1976年的壹天，於頭版頭條報道了壹條數學新聞。文中記敘了這樣壹個故事：
70年代中期，美國各所名牌大學校園內，人們都像發瘋壹般，夜以繼日，廢寢忘食地玩弄壹種數學遊戲。這個遊戲十分簡單：任意寫出壹個自然數N，並且按照以下的規律進行變換：
如果是個奇數，則下壹步變成3N+1。
如果是個偶數，則下壹步變成N/2。
不單單是學生，甚至連教師、研究員、教授與學究都紛紛加入。為什麽這種遊戲的魅力經久不衰？因為人們發現，無論N是怎樣壹個數字，最終都無法逃脫回到谷底1。準確地說，是無法逃出落入底部的4-2-1循環，永遠也逃不出這樣的宿命。
如果從2n出發，不論n如何龐大，就像瀑布壹樣迅速墜落。而其他的數字即使不是如此，在經過若幹次的變換之後也必然會到4-2-1的循環。據日本和美國的數學家攻關研究，在小於7*1011的所有的自然數，都符合這個規律。
這就是著名的“冰雹猜想”。
冰雹的最大魅力在於不可預知性。英國劍橋大學教授John Conway找到了壹個自然數27。雖然27是壹個貌不驚人的自然數，但是如果按照上述方法進行運算，則它的上浮下沈異常劇烈：首先，27要經過77步驟的變換到達頂峰值9232，然後又經過32步驟到達谷底值1。全部的變換過程（稱作“雹程”）需要111步，其頂峰值9232，達到了原有數字27的342倍多，如果以瀑布般的直線下落（2的N次方）來比較，則具有同樣雹程的數字N要達到2的111次方。其對比何其驚人！
但是在1到100的範圍內，像27這樣的劇烈波動是沒有的（54除外，他和27只有壹步之遙）。
經過遊戲的驗證規律，人們發現僅僅在兼具4k和3m+1（k,m為自然數）處的數字才能產生冰雹猜想中“樹”的分叉。所以在冰雹樹中，16處是第壹處分叉，然後是64……以後每隔壹節，產生出壹支新的支流。
自從Conway發現了神奇的27之後，有專家指出，27這個數字必定只能由54變來，54又必然從108變來，所以，27之上，肯定可以出現不亞於2n的強大支流——33*2n(n=1，2，3……)，然而，27到4-2-1數列和本流2到4-2-1數列要遙遠的多。按照機械唯物論的觀點，從27開始逆流而上的數列群才能叫做本源，盡管如此，按照“直線下瀉”的觀點，壹般依然把1-2-4-8……2n的這壹支看作是“幹流”。
圖論專家據此闡述了壹種獨特的方法：把數列群比作是壹棵樹，4-2-1數列是連理枝，至於上面的分支構成了壹個奇妙的數列通路，包含了所有的自然數。但是非常可惜的是，這個理論至今也沒有人可以證明。所以“冰雹猜想”還是數學皇冠上壹顆尚未鑒別的寶珠。
又稱為角谷猜想，因為是壹個名叫角谷的日本人把它傳到中國
數學的猜想.
對於任何壹個自然數A,
(1)a.如果A為偶數,就除以2
b.如果A為奇數,就乘以3加上1
得數記為B
(2)將B代入A重新進行(1)的運算
若幹步後,得數為1.
這個猜想,目前沒有反例,也沒有證明.
