物不知其數問題出自壹千六百年前我國古代數學名著《孫子算經》。原題為："今有物不知其數，三三數之二，五五數之三，七七數之二，問物幾何？"
這道題的意思是：有壹批物品，不知道有幾件。如果三件三件地數，就會剩下兩件；如果五件五件地數，就會剩下三件；如果七件七件地數，也會剩下兩件。問：這批物品***有多少件？
變成壹個純粹的數學問題就是：有壹個數，用3除余2，用5除余3，用7除余2。求這個數。
這個問題很簡單：用3除余2，用7除也余2，所以用3與7的最小公倍數21除也余2，而用21除余2的數我們首先就會想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本題的壹個答案。
這個問題之所以簡單，是由於有被3除和被7除余數相同這個特殊性。如果沒有這個特殊性，問題就不那麽簡單了，也更有趣得多。
我們換壹個例子；韓信點壹隊士兵的人數，三人壹組余兩人，五人壹組余三人，七人壹組余四人。問：這隊士兵至少有多少人？
這個題目是要求出壹個正數，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的數盡可能地小。
如果壹位同學從來沒有接觸過這類問題，也能利用試驗加分析的辦法壹步壹步地增加條件推出答案。
例如我們從用3除余2這個條件開始。滿足這個條件的數是3n+2，其中n是非負整數。
要使3n+2還能滿足用5除余3的條件，可以把n分別用1，2，3，…代入來試。當n=1時，3n+2=5，5除以5不用余3，不合題意；當n=2時，3n+2=8，8除以5正好余3，可見8這個數同時滿足用3除余2和用5除余3這兩個條件。
最後壹個條件是用7除余4。8不滿足這個條件。我們要在8的基礎上得到壹個數，使之同時滿足三個條件。
為此，我們想到，可以使新數等於8與3和5的壹個倍數的和。因為8加上3與5的任何整數倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3。於是我們讓新數為8+15m，分別把m=1，2，…代進去試驗。當試到m=3時，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎題目要求。
我國古代學者早就研究過這個問題。例如我國明朝數學家程大位在他著的《算法統宗》（1593年）中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解法：
三人同行七十稀，
五樹梅花甘壹枝，
七子團圓正半月，
除百零五便得知。
"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，當所得的數比105大時，就105、105地往下減，使之小於105；這相當於用105去除，求出余數。
這四句口訣暗示的意思是：當除數分別是3、5、7時，用70乘以用3除的余數，用21乘以用5除的余數，用15乘以用7除的余數，然後把這三個乘積相加。加得的結果如果比105大，就除以105，所得的余數就是滿足題目要求的最小正整數解。
按這四句口訣暗示的方法計算韓信點的這隊士兵的人數可得：
70×2+21×3+15×4=263，
263=2×105+53，
所以，這隊士兵至少有53人。
在這種方法裏，我們看到：70、21、15這三個數很重要，稍加研究，可以發現它們的特點是：
70是5與7的倍數，而用3除余1；
21是3與7的倍數，而用5除余1；
15是3與5的倍數，而用7除余1。
因而
70×2是5與7的倍數，用3除余2；
21×3是3與7的倍數，用5除余3；
15×4是3與5的倍數，用7除余4。
如果壹個數除以a余數為b，那麽給這個數加上a的壹個倍數以後再除以a，余數仍然是b。所以，把70×2、21×3與15×4都加起來所得的結果能同時滿足"用3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求。壹般地，
70m+21n+15k (1≤m＜3, 1≤n＜5,1≤k＜7)
能同時滿足"用3除余m 、用5除余n 、用7除余k"的要求。除以105取余數，是為了求合乎題意的最小正整數解。
我們已經知道了70、21、15這三個數的性質和用處，那麽，是怎麽把它們找到的呢？要是換了壹個題目，三個除數不再是3、5、7，應該怎樣去求出類似的有用的數呢？
為了求出是5與7的倍數而用3除余1的數，我們看看5與7的最小公倍數是否合乎要求。5與7的最小公倍數是5×7=35，35除以3余2，35的2倍除以3余2，35的2倍除以3就能余1了，於是我們得到了"三人同行七十稀"。
為了求出是3與7的倍數而用5除余1的數，我們看看3與7的最小公倍數是否合乎要求。3與7的最小公倍數是3×7=21，21除以5恰好余1，於是我們得到了"五樹梅花甘壹枝"。
為了求出是3與5的倍數而用7除余1的數，我們看看3與5的最小公倍數是否合乎要求。3與5的最小公倍數是3×5=15，15除以7恰好余1，因而我們得到了"七子團圓正半月"。
3、5、7的最小公倍數是105，所以"除百零五便得知"。
例如：試求壹數，使之用4除余3，用5除余2，用7除余5。
解：我們先求是5與7的倍數而用4除余1的數；5與7的最小公倍數是5×7=35，35除以4余3，3×3除以4余1，因而35×3=105除以4余1，105是5與7的倍數而用4除余1的數。
我們再求4與7的倍數而用5除余1的數；4與7的最小公倍數是4×7=28，28除以5余3，3×7除以5余1，因而28×7=196除余5余1，所以196是4與7的倍數而用5除余1的數。
最後求的是4與5的倍數而用7除余1的數：4與5的最小公倍數是4×5=20，20除以7余6，6×6除以7余1，因而20×6=120除以7余1，所以120是4與5的倍數而用7除余1的數。
利用105、196、120這三個數可以求出符合題目要求的解：
105×3+196×2+120×5=1307。
由於4、5、7的最小公倍數是4×5×7=140，1307大於140，所以1307不是合乎題目要求的最小的解。用1037除以140得到的余數是47，47是合乎題目的最小的正整數解。
壹般地，
105m+196n+120k (1≤m＜4,1≤n＜5,1≤k＜7)
是用4除余m,用5除余n,用7除余k的數(105m+196n+120k)除以140所得的余數是滿足上面三個條件的最小的正數。
上面我們是為了寫出105m+196n+120k這個壹般表達式才求出了105這個特征數。如果只是為了解答我們這個具體的例題，由於5×7=35既是5與7的倍數除以4又余3，就不必求出105再乘以3了。
35+196×2+120×5=1027
就是符合題意的數。
1027=7×140+47，
由此也可以得出符合題意的最小正整數解47。
《算法統宗》中把在以3、5、7為除數"物不知其數"問題中起重要作用的70、21、15這幾個特征數用幾句口訣表達出來了，我們也可以把在以4、5、7為除數的問題中起重要作用的105、196、120這幾個特征數編為口訣。留給讀者自己去編吧。
凡是三個除數兩兩互質的情況，都可以用上面的方法求解。
上面的方法所依據的理論，在中國稱之為孫子定理，國外的書籍稱之為中國剩余定理。