——數學核心素養在“運算律”教學中的培養
樂平市第九小學蔣銘國
數學核心素養是具有數學基本特征的、適應學生個人終身發展和社會發展需要的人的思維品質與關鍵能力。主要包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析六個核心素養。六個核心素養並非相互分離，而是密切聯系，融為壹體的。數學來自於生活，又實踐於生活。數學教學的使命，就是讓我們的學生最終學會“用數學的眼睛看”世界，“用數學的思維想”世界，“用數學的語言說”世界。
“用數學的眼睛看”世界，離不開“數學抽象”和“直觀想象”；“用數學的思維想”世界，離不開“邏輯推理”和“數學運算”；“用數學的語言說”世界，離不開“數學建模”和“數據分析”。
最近在教學“運算律”，包括加法交換律、乘法交換律、加法結合律、乘法結合律和乘法分配律。現結合在運算律教學中如何借助教學內容培養學生核心素養，談談自己粗淺的認識與思考。
壹、數學抽象和直觀想象素養的培養
我們使用的教材是北師大版。運算律教學安排在四年級上冊後半學期開始部分。從它在教材中所處的位置來看，運算律就是本冊教材中最重要的部分之壹。
“直觀想象”是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的素養。主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立數與形的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。“數學抽象”是指舍去事物的壹切物理屬性，得到數學研究對象的素養。主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出壹般規律和結構，並且用數學符號或者術語予以表征。簡而言之，抽象就是從現實世界進入數學內部，讓學生學會用數學的眼睛看。“直觀想象”是“數學抽象”的基礎，是“數學抽象”的起始階段，也是壹種“數學抽象”，更是構建與形成其他數學核心素養的重要基礎。
縱觀教材上的每壹個運算律教學內容安排，都是提供情境圖或者現實背景圖，讓學生在現實背景中理解數量之間的關系。這就是鞏固孩子的直觀想象能力，也是進壹步促進直觀想象能力的發展。直觀想象素養是孩子最基本的數學素養。
例如：在加法結合律教材編排中，提供了兩副情境圖。以圖壹為例，畫面呈現是小猴、松鼠、機靈狗在果園裏分別摘桃30個、梨40個和蘋果50個。算式：(30+40)+50與30+(40+50)分別表示什麽？由於孩子具備了壹定的直觀想象能力與生活經驗，於是能夠比較容易地敘述算式所表達的意義。即使少數同學語言表達有所欠缺，但是也能夠做到心領神會。
第壹個算式所表達的含義是：先算桃和梨壹***有多少個？然後桃與梨的個數，再加上蘋果的個數，最後壹***有多少個？第二個算式所表達的含義是：先算梨和蘋果壹***有多少個？然後再用桃的個數，加上梨和蘋果的總數，最後壹***是多少個？通過直觀想象，孩子不難發現：雖然他們算的順序有所不同，但是他們最終都是算了桃、梨和蘋果三種水果壹***有多少個？所以最後的結果壹定是相等的。在此教學過程當中，直觀想象能力起到了重要作用，同時也得到了進壹步的發展。
在此基礎上引入字母表示數。用式子：（a+b）+c=a+（b+c），表示加法結合律，清晰明了，表達準確。雖然之前壹至三年級從來沒有學習過用字母表示數，但是孩子們積累了壹定的生活經驗，對字母a、b、c也非常熟悉，只需要告訴孩子用字母代表數，進行簡單的符號意識訓練，於是孩子們就能夠理解式子所表達的含義。
在這壹教學過程當中，孩子的數學抽象能力得到兩次鍛煉及培養。首先是舍去情境，抽象出數字，從而用式子表示，用數學語言表達在此情境中所進行的數學運算與數學活動。其次，從具體的數字當中又抽象出字母。用含字母的式子來表示數量之間的壹種運算關系與運算順序。這種抽象已經脫離了具體的數字，字母可以代表任壹數字，而式子所表達的是數量之間的壹種恒定的運算關系，即某種運算律。孩子數學抽象素養在此得到了充分的訓練與發展。
