)>(f(x1)+f(x2))/2）那麽稱f(x)是區間上的(嚴格)凹函數。
實函數或虛函數
實函數（Real function），指定義域和值域均為實數域的函數。實函數的特性之壹是可以在坐標上畫出圖形。
虛函數是面向對象程序設計中的壹個重要的概念。當從父類中繼承的時候，虛函數和被繼承的函數具有相同的簽名。但是在運行過程中，運行系統將根據對象的類型，自動地選擇適當的具體實現運行。虛函數是面向對象編程實現多態的基本手段。
反函數
壹般地，設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，根據這個函數中x,y 的關系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若對於y在C中的任何壹個值，通過x= f(y)，x在A中都有唯壹的值和它對應，那麽，x= f(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數，這樣的函數x= f(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數，記作x=f^-1(y).。反函數y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。
說明：⑴在函數x=f^-1(y)中，y是自變量，x是函數，但習慣上，我們壹般用x表示自變量，用y 表示函數，為此我們常常對調函數x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f^-1(x)，今後凡無特別說明，函數y=f(x)的反函數都采用這種經過改寫的形式。。
⑵反函數也是函數，因為它符合函數的定義。 從反函數的定義可知，對於任意壹個函數y=f(x)來說，不壹定有反函數，若函數y=f(x)有反函數y=f^-1(x)，那麽函數y=f^-1(x)的反函數就是y=f(x)，這就是說，函數y=f(x)與y=f^-1(x)互為反函數。。
⑶從映射的定義可知，函數y=f(x)是定義域A到值域C的映射，而它的反函數y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函數y=f(x)的定義域正好是它的反函數y=f^-1(x)的值域；函數y=f(x)的值域正好是它的反函數y=f^-1(x)的定義域（如下表）：
函數y=f(x) 反函數y=f^-1(x) 定義域A C 值域 C A
⑷上述定義用“逆”映射概念可敘述為：
若確定函數y=f(x)的映射f是函數的定義域到值域“上”的“壹壹映射”，那麽由f的“逆”映射f^-1所確定的函數x=f^-1(x)就叫做函數y=f(x)的反函數. 反函數x=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。。
開始的兩個例子：s=vt記為f(t)=vt,則它的反函數就可以寫為f^-1(t)=t/v，同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6，則它的反函數為：f^-1(x)=x/2-3。
有時是反函數需要進行分類討論，如：f(x)=X+1/X，需將X進行分類討論：在X大於0時的情況，X小於0的情況，多是要註意的。壹般分數函數的反函數的表示為y=ax+b/cx+d(a/c不等於b/d)--y=b-dx/cx+a
反函數的應用：
直接求函數的值域困難時，可以通過求其原函數的定義域來確定原函數的值域，求反函數的步驟是這樣的：1．先求出原函數的值域，因為原函數的值域就是反函數的定義域
（我們知道函數的三要素是定義域，值域，對應法則，所以先求反函數的定義域是求反函數的第壹步） 2．反解x，也就是用y來表示x3．改寫，交換位置，也就是把x改成y，把y改成x
4．寫出反函數及其定義域 就關系而言，壹般是雙向的 ，函數也如此，設y=f（x）為已知的函數，若對每個y∈Y，有唯壹的x∈X，使f（x）=y，這是壹個由y找x的過程 ，即x成了y的函數，記為x=f -1（y）。則f -1為f的反函數。習慣上用x表示自變量，故這個函數仍記為y=f -1（x），例如 y=sinx與y=arcsinx 互為反函數。在同壹坐標系中，y=f（x）與y=f -1（x）的圖形關於直線y=x對稱。
基本初等函數及其圖象冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數稱為基本初等函數。①冪函數：y=x^μ（μ≠0，μ為任意實數）定義域：μ為正整數時為（－∞，+∞），μ為負整數時是 （－∞，0）∪（0，+∞）；μ=α(a為整數)，當α是奇數時為（－∞，+∞），當α是偶數時為（0，+∞）；μ=p/q,p,q互素，作為的復合函數進行討論。略圖如圖2、圖3。
②指數函數：y=a^x（a>0 ，a≠1），定義域為（－∞，+∞），值域為（0 ，+∞），a>1 時是嚴格單調增加的函數（即當x2>x1時，） ，0
③對數函數：y=logax（a>0），稱a為底 ，定義域為（0，+∞），值域為（－∞，+∞） 。a>1 時是嚴格單調增加的，0<a<1時是嚴格單減的。不論a為何值，對數函數的圖形均過點（1，0），對數函數與指數函數互為反函數。如圖5。
以10為底的對數稱為常用對數，簡記為lgx 。在科學技術中普遍使用的是以e為底的對數，即<a>自然對數，記作lnx。
④三角函數：見表2。
正弦函數、余弦函數如圖6，圖7所示。
⑤反三角函數：見表3。雙曲正、余弦如圖8。
⑥雙曲函數：雙曲正弦（ex－e-x），雙曲余弦?（ex+e-x），雙曲正切（ex－e-x）/（ex+e-x），雙曲余切（ ex+e-x）/（ex－e-x）。
按照未知數次數分類
常函數
x取定義域內任意數時，都有 y=C (C是常數)，則函數y=C稱為常函數，
其圖象是平行於x軸的直線或直線的壹部分。
壹次函數
I、定義與定義式：自變量x和因變量y有如下關系： y=kx+b（k，b為常數，k≠0）則稱y是x的壹次函數。特別地，當b=0時，即y=kx時，y是x的正比例函數。
II、壹次函數的性質： y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k 即y/x=k III、壹次函數的圖象及性質：
1． 作法與圖形：通過如下3個步驟
（1）列表（壹般找4-6個點）；
（2）描點；
（3）連線，可以作出壹次函數的圖象。（用平滑的曲線連接）
2．性質：在壹次函數圖象上的任意壹點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。
3． k，b與函數圖象所在象限。當k>0時，直線必通過壹、三象限，y隨x的增大而增大； 當k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。當b>0時，直線必通過壹、二象限當b<0時，直線必通過三、四象限。 特別地，當b=0時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖象。這時，當k>0時，直線只通過壹、三象限與原點。當k<0時，直線只通過二、四象限與原點。
IV、確定壹次函數的表達式：已知點A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點A、B的壹次函數的表達式。
（1）設壹次函數的表達式（也叫解析式）為y=kx+b。
（2）因為在壹次函數上的任意壹點P（x，y），都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程： y1=kx1+b①和 y2=kx2+b②。
（3）解這個二元壹次方程，得到k，b的值。
（4）最後得到壹次函數的表達式。
V、在y=kx+b中，兩個坐標系必定經過(0,b)和(-b/k,0)兩點
VI、壹次函數在生活中的應用
1．當時間t壹定，距離s是速度v的壹次函數。s=vt。
2．當水池抽水速度f壹定，水池中水量g是抽水時間t的壹次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。反比例函數形如 y=k/x(k為常數且k≠0) 的函數，叫做反比例函數。自變量x的取值範圍是不等於0的壹切實數。 反比例函數的圖象為雙曲線。如圖，上面給出了k分別為正和負（2和-2）時的函數圖象。
二次函數