但也有許多人曾經嘗試去求證這個問題：
最簡單的證明角谷（3n+1）猜想的方法
因為任何偶數都能變成2^a或壹個奇數乘2^b。前者在不停的除以2之後必定為1，因為它們只有質因數2。而後者則只能剩下壹個奇數，我們可以把偶數放在壹邊不談。
現在只剩下奇數了。
我們假設壹個奇數m，當他進行運算時，變成3m+1。如果這個猜想是錯誤的話，那麽就有（3m+1）/2^c＝m，且m不等於1。我們嘗試壹下：
當c＝1時，3m+1＝2m，，，m＝-1，不符合，舍去；
當c＝2時，3m+1＝4m，，，m＝1，不符合，舍去；
當c＝3時，3m+1＝8m，，，m＝0.2，不符合，舍去；
當c＝4時，3m+1＝16m，，，m＝1/13，不符合，舍去；
……………………
可見，能推翻角古猜想的數只在1或以下的範圍，所以沒有數能推翻這個猜想，所以這個猜想是正確的。
還有壹種
本文應用二項式定理，證明了角谷猜想（3n+1）是成立的。
介紹
從任何壹個正整數開始，連續進行如下運算：
若是奇數，就把這個數乘以3再加1；若是偶數，就把這個數除以2。壹直按這個規則算下去，到最後壹定會出現4、2、1的循環。
比如，要是從1開始，就可以得到1→4→2→1；要是從17開始，則可以得到17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。自然地，有人可能會問：是不是每壹個正整數按這樣的規則演算下去都能得到1呢？這個問題就是敘拉古猜想，也叫科拉茲猜想或角谷猜想。
證明
因為任壹偶數2m除以2，到最後壹定會是壹個奇數(2m+1)，因此證明只需證明對於每壹個奇數按這樣的規則演算下去都能得到1，角谷猜想就成立。
根據二項式定理：
可得到：
當是n奇數，n=2m+1時，
根據代數恒等式：
可得到：
而因此令得到:
即任何壹個奇數(2m+1)通過乘以3再加1{ }和除以2{ }兩種運算都能得到壹個形如 的偶數，而形如 的偶數通過除以2最後都能得到1。
結論
角谷猜想（3n+1）是成立的，事實上，即使是偶數通過乘以3再加1和除以2兩種運算最後都能得到1。
例如，從4開始，把4乘以3再加1，可以得到
4→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，
從6開始，把6乘以3再加1，可以得到
6→19→58→29→88→44→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1
我不敢茍同以下這種所謂的證明：
“我們假設壹個奇數m，當他進行運算時，變成3m+1。如果這個猜想是錯誤的話，那麽就有（3m+1）/2^c＝m，且m不等於1。我們嘗試壹下：
當c＝1時，3m+1＝2m，，，m＝-1，不符合，舍去；
當c＝2時，3m+1＝4m，，，m＝1，不符合，舍去；
當c＝3時，3m+1＝8m，，，m＝0.2，不符合，舍去；
當c＝4時，3m+1＝16m，，，m＝1/13，不符合，舍去；
。。。。。。
可見，能推翻角古猜想的數只在1或以下的範圍，所以沒有數能推翻這個猜想，所以這個猜想是正確的。”
要知道（3m+1）/2^c＝m這個等式左右兩邊的m是不壹樣的，雖然兩個m都是奇數，但此m非彼m，妳無非就是想說壹個奇數乘以3再加1必定可以被2的n次方除盡，當然n到底是多大要看實際情況而定。不信大家可以試壹試，左邊代入任意奇數m，右邊得出的m絕大多數都是跟左邊代入任意奇數m不同的。還有就是這個證明明顯存在前後矛盾，前面假設壹個奇數m，後面卻得出m＝0.2、m＝1/13這樣的結果，難道0.2、1/13這些就是所謂的奇數？連兩個m都分不清，更何況是證明呢？大家不要再犯這樣的低級錯誤了呀，腳踏實地才是真。
角谷猜想的壹個推廣
角谷猜想又叫敘古拉猜想。它的壹個推廣是克拉茨問題，下面簡要說說這個問題：
50年代開始,在國際數學界廣泛流行著這樣壹個奇怪有趣的數學問題:任意給定壹個自然數x,如果是偶數,則變換成x/2,如果是奇數,則變換成3x+1.此後,再對得數繼續進行上述變換.例如x=52,可以陸續得出26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1.如果再做下去就得到循環:
(4,2,1).再試其他的自然數也會得出相同的結果.這個叫做敘古拉猜想.
上述變換,實際上是進行下列函數的叠代
{ x/2 (x是偶數)
C(x)=
3x+1 (x是奇數)
問題是,從任意壹個自然數開始,經過有限次函數C叠代,能否最終得到循環(4,2,1),或者等價地說,最終得到1?據說克拉茨(L.Collatz)在1950年召開的壹次國際數學家大會上談起過,因而許多人稱之為克拉茨問題.但是後來也有許多人獨立地發現過同壹個問題,所以,從此以後也許為了避免引起問題的歸屬爭議,許多文獻稱之為3x+1問題.
克拉茨問題吸引人之處在於C叠代過程中壹旦出現2的冪,問題就解決了,而2的冪有無窮多個,人們認為只要叠代過程持續足夠長,必定會碰到壹個2的冪使問題以肯定形式得到解決.正是這種信念使得問題每到壹處,便在那裏掀起壹股"3x+1問題"狂熱,不論是大學還是研究機構都不同程度地卷入這壹問題.許多數學家開始懸賞征解,有的500美元,有的1000英鎊.
