x+y+z=12的非負整數解有多少個，求過程
解答：
本題可以根據排列組合的插板法，通過基本變形即得答案。
將原題變形為：(x+1)+(y+1)+(z+1) = 15
設X =(x+1)、Y=(y+1)、Z=(z+1)
則原題“x+y+z=12的非負整數解有多少個”即為求：X+Y+Z=15 的正整數解有多少個。
用插板法易得***有：
C(15-1，3-1) =C(14,2)=14*13/2=91 組非負整數解。
解答完畢。
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解題思路與插板法詳細說明附在後面，請參閱
解題思路：
本題求非負整數解，即允許有些組中分到的元素為“0”，也就是組中可以為空的。
對於這種情形，在插板法的基礎上，首先將每組都填上1個，這樣所要元素總數就增加3個，問題也就是轉變成將（12+3）個元素分到3組，並且每組至少分到壹個的問題，也就可以直接用插板法來解決：
求x+y+z=12的非負整數解有多少組，即相當於在15個元素的14個間隙中放置2塊隔板把它隔成3份,***有C(15-1，3-1)種不同方法。
易得***有C(12+3-1,3-1)=C(14,2)=14*13/2=91組非負整數解。
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附註：插板法基本題型
有n個相同的元素，要求分到m組中，並且要求每組中至少有壹個元素問有多少種分法？
基本解題思路
將n個相同的元素排成壹行，n個元素之間出現了（n-1）個空檔，現在我們用（m-1）個“檔板”插入（n-1）個空檔中，就把n個元素隔成有序的m份，每個組依次按組序號分到對應位置的幾個元素（可能是1個、2個、3個、4個、….），這樣不同的插入辦法就對應著n個相同的元素分到m組的壹種分法，這種借助於這樣的虛擬“檔板”分配元素的方法稱之為插板法。
基本題型總結
對於這種要求每組元素至少要分到壹個的情況，則只需在n個元素的n-1個間隙中放置m-1塊隔板把它隔成m份即可,***有C（n-1，m-1）種不同方法。
註意！
這種插板法解決相同元素分到不同組的問題非常簡單，但同時這類問題模型適用前提相當嚴格，必須同時滿足以下3個條件：
（1）所有要分的元素須完全相同；
（2）所要分的元素必須分完，決不允許有剩余；
（3）參與分元素的每組至少分到1個，決不允許出現分不到元素的組。