壹般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系： y=ax^2+bx+c (a≠0)（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大。）則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。x是自變量，y是x的函數。
二次函數的三種表達式
壹般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）
頂點式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P（h，k） 對於二次函數y=ax^2+bx+c 其頂點坐標為(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a)]交點式：y=a(x-x1)(x-x 2) [僅限於與x軸有交點A（x1 ，0）和B（x2，0）的拋物線]其中x1，x2= (-b±√(b^2－4ac))/(2a) 註：在3種形式的互相轉化中，有如下關系：______h=-b/(2a) k=(4ac-b^2)/(4a) x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函數的圖象
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖象，
二次函數
可以看出，二次函數的圖象是壹條拋物線。
二次函數標準畫法步驟
（在平面直角坐標系上）
（1）列表 （2）描點 （3）連線
拋物線的性質
1．拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a（頂點式 x=h）。
對稱軸與拋物線唯壹的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2．拋物線有壹個頂點P，坐標為P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3．二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4．壹次項系數b和二次項系數a***同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左
當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。
5．常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於（0，c），c是縱截距。
6．拋物線與x軸交點個數
Δ= b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ= b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）
當a>0時，函數在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函數，在{x|x>-b/2a}上是增函數；拋物線的開口向上；函數的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不變
當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)
二次函數與壹元二次方程
特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax^2+bx+c，
當y=0時，二次函數為關於x的壹元二次方程（以下稱方程），
即ax^2+bx+c=0
此時，函數圖象與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
1．二次函數y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
解析式
y=ax^2 ；y=a(x-h)^2 ； y=a(x-h)^2+k ； y=ax^2+bx+c
對應頂點坐標
(0，0) ； (h，0) ； (h，k) ； (-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
對應對稱軸
x=0 ； x=h ； x=h ； x=-b/2a
當h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．
當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的圖象
當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象
當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象
當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象
因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將壹般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
3．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤-b/2a時，y隨x的增大而減小，函數是減函數；當x ≥-b/2a時，y隨x的增大而增大，函數是增函數．若a<0，當x ≤-b/2a時，y隨x的增大而增大，函數是增函數；當x ≥-b/2a時，y隨x的增大而減小，函數是減函數．
4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸壹定相交，交點坐標為(0，c)；
(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交於兩點A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是壹元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x?-x?| 另外，拋物線上任何壹對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）－A |（A為其中壹點）
當△=0．圖象與x軸只有壹個交點
當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．
5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值．
6．用待定系數法求二次函數的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為壹般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．
7．二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現．
超越函數
三角函數是數學中屬於初等函數中的超越函數的壹類函數。它們的本質是任意角的集合與壹個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數是在平面直角坐標系中定義的，其定義域為整個實數域。另壹種定義是在直角三角形中，但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到復數系。
由於三角函數的周期性，它並不具有單值函數意義上的反函數。
三角函數在復數中有較為重要的應用。在物理學中，三角函數也是常用的工具。
它有六種基本函數：
函數名：正弦 余弦正切 余切正割 余割
符號 sin cos tan cot sec csc
正弦函數sin（A）=a/h
余弦函數cos（A）=b/h
正切函數tan（A）=a/b
余切函數cot（A）=b/a
正割函數sec(A)=h/b
余割函數csc (A)=h/a
在某壹變化過程中，兩個變量x、y，對於某壹範圍內的x的每壹個值，y都有確定的值和它對應，y就是x的函數。這種關系壹般用y=f(x)來表示。