幻方的構造原理

在《射雕英雄傳》中郭黃二人被裘千仞追到黑龍潭，躲進瑛姑的小屋。瑛姑出了壹道題：數字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及兩條對角線上的和都相等。這道題難倒了瑛姑十幾年，被黃蓉壹下子就答出來了。 492357816這就是壹個最簡單的3階平面幻方。因為幻方的智力性和趣味性，很多遊戲和玩具都與幻方有關，如捉放曹、我們平時玩的六面體，也成為學習編程時的常見問題。

幻方又稱縱橫圖、九宮圖，最早記錄於中國古代的洛書。夏禹治水時，河南洛陽附近的大河裏浮出了壹只烏龜，背上有壹個很奇怪的圖形，古人認為是壹種祥瑞，預示著洪水將被夏禹王徹底制服。後人稱之為洛書或河圖，又叫河洛圖。

南宋數學家楊輝，在他著的《續古摘奇算法》裏介紹了這種方法：只要將九個自然數按照從小到大的遞增次序斜排，然後把上、下兩數對調，左、右兩數也對調；最後再把中部四數各向外面挺出，幻方就出現了。（摘自《趣味數學辭典》）

最簡單的幻方就是平面幻方，還有立體幻方、高次幻方等。對於立體幻方、高次幻方世界上很多數學家仍在研究，只討論平面幻方。

對平面幻方的構造，分為三種情況：N為奇數、N為4的倍數、N為其它偶數(4n+2的形式）

1、 N 為奇數時，最簡單：

⑴ 將1放在第壹行中間壹列；

⑵ 從2開始直到n×n止各數依次按下列規則存放：

按 45°方向行走，如向右上

每壹個數存放的行比前壹個數的行數減1，列數加1

⑶ 如果行列範圍超出矩陣範圍，則回繞。

例如1在第1行，則2應放在最下壹行，列數同樣加1;

