法國著名數學家費爾馬曾提出關於三角形的壹個有趣問題：在三角形所在平面上，求壹點，使該點到三角形三個頂點距離之和最小．人們稱這個點為“費馬點”．這是壹個歷史名題，近幾年仍有不少文獻對此介紹．
本文試以課本上的習題、例題為素材，根據初中學生的認知水平，針對這個問題擬定壹則思維訓練材料，引導學生通過自己的思維和學習，初步了解這個問題的產生、形成、推理和論證過程及應用．
1．三角形的費馬點
已知：如圖1，ΔABD、ΔAEC都是等邊三角形．求證：BE=DC．
這個題目證明比較容易，下面提幾個問題供同學們思考．
思考1 在ABC的BC邊再作等邊三角形BCF，並連接AF如圖2，可得到什麽結論？是否有
(1)BE=CD=AF？
(2)BE、CD、AF三線交於壹點O？
(3)∠AOB=∠BOC=∠COA=120°？
思考2 如將原題的圖1改成圖3，並連接DE，還能得到什麽結論？
(1)原題的結論仍然成立：BE=CD．
(2)若∠ADC=120°，則D點在等邊ΔAEC的外接圓上．D、B、E***線，由BE=CD有：AD＋CD=DE；若∠ADC≠120°，易證AD＋DC＞DE．得到下列命題．
定理1 等邊三角形外接圓上壹點，到該三角形較近兩頂點距離之和等於到另壹頂點的距離；不在等邊三角形外接圓上的點，到該三角形兩頂點距離之和大於到另壹點的距離．
思考3 根據上述定理，在圖2中還有
(1)OA＋OB＋OC=AF．
(2)在ΔABC內另取壹點O，總有
O′A＋O′B＋O′C＞AF，
即 OA＋OB＋OC＜O′A＋O′B＋O′C．
(3)點O是ΔABC所在平面上到三個頂點距離之和為最小的點．
定理2 三角形每壹內角都小於120°時，在三角形內必存在壹點，它對三條邊所張的角都是120°，該點到三頂點距離和達到最小，稱為“費馬點”，當三角形有壹內角不小於120°時，此角的頂點即為費馬點．
2．水管線路最短問題
如圖4，要在河邊修建壹個水泵站，分別向張村、李莊供水，修在河邊什麽地方，可使所用水管最短？
這是壹個很有意義的應用題，在公路，自來水或煤氣管道線路設計等方面都有壹定價值．假如不是由水泵站C直接向A、B兩地供水，那麽本例用“對稱點”方法所確定的線路CA＋CB並不是最短線路．易知當A、B、C三點所確定的三角形各角都小於120°時，在該三角內必存在費馬點O有OA＋OB＋OC＜CA＋CB，可見水管總長還可以更小壹些．於是水管線路最短問題即為A、B兩點在直線L同側，點C為L上壹個動點的費爾馬問題，下面分兩類情況討論這個問題．
(1)AB與L的夾角小於30”
如圖5，以AB為壹邊作正三角形AB，並作ΔABM的外接圓．
當所作外接圓與直線L相離或相切時，從M點作直線L的垂線，交圓於O點，垂足為C．C即為水泵站位置，先把水引到O點，再從O點分別向A、B兩地供水，此時點O 更短，即在L上另選壹點都不會改進．
優的了，因為∠ABC≥120°，費馬點就是點C也就是在C建水泵站直接向A、B兩地供水．如果水泵站C選在P點的左側，如圖7，此時△ABC的費馬點O必在在點P上，故L上點P的左側不會有更好的點可選，同理Q點的右邊也找不出更好的點．
(2)AB與L的夾角不小於30°．
如圖8，若A點離直線L較近，作AC⊥L交於C，點C為水泵站位置，因為∠CAB≥120°，點A即為ΔABC的費馬點，此時水管總長為CA＋AB．在L上任意另取壹點都不會再有改進．顯然在點C的左側取壹點C′時，ΔABC′的費馬點仍在A點，易知 弧上(因為ΔABM的外接圓不會與L相交或相切)，故必有；O′A+O′B+O′C=O′M+O′C＞CA+AM=CA＋AB．
綜上所述水管的最短線路有三種分別為“Y”字型“V”字型及“廠”字型．
3．兩個應用題
文(4)談到95年全國高考命題組，對應用題選編時曾考慮過如下兩個題目：
(1)壹條河寬1km，兩岸各有壹座城市A與B，A與B的直線距離是4km，今須鋪設壹條電纜連A與B，已知地下電纜修建費用為2萬元/km，水下電纜為4萬元/km，假定河兩岸是直線，問應如何架設電纜方可使總施工費用達到最小？
(2)有四個點位於壹個正方形的四個頂點上，須用線將它們連成壹個網絡(即從任何壹點出發，可沿此網絡中的線達到別的點)，問此網絡應以什麽方式連接這四個點，方可使所用的線總長最小？
湯建新，趙漢群曾在《中學數學》(湖北)1997．10月刊上發文(5)對(1)題作了詳細討論，並給出壹個很巧妙的解答，使初中學生可以理解．用費馬點也可這樣去解，因為水底電纜每千米修建費為地下的兩倍，如圖9，實際上即為在河岸直線L上找壹點C使AC＋2BC最小，取B點關於L的對稱點B′，因為BC=B′C故所求點C(電纜的下水點)即為ΔABB′的費馬點，取∠BCA=120°即得．
關於(2)題如圖10，易知不論如何連接，所求的網絡必通過正方形中心O點，問題轉化為ΔABO與ΔDCO的費馬問題，也可以轉化為問題(1)，詳細解答請同學們考慮．