(1)高斯投影的正反算
將大地坐標轉換為平面直角坐標稱為高斯投影正演計算，在同壹個橢球體中進行，沒有誤差。常用量的定義和公式如下:
a是橢球的長軸。
b是橢球短半軸。
f是橢球的扁率
e是第壹偏心心率。
e '是第二個偏心率。
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b是緯度，單位為弧度。
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m是子午圈的曲率半徑。
n是酉圓的曲率半徑。
子午線弧長x
子午線上有兩點p1和p2，p1在赤道上，p2的緯度為b，並提供了p1和p2之間子午線弧長x的計算公式:
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比如1980 Xi安坐標系A = 6378140，E2 = 0.006694385，A' = 1.005052506，B' = 0.002531556209，C' = 2.66。e ' = 4.916542167 e-12，f' = 7.263137253e-15，g' = 1.00438+02e.10086
當y ≠ 0，l ≠ 0時，需要以下積分和逐次逼近的方法。
(1)高斯正演計算公式(利用點的經緯度計算XY坐標)
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(2)高斯反算公式(利用點的XY坐標計算經緯度)
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(3)底緯Bf叠代公式
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直到Bi-1-Bi小於指定值，叠代才能停止。
公式
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改進後，國家測繪局將7個系數改為5個，計算每個橢球體的值，采用以下公式:
(1)高斯投影正演計算(B，L→x，y)
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其中:x0 = c0b-cosb(c 1 sin b+C2 sin 2b+C2 sin 5b+C4 sin 7b)
m0=lcosB
l = l-中央經線的經度值(弧度)
l和b是這個點的緯度和經度值。
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其中:t=tanB，η2=e'2cos2B，
c，C0，C1，C2，C3，C4和E2是橢球常數。
(2)高斯投影(x，y→B，L)的逆計算
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其中:t=tanBf，η2=e'2cos2Bf，k1k2，k3，k4為橢球常數。
各坐標系的橢球常數見表4-1。
表4-1大地坐標橢球常數
國家測繪局用的公式更容易編程。由於高斯投影的正反算是在同壹個橢球下進行的，所以公式嚴謹，沒有誤差，計算機操作非常方便。現在網上很多軟件都有這個功能。度、分、秒以小數形式輸入，度在小數點前，分在小數點後前兩位，秒在後兩位，秒在小數部分。比如25.23451124的值就是25 23' 45.1124”，正反算就變成了壹件很簡單的事情。高斯正演計算和反演計算都必須考慮橢球的參數，不同橢球的結果是不同的。必須考慮中央經線的位置。因為每個區域都有重復的點，所以該字段驗證需要使用3度區域，並且所有Y坐標都必須具有3度區域的波段號。不允許使用獨立坐標系或假設坐標系。
(2)參考中心坐標與直角空間坐標的關系。
空間直角坐標X、Y和Z與大地坐標B、L和H之間的關系表示如下:
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大地坐標b、l和h與空間直角坐標x、y和z之間的關系表示如下:
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公式
在轉換中，對於不知道橢球體高度的控制點，可以將控制點的大地高設置為0，三維變成二維，效果更好。
(3)坐標系統轉換
北京坐標系從1954轉換到Xi坐標系從1980通常有兩種方法:四參數轉換法和七參數轉換法。
1.四參數變換法
所謂四參數變換，就是兩個平移參數，壹個旋轉參數，壹個縮放比例。無論任何橢球體，都可以根據平面坐標直接在小範圍內平移、旋轉和縮放。最低條件是兩個普通* * *點。當共有* * *點較多時，可采用最小二乘法刪除殘差較大的點。這在面積較小的情況下是可能的，壹般不超過40平方公裏。四參數轉換模型如下:
x2 =δx+x 1(1+m)cosa-y(1+m)Sina
y2 =δx+x 1(1+m)Sina-y(1+m)cosa
2.七參數轉換方法
該方法適用於橢球體之間的坐標轉換。其實質是原橢球空間的直角坐標(X1，Y1，Z1)與新橢球空間的直角坐標(X2，Y2，Z2)之間的變換。橢球體之間的坐標變換需要至少三個公共點來求解七個參數。在轉換公式中使用Bursa公式，在法方程的求解中使用高斯消元法。線性代數中的算法高斯消去法，可以用來解線性方程組，求矩陣的秩，求可逆方陣的逆矩陣。當應用於壹個矩陣時，高斯消去法會產生壹個“行梯陣列”。高斯消元法可以在計算機中用來求解數以千計的方程和未知數。叠代法的殘差比消元法的殘差大。