⑷ 如果按上面規則確定的位置上已有數，或上壹個數是第1行第n列時，

則把下壹個數放在上壹個數的下面。

2、 N為4的倍數時

采用對稱元素交換法。

首先把數1到n×n按從上至下，從左到右順序填入矩陣

然後將方陣的所有4×4子方陣中的兩對角線上位置的數關於方陣中心作對

稱交換，即a(i,j）與a(n+1-i,n+1-j）交換，所有其它位置上的數不變。

（或者將對角線不變，其它位置對稱交換也可）

**以上方法只適合於n=4時**

3、 N 為其它偶數時

當n為非4倍數的偶數（即4n+2形）時：首先把大方陣分解為4個奇數(2m+1階）子方陣。

按上述奇數階幻方給分解的4個子方陣對應賦值

由小到大依次為上左子陣（i），下右子（i+v），上右子陣（i+2v)，下左子陣（i+3v），

即4個子方陣對應元素相差v，其中v=n*n/4

四個子矩陣由小到大排列方式為 ① ③

④ ②

然後作相應的元素交換：a(i,j）與a(i+u,j）在同壹列做對應交換（j<t或j>n-t+2),

a(t-1,0）與a(t+u-1,0）；a(t-1,t-1)與a(t+u-1,t-1)兩對元素交換

其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交換使行列及對角線上元素之和相等。

C語言實現 #includestdio.h#includemath.hint?a[256][256];int?sum;int?check();void?ins(int?n);void?main(){?int?i,j,n,k,t,p,x;?scanf(%d,&n);?sum=(n*n+1)*n/2;?if(n%2==1)?//奇數幻方ins(n);?if(n%4==2)?{?//單偶數幻方k=n/2;ins(k);for(i=0;?i<k;?i++)?for(j=0;?j<k;?j++){a[i][j+k]=a[i][j]+2*k*k;a[i+k][j]=a[i][j]+3*k*k;a[i+k][j+k]=a[i][j]+k*k;?}t=(n-2)/4;for(i=0;?i<k;?i++)?for(j=0;?j<k;?j++){if((j<t)&&(i<t)){?p=a[i][j];?a[i][j]=a[i+k][j];?a[i+k][j]=p;}if((j<t)&&(i>k-t-1)){?p=a[i][j];?a[i][j]=a[i+k][j];?a[i+k][j]=p;}if((i>=t&&i<=k-t-1)&&(j>=t&&j<t*2)){?p=a[i][j];?a[i][j]=a[i+k][j];?a[i+k][j]=p;}if(j>1&&j<=t){?p=a[i][j+k];?a[i][j+k]=a[i+k][j+k];?a[i+k][j+k]=p;}?}?}?if(n%4==0)?{?//雙偶數幻方x=1;for(i=0;?i<n;?i++)?for(j=0;?j<n;?j++)a[i][j]=x++;for(i=0;?i<n;?i++)?for(j=0;?j<n;?j++){if(i%4==0&&abs(i-j)%4==0)?for(k=0;?k<4;?k++)a[i+k][j+k]=n*n-a[i+k][j+k]+1;else?if(i%4==3&&(i+j)%4==3)?for(k=0;?k<4;?k++)a[i-k][j+k]=n*n-a[i-k][j+k]+1;?}?}?if(check(n)==1){for(i=0;?i<n;?i++){?for(j=0;?j<n;?j++)printf(%5d,a[i][j]);?printf(\n);}?}}int?check(int?n)?{?//檢驗是否是幻方?int?i,j,sum1=0,sum2;?for(i=0;?i<n;?i++){for(j=0;?j<n;?j++)?sum1+=a[i][j];if(sum1!=sum)?return?0;sum1=0;?}?for(i=0;?i<n;?i++){for(j=0;?j<n;?j++)?sum1+=a[i][j];if(sum1!=sum)?return?0;sum1=0;?}?for(sum1=0,sum2=0,i=0,j=0;?i<n;?i++,j++){sum1+=a[i][j];sum2+=a[i][n-j-1];?}?if(sum1!=sum)return?0;?if(sum2!=sum)return?0;?elsereturn?1;}void?ins(int?n)?{?//單偶數幻方的輸入?int?x,y,m;?x=0;?y=n/2;?for(m=1;?m<=n*n;?m++){a[x][y]=m;if(m%n!=0){?x--;?y++;?if(x<0)x=x+n;?if(y==n)y=n-y;}else{?x++;?if(x==n)x=x-n;}?}}//?c++語言實現//（1）求奇數幻方#include<iostream.h>#include<iomanip.h>int?main(){?int?n,x,y,tot=0,i,j,a[100][100]={0};?cout<<請輸入壹個奇數<<endl;?cin>>n;?a[i=n/2][j=0]=++tot;?i--;?j--;?while(tot<=n*n){i<0?i=n-1:i=i;j<0?j=n-1:j=j;if(a[i][j]){?i=x;?j=y+1;}a[i][j]=++tot;x=i;y=j;i--;j--;?}?for(i=0;?i<n;?i++){for(j=0;?j<n;?j++)?cout<<setw(3)<<a[i][j];cout<<endl;?}?return?0;}//（2）求單偶幻方#include<iostream.h>#include<iomanip.h>int?main(){?int?n,i=0,j=0,a[100][100],tot=0;?cout<<請輸入4的倍數<<endl;?cin>>n;?for(i=0;?i<n;?i++)for(j=0;?j<n;?j++){?a[i][j]=++tot;}?for(i=0;?i<n;?i++){for(j=0;?j<n;?j++){?if(i%4==j%4||i%4+j%4==3)a[i][j]=n*n+1-a[i][j];}?}?for(i=0;?i<n;?i++){for(j=0;?j<n;?j++){?cout<<setw(4)<<a[i][j];}cout<<endl;?}?return?0;}奇階幻方

當n為奇數時，我們稱幻方為奇階幻方。可以用Merzirac法與loubere法實現，根據我的研究，發現用國際象棋之馬步也可構造出更為神奇的奇幻方，故命名為horse法。

偶階幻方

當n為偶數時，我們稱幻方為偶階幻方。當n可以被4整除時，我們稱該偶階幻方為雙偶幻方；當n不可被4整除時，我們稱該偶階幻方為單偶幻方。可用了Hire法、Strachey以及YinMagic將其實現，Strachey為單偶模型，我對雙偶(4m階）進行了重新修改，制作了另壹個可行的數學模型，稱之為Spring。YinMagic是我於2002年設計的模型，他可以生成任意的偶階幻方。