二、邏輯推理和數學運算素養的培養
“數學運算”是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等。“邏輯推理”是指從壹些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的素養。主要包括兩類：壹類是從特殊到壹般的推理，推理形式主要有歸納、類比；另壹類是從壹般到特殊的推理，推理形式主要是演繹。數學運算也是壹種邏輯推理，數學運算為邏輯推理提供了壹種載體與操作方式。數學運算與邏輯推理，是在直觀想象與數學抽象的基礎上，對指向對象進行的壹種更高層次的數學思考與數學思維。
在加法結合律和乘法結合律的教學當中，數學運算能力可以得到很好的訓練與發展，同是也可以提高學生的數感能力。學習運算律，最終目的是提高運算能力，讓我們能夠盡可能進行簡便運算，提高數學運算素養。所以在此部分內容教學當中，數學運算素養的訓練可以得到淋漓盡致的展現。
例如教材52頁：怎樣計算簡便？想壹想，算壹算。
57+288+43=
在這壹題當中，就是要求學生要能夠敏銳地發現57和43相加剛好是100，這既是對學生數感的壹次訓練與培養，也是對學生進行數學運算素養的訓練。
又如教材54頁：怎樣計算簡便？想壹想，算壹算。
125×9×8=
在這壹題當中，同樣需要孩子觀察算式中運算符號和數的特點。通過這題的訓練，讓孩子明白，125×8等於1000，可以先算，有利簡便運算。在後續的訓練題當中，要讓孩子明白25×4等於100，50×2等於100，25×8等於200，125×4等於500。在這些訓練當中，孩子的數感得到增強，運算能力得到大幅度的提升。
在“加法交換律和乘法交換律”、“加法結合律”和“乘法結合律”三節教學內容安排中的第壹個環節，都是“觀察下面的式子，妳能照樣子再寫壹組嗎？說說妳發現了什麽。”在這壹環節教學過程當中，孩子的類比能力的培養，可以得到充分的訓練與培養。這是從特殊到特殊的邏輯推理。第二環節是借助情景或現實背景，理解式子成立的合理性與正確性。在第三環節當中，引入字母表示數，在數學抽象的基礎下，再次運用歸納推理，從特殊到壹般，將邏輯推理素養的訓練落到實處。
教材55頁第5題：淘氣是這樣計算24×25的。
24×25
= 6×4×25
= 6×（4×25）
= 6×100
= 600
（1）妳能看懂嗎？和同伴交流妳的想法。
（2）試著運用乘法交換律和乘法結合律進行計算下面各題。
64×125 125×25×32
這壹題是壹個能力提升題。短時間之內不壹定能做到每個人都會。但是這題對於培養學生的數學素養非常有用。第壹小題主要是考察學生的數感及數學運算素養。第二小題就是重點培養孩子的類比推理能力。在前面學習當中，當孩子有了125×8等於1000，25×4等於100的數感的前提條件下，然後再在已知運算題的類比推理下，發現第壹道題，64可以拆成8×8，並且8和125相乘，剛好是1000。第二道題，32可以拆成4×8，4和25相乘剛好是100，8和125相乘剛好是1000，問題迎刃而解。這是數學運算和邏輯推理素養訓練的最佳契機。
又如，在學習了“加法交換律和乘法交換律”之後，教材51頁有壹道題，“減法和除法也滿足交換律嗎？舉例試壹試。”雖然結果是不成立的，但是，這是孩子們進行類比推理的壹個良好契機，可以讓孩子進行充分類比，並且討論結果是否成立，引導孩子養成類比的習慣，形成善於思考的品質，提升數學素養。
三、數學建模和數 據 分析素養的 培養
“數據分析”是指針對研究對象獲取數據，運用統計方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關於研究對象知識的素養。主要包括：收集數據，整理數據，提取信息，構建模型，進行推斷，獲得結論。“數學建模”是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的素養。主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，求解結論，驗證結果並改進模型，最終解決實際問題。數學分析也是壹種數學建模，它為數學建模提供了更為基礎的素材與思維方式。數學分析的基礎，來源於直觀想象，數學抽象，數學運算，邏輯推理，同時也為數學建模鋪設了更好的平臺，最終讓我們學會用數學的語言來表達世界。