橢球體之間的坐標變換適用於基於橢球體的參數(地心)坐標系之間的變換，不適用於基於平面的獨立坐標系之間以及獨立坐標系與參數(地心)坐標系之間的變換。在基於橢球(七參數)的坐標變換中，橢球到橢球的變換實際上是在空間直角坐標系中完成的。完整的轉換過程如下(以“平面→平面”為例):(x1，y1，h1) → (b1，l1，h1) → (x1)。首先將直角坐標系中的直角坐標，即原公點中的北京坐標1954，轉換為2000的國家大地經緯度坐標，再轉換為北京坐標系中的參考中心坐標1954，公點的Xi安坐標也進行轉換。利用兩個橢球體的參數中心(地心)的坐標得到轉換參數，利用該參數將北京坐標系1954中的坐標直接轉換為Xi安坐標系1980中的坐標。在上述過程中，高程H1和H2為大地高(橢球高)。大地高=測區正常高+異常高。如果不需要轉換高程，可以將高程和高程異常設置為0。不能直接代入1954北京坐標系坐標帶來的正常高。
七個參數的轉換模型如下:
(1)七參數轉換模型
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其中:δ b和δ l為兩個坐標系中同壹點的緯度差和經度差(弧度)；
a、δf為橢球長半軸之差(米)與扁率之差(無量綱)；
x、δ y、δ z為平移參數(米)；
εx，εy，εz為旋轉參數(弧度)；
m是標度參數(無量綱)。
至少可以求解三個公共點得到七個參數。
(2)三維七參數轉換模型
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其中:δ b、δ l、δ h為兩個坐標系中同壹點的緯度差(弧度)、經度差(弧度)、大地高差(米)；
ρ是壹弧度的秒值，180×3600/π弧度/秒；
a是橢球長半軸之差(m)；
f是平坦度差(無量綱)；
x、δ y、δ z為平移參數(米)；
εx，εy，εz為旋轉參數(弧度)；
m是標度參數(無量綱)。
至少可以求解三個公共點得到七個參數。
這七個參數適用於整個測區的轉換。面積小於2000平方公裏的可以壹次性改造，面積大的可以分區改造。公共點應選擇在分區之間，以確保數據連接的準確性。關於殘差，國家規定以1∶2000的地圖為例，地圖上的殘差為0.1 mm，即實地為20 cm，刪除超過中誤差3倍的點。為了保證礦業權拐點轉換的精度，礦業權實地核查壹般不適合使用0.1 m的殘差，實際上比國家規定的精度還要嚴格，相當於國家規定的1/6。
(4)利用坐標轉換軟件進行坐標轉換。
上面已經介紹了北京坐標系1954與Xi坐標系1980之間的轉換理論，可以使用相關軟件完成實際轉換。目前市場上有多種坐標轉換軟件可供選擇。在選擇軟件時，應註意部分軟件轉換的精度可能無法滿足本次礦業權實地核查的要求。下面以景甜測繪科技公司開發的測量計算工具包軟件V4.05為例介紹坐標轉換方法。
軟件界面如圖4-3所示。該軟件可用於高斯正演計算、高斯反算、坐標變換和橢球轉換，可批量導入，可保存數據和公共點，並包含坐標轉換所需的相關計算功能。此外，該軟件還可以實現2000年國家大地坐標系與1954北京坐標系、1980 Xi安坐標系、WGS-84坐標系和獨立坐標系之間的轉換。
圖4-3景甜測繪科技公司開發的測量計算工具包軟件界面
坐標系轉換可以采用平面坐標轉換中的多公共點相似轉換和橢球坐標轉換。小區域可以使用多共* *點相似性變換。限400平方公裏左右，不超過1 1: 50000地圖。與中央經線無關，標高需要設置為0。用於計算參數的輸入文件是壹個文本文件，格式如下:
點，原始x坐標，原始y坐標，新x坐標，新y坐標。
要轉換的輸入文件格式是:
點，原始x坐標，原始y坐標
參數計算點不超過30個，可以導入文件，可以保存公共點，也可以保存參數。可以導入轉換後的坐標，也可以保存轉換後的坐標。應當註意，轉換的坐標的位數應當與計算的參數的位數壹致。計算參數沒有符號，轉換後的坐標也沒有符號。在圖4-4的計算例子中，X省略了前4位，Y省略了前3位。
圖4-4多公共* *點平面相似性轉換窗口
7參數轉換應用於大面積測量。在橢球體之間的坐標轉換開關下，有四個子開關:平面-平面、地球-平面、平面-地球和地球-地球。對於采礦權，可以使用平面-平面；探礦權使用迪達-迪達法，小數點後位數較多，必要時可刪除尾部。輸入文件格式同上，要求中央經線，不標註Y坐標。如果北京坐標1954和Xi安坐標1980的大地高未知，可以在高程欄中輸入0，在測區高程異常中輸入0。探礦權采用大地坐標格式，前3位小數為'，後2位為"，第3、4位為"。例如108 33' 15 "8563，輸入108.33158563，由於控制點的坐標為X和Y格式，可以通過高斯投影反算將控制點轉換為大地坐標格式。或者用高斯坐標正算將探礦權登記坐標轉換為直角坐標，再用高斯坐標反算將1980 Xi安坐標轉換為2000國家坐標。圖4-5是某縣的礦業權轉換流程，Y坐標省略了前三位。
圖4-5橢球體之間的平面坐標轉換窗口
需要註意的是，軟件沒有經過軟件狗加密，只能註冊使用。用機器碼註冊，壹臺電腦只能安裝壹個軟件。