只需證明任意三角形內，任壹角的邊與它所對應的正弦之比值為該三角形外接圓直徑即可。
現將△ABC，做其外接圓，設圓心為O。我們考慮∠C及其對邊AB。設AB長度為c。
1.若∠C為直角，則AB就是⊙O的直徑，即c= 2r。
∵ （特殊角正弦函數值）
∴
2.若∠C為銳角或鈍角，過B作直徑BC`'交 ⊙O於C`，連接C'A，顯然BC'= 2r=R。
若∠C為銳角，則C'與C落於AB的同側，
此時∠C'=∠C（同弧所對的圓周角相等）
∴在Rt△ABC'中有
若∠C為鈍角，則C'與C落於AB的異側，BC的對邊為a，此時∠C'=∠A，亦可推出 。
考慮同壹個三角形內的三個角及三條邊，同理，分別列式可得 。故對任意三角形，定理得證。 若△ABC為銳角三角形,過點A作單位向量j⊥ ,則j與 的夾角為90°-∠A,j與的夾角為90°-∠C.?由向量的加法原則可得
為了與圖中有關角的三角函數建立聯系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數量積運算,得到
∴|j| | | Cos90°+|j| | | Cos(90°-C)=|j| | |Cos(90°-A)
.∴asinC=csinA 即
同理,過點C作與 垂直的單位向量j,則j與 的夾角為90°+∠C,j與 的夾角為90°+∠B,
可得
若△ABC為鈍角三角形,不妨設A>90°,過點A作與AC垂直的單位向量j,則j與AB的夾角為∠A-90°,j與CB的夾角為90°-∠C.?同理
a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),
∴asinC=csinA 即
過點C作與 垂直的單位向量j,則j與 的夾角為90°+∠C,j與 的夾角為90°+∠B,可得
綜上，