這篇文章其實是這兩周學完Brown運動這壹章後老師布置的課程論文，寫的比較數學，但是不太嚴謹。好多地方我沒看懂的也就沒寫上去。主要是對定義和公式的理解，梳理了壹下Black-Scholes方程的推導過程。主要參考了知乎大神 石川 的兩篇文章（見文末）。
關於 幾何布朗運動 的直觀理解可以參看 隨機微分方程（SDE）的蒙特卡洛模擬（Python實現） 和 幾何布朗運動數值解的模擬
定義：隨機過程 稱為Brown運動，如果它滿足如下三個條件：
若 則稱其為標準Brown運動。
從定義我們可以知道：
1.標準Brown運動在 時的狀態為 ；
2.可以推出Brown運動是壹個 馬爾科夫過程 ，任意 時刻之後的狀態僅和 時刻的狀態有關，而與歷史無關，另外還可以證明它是 鞅過程 和 正態過程 （即 高斯過程 ）；
3.在任何有限時間區間內標準Brown運動的變化服從均值為0，方差為 的正態分布 ， 而且其方差會隨著時間區間長度線性增加 。
壹些簡單的不變性列舉。
若 是 標準Brown運動 ，則
(1)對稱性：
(2)起點變換：
(3)尺度變換：
(4)時間倒置：
(5)時間反向：
也是 標準Brown運動 。
對於任給的正數M，有
這可能是最好理解的性質：Brown運動是連續的，但它在任壹點 的導數有限的概率為0，i.e，對幾乎每條樣本軌道上任意壹點 ，其導數不存在，也就是說 固定 ，Brown運動不可導 。進壹步可以證明 Brown運動處處不可微 （證明沒啃清白）。
對書上其他的性質理解不是很深，所以來說壹下在別的地方看到的性質。
(1) Brown運動的軌跡會頻繁的穿越時間軸 ，即在時間軸上下波動，這壹點其實就是書上對 Brown運動每個狀態 都常返（a是零常返） 的證明
(2) 在任意時刻 ，它的位置 不會偏離 正負壹個標準差（ ） 太遠
這個概念從別的地方看的，書上只講了 Brown運動的二次變差過程 ，也就是
定義：
考慮時間區間 和該區間內的壹個劃分 ， 則對於任意壹個連續函數 ，它的二次變分（quadratic variation）定義為：
推論：
對於壹個連續且在 上處處可微的函數 ，可以由中值定理得出
由此，對區間 分割足夠細時， ，函數 的二次變分為
把上述 換成 即可，Brown運動的二次變分：
但推論有變化:
即，對區間 分割足夠細時， ，隨機過程 的二次變分為 （區間長度），而不是0
理解：
對於 Brown運動 ，其非零的二次變分說明 隨機性使得它的波動太頻繁 ，以至於不管我們如何細分區間 、得到多麽微小的劃分區間，這些微小區間上的 位移差的平方逐段累加起來的總和(二次變分的幾何意義) 都不會消失（即二次變分不為0），而是等於這個 區間的長度
綜上，Brown運動的二次變分公式也可以寫成 ，這是 伊藤微分公式 推導的關鍵。
如何理解這個式子呢？先將其寫成增量的形式：
對比壹般的確定性函數 增量和微分的關系：
我們發現Brown運動的增量與 成正比，與壹般的確定性函數 增量和微分的關系不同的是， Brown運動的增量和微分不再具有線性關系 ，也就表明在Brown的樣本軌道的任意壹點附近不能“以直代曲”。這也構成了隨機微分方程和確定性微分方程的本質區別。
若函數 在點 的某領域 上有直到 階的連續偏導數，則對 內任壹點 ，存在相應的 ，使得
其中，
若只需求 ，則只需 在 內存在直到 階連續偏導數，便有
這個公式將幫助我們導出 伊藤微分公式
設實函數 關於 有二階連續偏導數，關於 有壹階連續偏導數，若 是參數為 的Brown運動，則
書上給出的證明條件是 關於 和 都有二階連續偏導數。
證明思路是對 進行泰勒展開，展到二階，然後處理掉其中的無窮小項。具體過程就不擺了，簡單的寫壹下思路以及理解了的點吧。
(1)從 到
前者顯然是直觀的微分形式，但由於Brown運動處處不可導，所以這樣的微分是不可行的；
後者繞開了 ，但是這樣也是錯誤的，這是由於 Brown運動的二次變分非零 。當我們用泰勒展開寫出它的前兩項時，就明白為什麽後者也是不可行了。
(2)要展開到二階的原因
由壹般函數的泰勒展開：
從第二項開始 都是 的 高階無窮小 ，所以可以略去，只留第壹項，
而 Brown運動 則不行，二階偏導會出現 ，不再是高階無窮小，所以 無法略去 ；
(3)無窮小項的處理
， ， ，第三個顯然，第壹個和第二個用到了前面的 2.3 和 2.4 。
擴散方程模型：
其中 和 是 和 的函數。
令 ，推導隨機過程 滿足的隨機微分方程：
將 代入上面方程，其中，
忽略高階無窮小項，可得：
從這裏也可以感受到隨機微分方程的解往往是先猜解後驗證。
設隨機過程 滿足
其中 為常數， 為標準Brown運動，滿足上述微分方程的解稱為幾何Brown運動。
在這裏給出其解：
這裏省略介紹 公式的經濟學背景，從數學上看， 公式其實就是在思考如何消除 。
滿足SDE：
滿足SDE：
定義證券組合價值為 ，其滿足：
將 和 代入上式，可得：
這裏 被抵消掉了，也就是消去了瞬時收益率的風險項。
在不存在無風險套利的市場中，該投資組合的瞬時收益率 必須等於無風險收益率 ，即
將 和 代入上式，可得：
化簡得：
上式稱為 微分方程。
[參考資料]
《隨機過程 方兆本 第三版》
布朗運動、伊藤引理、BS公式（前篇）
布朗運動、伊藤引理、BS公式（後篇）
經濟金融系列學習：伊藤引理