日本東京大學的米田信夫已經對240大約是11000億以下的自然數做了檢驗.1992年李文斯(G.T.Leavens)和弗穆蘭(M.Vermeulen)已經對5.6*1013的自然數進行了驗證,均未發現反例.題意如此清晰,明了,簡單,連小學生都能看懂的問題,卻難到了20世紀許多大數學家.著名學者蓋伊(R.K.Guy)在介紹這壹世界難題的時候,竟然冠以"不要試圖去解決這些問題"為標題.經過幾十年的探索與研究,人們似乎接受了大數學家厄特希(P.Erdos)的說法:"數學還沒有成熟到足以解決這樣的問題!"有人提議將3x+1問題作為下壹個費爾馬問題.
下面是我對克拉茨問題的初步研究結果,只是發現了壹點點規律,距離解決還很遙遠.
克拉茨命題:設 n∈N,並且
f(n)= n/2 (如果n是偶數) 或者 3n+1 (如果n是奇數)
現用f1(n)表示f(n),f2(n)=f(f(n)),...fk(n)=f(f(...f(n)...)).
則存在有限正整數m∈N,使得fm(n)=1.(以下稱n/2為偶變換,3n+1為奇變換,並且稱先奇變換再偶變換為全變換)
克拉茨命題的證明
引理壹:若n=2m,則fm(n)=1 (m∈N)
證明:當m=1時,f(n)=f(2)=2/2=1,命題成立,設當m=k時成立,則當m=k+1時,fk+1(n)=f(fk(2k+1))=
=f(2)=2/2=1.證畢.
引理二:若n=1+4+42+43+...+4k=(4k+1-1)/(4-1) (k∈N),則有f(n)=3n+1=4k+1=22k+2,從而f2k+3(n)=1.
證明:證明是顯然的,省略.
引理三:若n=2m(4k+1-1)/(4-1) (m∈N), 則有fm+2k+3(n)=1.
證明:省略.
定理壹:集合 O={X|X=2k-1,k∈N} 對於變換f(X)是封閉的.
證明:對於任意自然數n,若n=2m,則fm(n)=1,對於n=2k,經過若幹次偶變換,必然要變成奇數,所以我們以下之考慮奇數的情形,即集合O的情形.對於奇數,首先要進行奇變換,伴隨而來的必然是偶變換,所以對於奇數,肯定要進行壹次全變換.為了直觀起見,我們將奇數列及其全變換排列如下:
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
0 2k-1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101
1 3k-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80 83 86 89 92 95 98 101 104 107 110 113 116 119 122 125 128 131 134 137 140 143 146 149 152
2 3k-2 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76
3 3k-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38
4 3k-2 1 4 7 10 13 16 19
5 3k-1 2 5 8
6 3k-2 1 4
7 3k-1 2
8 3k-2 1
第壹行(2k-1)經過全變換(3(2k-1)+1)/2=3k-1變成第二行,實際上等於第壹行加上壹個k,其中的奇數5,11,...6k-1又回到了第壹行.以下各行是等差數列3k-2,3k-1交錯排列.由於最終都變成了奇數,所以集合O對於變換f(X)是封閉的.
定理二:任何奇自然數經過若幹次變換都會變成1.
證明:
我們看到 奇數經過全變換變成為3k-1型數,3k-1型奇數經過全變換有壹半仍然變成3k-1型奇數,而另壹半3k-1型偶數經過除以2有壹半變成為3k-2型奇數,而3k-2型奇數經過全變換又變成為3k-1型數.換句話說不可能經過全變換得到3k-2型數.
下面我們只研究奇數經過全變換的性質,因為對於其他偶數經過若幹次偶變換,仍然要回到奇數的行列裏來.
我們首先證明奇數經過若幹次全變換必然會在某壹步變成偶數.
設2a0-1是我們要研究的奇數,它經過全變換變成3a0-1,假設它是壹個奇數並且等於2a1-1,2a1-1又經過全變換變成為3a1-1=2a2-1,3a2-1=2a3-1,...3ak-1-1=2ak-1,所以a1=(3/2)a0,a2=(3/2)a1,...ak=(3/2)ak-1.
所以最後ak=(3/2)ka0,要使ak是整數,可令a0=2kn,(n是奇數).於是ak=3kn.則從2a0-1經過若幹次全變換過程如下:
2k+1n-1 -> 3*2kn-1 -> 32*2k-1n-1 -> 33*2k-2n-1 ->... -> 3k+1n-1 (偶數).
然後我們證明經過全變換變成偶數的奇數壹定大於該偶數經過若幹偶變換之後得到的奇數.
