雙勾函數

對勾函數

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同義詞雙勾函數壹般指對勾函數

對勾函數是壹種類似於反比例函數的壹般雙曲函數，是形如f(x)=ax+b/x（a>0,b>0）的函數。

中文名

對勾函數

別稱

勾函數、魚鉤函數、耐克函數、雙勾函數、對號函數、雙飛燕函數

表達式

f(x)=ax+b/x (a>0,b＞0)

應用學科

數學

適用領域範圍

代數學函數

適用領域範圍

解析幾何

1 定義

定義

名稱

2 性質

圖像

最值

奇偶性、單調性

漸近線

3 對勾函數最小值與均值不等式

4 導數求解

5 其它解法

6 重點

7 例題

定義

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定義

所謂的對勾函數（雙曲函數），是形如

（a>0)的函數。

名稱

由圖像得名，又被稱為“雙勾函數”、“勾函數”、"對號函數"、“雙飛燕函數”等。也被形象稱為“耐克函數”或“耐克曲線”。

性質

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圖像

對勾函數是數學中壹種常見而又特殊的函數，見圖示，在作圖時最好畫出漸近線

最值

當x>0時，

有最小值（這裏為了研究方便，規定a>0，b>0），也就是當

時，f(x)取最小值。

奇偶性、單調性

奇偶性

雙勾函數是奇函數。

單調性

令k=

，那麽：

增區間：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；減區間：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k}

變化趨勢：在y軸左邊先增後減，在y軸右邊先減後增，是兩個勾。

漸近線

對勾函數的圖像是分別以y軸和y=ax為漸近線的兩支曲線，且圖像上任意壹

對勾函數

點到兩條漸近線的距離之積恰為漸近線夾角(0-180°)的正弦值與|b|的乘積。

註：對勾函數的圖像是雙曲線。實際上該圖像是軸對稱的，並可以通過雙曲線的標準方程通過旋轉角度得到。

對勾函數最小值與均值不等式

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對勾函數性質的研究離不開均值不等式。說到均值不等式，其實也是根據二次函數得來的。我們都知道

展開，得

，即

兩邊同時加上2ab，整理得

兩邊開平方，就得到了均值定理的公式：

將

中

看做a，

看做b代入上式，得

這裏有個規定：當且僅當ax=b/x時取到最小值，解出x=sqrt(b/a），對應的f(x)=2sqrt(ab）。我們再來看看均值不等式，它也可以寫成這樣：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均數的公式。那麽後面的式子呢？也是平均數的公式，但不同的是，前面的稱為算術平均數，而後面的則稱為幾何平均數，總結壹下就是算術平均數絕對不會小於幾何平均數。

導數求解

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其實用導數也可以研究對勾函數的性質。不過首先要會負指數冪的換算，這也很簡單，但要熟練掌握。舉幾個例子：1/x=x^-1，4/x^2=4x^-2。x為分母的時候可以轉化成負指數冪。那麽就有f(x)=ax+b/x=ax+bx^-1，求導方法壹樣，求得的導函數為a+(-b)x^-2，令f'(x)=0，計算得到b=ax^2，結果仍然是x=sqrt(b/a），如果需要的話算出f(x）就行了。平時做題的時候用導數還是均值定理，就看妳喜歡用哪個了。不過註意均值定理最後的討論，有時ax≠b/x，就不能用均值定理了。[1]

上述研究都是建立在x>0的基礎上的，不過對勾函數是奇函數，所以研究出正半軸圖像的性質後，自然能補出對稱的圖像。如果出現平移了的問題（圖像不再規則），就先用平移公式或我總結出的平移規律還原以後再研究，這個能力非常重要，壹定要多練，爭取做到特別熟練的地步。

事實上，利用將對勾函數進行選擇可以得到標準的雙曲線方程。也就是說，對勾函數是雙曲線，這個利用二階矩陣的變換也是可以得到的。

另外對於二次曲線，它只可能是以下幾種情況：圓，橢圓，雙曲線，拋物線，或者是兩條直線。

由對勾函數的圖像看出來，非雙曲線莫屬了。[1]

其它解法

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面對這個函數 f(x)=ax+b/x,我們應該想得更多，需要我們深入探究：⑴它的單調性與奇偶性有何應用？而值域問題恰好與單調性密切相關，所以命題者首先想到的問題應該與值域有關；⑵函數與方程之間有密切的聯系，所以命題者自然也會想到函數與方程思想的運用；⑶眾所周知，雙曲線中存在很多定值問題，所以很容易就想到定值的存在性問題。因此就由特殊引出了壹般結論；繼續拓展下去，用所猜想、探索的結果來解決較為復雜的函數最值問題。能否與均值有關系。

重點

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對勾函數的壹般形式是：

f(x)=ax+b/x(a>0) 不過在高中文科數學中a多半僅為1，b值不定。理科數學變化更為復雜。

定義域為（-∞，0）∪（0,+∞）

值域為（-∞，-2√ab]∪[2√ab,+∞）

當x>0，有x=根號b/根號a，有最小值是2√ab

當x<0，有x=-根號b/根號a，有最大值是：－2√ab

對勾函數的解析式為y=x+a/x（其中a>0），它的單調性討論如下：

設x1<x2，則f(x1）-f(x2）=x1+a/x1-(x2+a/x2）=(x1-x2）+a(x2-x1）/(x1x2）=[(x1-x2)(x1x2-a)]/(x1x2）

下面分類進行討論：

⑴當

時，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）<f(x2），所以函數在（-∞，-根號a）上是增函數

⑵當

時，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函數在（-根號a,0）上是減函數

⑶當

時，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函數在（0，根號a）上是減函數

⑷當

時，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）<f(x2），所以函數在（根號a，+∞）上是增函數

解題時常利用此函數的單調性求最大值（max）與最小值（min）。

例題

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2006年高考上海數學試卷（理工農醫類）

已知函數 y=x+a/x 有如下性質：如果常數a>0，那麽該函數在 (0,√a] 上是減函數，在，[√a,+∞）上是增函數．

⑴如果函數 y=x+（2^b)/x （x>0）的值域為 [6,+∞），求b 的值；

⑵研究函數 y=x^2+c/x^2 （常數c >0）在定義域內的單調性，並說明理由；

⑶對函數y =x+a/x 和y =x^2+a/x^2（常數a >0）作出推廣，使它們都是妳所推廣的函數的特例．研究推廣後的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明），並求函數F(x) =(x^2+1/x)^n+（1/x^2+x)^n（x 是正整數）在區間[?,2]上的最大值和最小值（可利用妳的研究結論）

當x>0時，f(x)=ax+b/x有最小值；當x<0時，f(x)=ax+b/x有最大值

f(x)=x+1/x

首先妳要知道他的定義域是x不等於0

當x>0,

由均值不等式有：

f(x)=x+1/x>=2根號（x*1/x)=2

當x=1/x取等

x=1，有最小值是：2，沒有最大值。

當x<0,-x>0

f(x)=-(-x-1/x)<=-2

當－x=-1/x取等。

x=-1，有最大值是：-2，沒有最小值。