乘法分配律，在這五個運算律當中是最難掌握的壹個定律。教材以實際生活中的事例進行引入，通過兩種不同的觀測角度計算出壹***貼了多少塊瓷磚？讓學生領悟到不同的算式，只是不同的觀察角度，所帶來了不同的思維方式的呈現。而思維的最終結果是計算貼了多少塊瓷磚，所指向的目的是壹致的，是等值的。從而得出這樣的兩個式子相等。順而進行數學抽象和歸納推理，得出乘法分配律。為了讓這壹結果深入孩子心裏。教材引用了現實背景進行進壹步的驗證，並且進行了算理上的推導。這壹推導事實上是乘法分配律逆運算的推導。正如小學壹年級，學習減法是利用加法理解進行學習的。
乘法分配律的應用，更多的有賴於學生數據分析的素養。例如教材57頁：觀察34×72+34×28的特點並計算。
此題教學重點就是培養孩子的數據分析能力與素養。讓孩子通過觀察發現，兩個乘法算式中都有34。在此基礎上明白：表示72個34，加上28個34，壹***有100個34。通過數據分析，讓學生明白這個式子符合乘法分配律的特征：中間是加法，前後分別是乘法，並且在前後兩個乘法當中有壹個乘數是相同的，從而運用乘法分配律的逆運算進行計算。
再如教材58頁第5題：媽媽給淘氣訂了壹套可以自由組合的小櫃子，每個小櫃子18元，櫃門上每張貼畫2元，算壹算，這套小櫃子壹***花了多少元？
題目右側配圖6個小櫃子。按照慣常的分類思想，孩子們可以容易地列出算式：18×6+2×6。這壹算式的算理是非常簡單的，也是孩子們很容易接受的。在這壹題的教學當中，有必要培養孩子的數據分析素養。首先從算式的角度來看，兩個乘法中都有壹個相同數6。於是可以引導孩子通過乘法分配律，得出（18+2）×6。其次，可以引導孩子直接觀察圖。通過分析數據得出，每個小櫃子18元，櫃子上的貼畫2元，也就是說，每個小櫃子連同門上的貼畫壹***20元。壹***有6個這樣的櫃子。這樣的話可以直接得出算式：（18+2）×6。
在五個運算律當中，加法交換律和乘法交換律，由於孩子在過去的學習當中，有了充分的學習體驗。因此掌握起來沒有難度。加法結合律和乘法結合律的熟練運用，有賴於運算能力的提升，尤其是數感，發揮著重要的作用。“湊整”是思維的核心。乘法分配律掌握是有壹定難度的，需要壹定量的訓練。
在訓練到壹定程度的時候，可以讓孩子形成數學建模的思想。當然孩子沒必要了解建模的概念。當孩子面對壹個加法將兩個乘法算式連接起來的時候，要有壹個敏感度。當這兩個乘法算式當中，有壹個相同的乘數時，就滿足使用乘法分配律的條件，可以運用乘法分配律的逆運算進行簡便運算。
又如在教材58頁第6題：我們經常用豎式來計算多位數乘法。
（1）妳能結合乘法分配律解釋其中的道理嗎？
? 26×21
=26×（1+20）
=26×1+26×20
=26+520
=546
（2）嘗試運用乘法分配律計算下面各題。
58×11 ? 47×102
在這壹題的教學當中，可以引導孩子充分地體驗，對比，聯系，想象，從而建立壹種更高級形式的乘法分配律的模型。然後再把這種模型應用於兩數相乘的乘法算式當中。使原本需要列豎式解決的乘法算式，能夠直接采用乘法分配律通過遞等式計算，直接寫出答案，達到簡便運算的效果。例如： ? 47×102
=47×（100+2）
=47×100+47×2
=4700+94
=4794
數學建模，在各種數學核心素養裏面是層級最高的素養。數學素養與數學能力歷經直觀想象，數學抽象，數學運算，邏輯推理，數據分析，最終形成數學建模，達到數學素養的金字塔塔尖部分。數學建模形成之後，又利用這種素養，反觀我們的現實生活，指導與改善我們生活，在條件與機會允許的情況下，形成更高級的數學建模。從而讓我們形成用數學的眼光觀察世界，用數學的思維理解世界，用數學的語言表達世界的能力。