設3k+1n-1=2mh (h為奇數),我們要證明 h<2*3kn-1:
h=(2*3kn-1+3kn)/2m<2*3kn-1,令a=3kn,b=2m-1,則有 2ab>a+b,而這是顯然的.
定義:以下我們將稱呼上述的連續全變換緊接著連續的偶變換的從奇數到另外壹個奇數的過程為壹個變換鏈.
接著我們證明奇數經過壹個變換鏈所得的奇數不可能是變換鏈中的任何中間結果,包括第壹個奇數.
若以B(n)表示奇數n的變換次數,m是n經過變換首次遇到的其他奇數,則有
定理三:B(n)=k+1+B(m),其中k是滿足3n+1=2km的非負整數.
證明:n經過壹次奇變換,再經過k次偶變換變成奇數m,得證.
舉例來說,B(15)=2+B(23)=2+2+B(35)=2+2+2+B(53)=2+2+2+5+1+B(5)=2+2+2+5+1+5=17
原始克拉茨
二十世紀30年代,克拉茨還在上大學的時候,受到壹些著名的數學家影響,對於數論函數發生了興趣,為此研究了有關函數的叠代問題.
在1932年7月1日的筆記本中,他研究了這樣壹個函數:
F(x)= 2x/3 （如果x被3整除 或者 (4x-1)/3 （如果x被3除余1）或者 (4x+1)/3 （如果x被3除余2）
則F(1)=1,F(2)=3,F(3)=2,F(4)=5,F(5)=7,F(6)=4,F(7)=9,F(8)=11,F(9)=6,...為了便於觀察上述叠代結果,我們將它們寫成置換的形式:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...
1 3 2 5 7 4 9 11 6 ...
由此觀察到:對於x=2,3的F叠代產生循環(2,3)
對於x=4,5,6,7,9的F叠代產生循環(5,7,9,6,4).
接下來就是對x=8進行叠代,克拉茨在這裏遇到了困難,他不能確知,這個叠代是否會形成循環,也不知道對全體自然數做叠代除了得到上述兩個循環之外,是否還會產生其他循環.後人將這個問題稱為原始克拉茨問題.現在人們更感興趣的是它的逆問題:
G(x)= 3x/2 （如果x是偶數）或者 (3x+1)/4 （如果x被4除余1）或者 (3x-1)/4 （如果x被4除余3）
不難證明,G(x)恰是原始克拉茨函數F(x)的反函數.對於任何正整數x做G叠代,會有什麽樣的結果呢?
經計算,已經得到下列四個循環:
(1),(2,3),(4,6,9,7,5),(44,66,99,74,111,83,62,93,70,105,79,59).
因為G叠代與F叠代是互逆的,由此知道,F叠代還應有循環(59,79,105,70,93,62,83,111,74,99,66,44).
G叠代還能有別的循環嗎?為了找到別的循環,人們想到了下面的巧妙方法:
由於G叠代使後項是前項的3/2(當前項是偶數時)或近似的3/4(當前項是奇數).如果G叠代中出現循環,比如叠代的第t項at與第s項as重復(t<s):at=as.但
as/as-1,as-1/as-2,...at+1/at
或等於3/2,或者近似於3/22,因而
1=as/at=as/as-1*as-1/as-2*...at+1/at≈3m/2n
這裏 m=s-t,m < n
即 2n≈3m
log22n≈log23m
故 n/m≈log23
這就是說,為了尋找出有重復的項(即有循環),應求出log23的漸進分數n/m,且m可能是壹個循環所包含的數的個數,即循環的長度.
log23展開成連分數後,可得到下列緊缺度不同的漸進分數:
log23≈2/1,3/2,8/5,19/12,65/41,84/53,485/306,1054/665,24727/15601,...
漸進分數2/1表明,31≈22,循環長度應為1.實際上恰存在長度為1的循環(1).
漸進分數3/2表明,32≈23,循環長度應為2.實際上恰存在長度為2的循環(2,3).
漸進分數8/5表明,35≈28,循環長度應為5.實際上恰存在長度為5的循環(4,6,9,7,5).
漸進分數19/12表明,312≈219,循環長度應為12,實際上恰存在長度為12的循環(44,66,...59).
這四個漸進分數的分母與實際存在的循環長度的壹致性,給了人們壹些啟發與信心,促使人們繼續考慮:是否存在長度為41,53,306,665,15601,...的循環?令人遺憾的是,已經證明長度是41,53,306的循環肯定不存在,那麽,是否會有長度為665,15601,...的循環呢?
F叠代與G叠代究竟能有哪些循環呢?人們正在努力探索中!