在填幻方前我們做如下約定：如填定數字超出幻方格範圍，則把幻方看成是可以無限伸展的圖形，如下圖：

Merzirac法生成奇階幻方

在第壹行居中的方格內放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有數字，則向下移壹格繼續填寫。如下圖用Merziral法生成的5階幻方： 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 loubere法生成奇階幻方

在居中的方格向上壹格內放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有數字，則向上移二格繼續填寫。如下圖用Louberel法生成的5階幻方： 23 6 19 2 15 10 18 1 14 22 17 5 13 21 9 4 12 25 8 16 11 24 7 20 3 Hire法生成偶階幻方

將n階幻方看作壹個矩陣，記為A，其中的第i行j列的數字記為a(i,j）。在A內兩對角線上填寫1、2、3、……、n，各行再填寫1、2、3、……、n，使各行各列數字之和為n*(n+1)/2。填寫方法為：第1行從n到1填寫，從第2行到第n/2行按從1到進行填寫（第2行第1列填n，第2行第n列填1)，從第n/2+1到第n行按n到1進行填寫，對角線的方格內數字不變。如下所示為6階填寫方法：

1 5 4 3 2 6

6 2 3 4 5 1

1 2 3 4 5 6

6 5 3 4 2 1

6 2 4 3 5 1

1 5 4 3 2 6

如下所示為8階填寫方法（轉置以後）：

1 8 1 1 8 8 8 1

7 2 2 2 7 7 2 7

6 3 3 3 6 3 6 6

5 4 4 4 4 5 5 5

4 5 5 5 5 4 4 4

3 6 6 6 3 6 3 3

2 7 7 7 2 2 7 2

8 1 8 8 1 1 1 8

將A上所有數字分別按如下算法計算，得到B，其中b(i,j)=n×（a(i,j）－1)。則AT+B為目標幻方

（AT為A的轉置矩陣）。如下圖用Hire法生成的8階幻方：

1 63 6 5 60 59 58 8

56 10 11 12 53 54 15 49

41 18 19 20 45 22 47 48

33 26 27 28 29 38 39 40

32 39 38 36 37 27 26 25

24 47 43 45 20 46 18 17

16 50 54 53 12 11 55 9

57 7 62 61 4 3 2 64

⑴.Strachey法生成單偶幻方

將n階單偶幻方表示為4m+2階幻方。將其等分為四分，成為如下圖所示A、B、C、D四個2m+1階奇數幻方。

A C

D B

A用1至2m+1填寫成(2m+1)2階幻方；B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填寫成2m+1階幻方；C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填寫成2m+1階幻方；D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填寫成2m+1階幻方；在A中間壹行取m個小格，其中1格為該行居中1小格，另外m-1個小格任意，其他行左側邊緣取m列，將其與D相應方格內交換；B與C接近右側m-1列相互交換。如下圖用Strachey法生成的6階幻方：

35 1 6 26 19 24

3 32 7 21 23 25

31 9 2 22 27 20

8 28 33 17 10 15

30 5 34 12 14 16

4 36 29 13 18 11

⑵Spring法生成以偶幻方

將n階雙偶幻方表示為4m階幻方。將n階幻方看作壹個矩陣，記為A，其中的第i行j列方格內的數字記為a(i,j）。

先令a(i,j)=(i-1)*n+j，即第壹行從左到可分別填寫1、2、3、……、n；即第二行從左到可分別填寫n+1、n+2、n+3、……、2n；…………之後進行對角交換。對角交換有兩種方法：

方法壹；將左上區域i+j為偶數的與幻方內以中心點為對稱點的右下角對角數字進行交換；將右上區域i+j為奇數的與幻方內以中心點為對稱點的左下角對角數字進行交換。（保證不同時為奇或偶即可。）

方法二；將幻方等分成m*m個4階幻方，將各4階幻方中對角線上的方格內數字與n階幻方內以中心點為對稱點的對角數字進行交換。

如下圖用Spring法生成的4階幻方：