在制定數學課程標準的過程中，我們遇到了壹些音樂行業的專家。他們給我們講了很多音樂和數學的關系，以及數學在音樂中的應用。他們特別強調，在計算機和信息技術飛速發展的今天，音樂和數學的聯系更加緊密，樂理、作曲、音樂合成、電子音樂制作等都需要數學。他們還告訴我們，在音樂行業，壹些數學素養很好的音樂人對音樂的發展做出了重要貢獻。他們和我們都希望對音樂感興趣的同學學好數學，因為數學在未來的音樂生涯中會起到非常重要的作用。
《梁山伯與祝英臺》優美的旋律，琵琶的錚錚聲，貝多芬激動人心的交響樂，田野裏昆蟲的鳴叫……沈浸在這些美妙的音樂中時，妳是否覺得它們與數學息息相關？
事實上，人們對數學與音樂關系的研究和認識可以說是源遠流長。這可以追溯到公元前六世紀，畢達哥拉斯學派用比率[1]將數學和音樂聯系起來。他們不僅意識到撥弦產生的聲音與弦的長度密切相關，還發現了和聲與整數的關系。此外，還發現諧波是由同壹根長度為整數比的繃緊弦發出的。於是，勾股音階和調律理論誕生了，並在西方音樂界占據了統治地位。雖然c .托勒密(約100-165)對畢達哥拉斯音階的缺點進行了改革，得到了理想的純音階和相應的調律理論，但直到tempered音階和相應的調律理論的出現，畢達哥拉斯音階和調律理論的統治地位才被徹底動搖。在中國，第壹個完整的法學理論是三分損益法，大約是在春秋中期的關袁篇和陸春秋篇的旋律。明代的朱載(1536-1610)在他的音樂著作《律新論》中概述了十二平均律的計算方法。這是世界上第壹次討論十二平均律的理論，並精確計算出十二平均律，與今天的十二平均律壹模壹樣。因此，在古代，音樂的發展與數學密切相關。此後，隨著數學和音樂的不斷發展，人們對二者關系的認識和理解不斷加深。理性數學在感覺的音樂中處處閃爍。譜子的寫作差遠了。
看看鋼琴鍵盤，樂器之王，恰好也和斐波那契數列有關。我們知道，在鋼琴鍵盤上，從壹個鍵C到下壹個鍵C是音樂中的壹個八度音(如圖1)。其中，* * *包含13鍵，8個白鍵，5個黑鍵，5個黑鍵分為2組。
如果說鋼琴琴鍵上出現斐波那契數是巧合，那麽音樂中出現幾何級數絕不是偶然:1，2，3，4，5，6，7，I等音階都是由幾何級數定義的。看圖1，很明顯這個八度被黑鍵和白鍵分成12個半音。而且我們知道下壹個C調的振動頻率是第壹個C調的兩倍，因為除以2，所以這個除法是按照幾何級數來做的。我們可以很容易的找到分頻比X，顯然X滿足x12= 2。通過解這個方程，我們可以得到X是壹個無理數。大概是1106。所以我們說壹個半音的音高是那個音的1106倍，整個音的音高是那個音的11062倍。其實吉他裏面也有同樣的幾何級數[3]。
音樂中的數學變換。
數學有平移變換，音樂有平移變換嗎？我們可以通過兩個音樂小節找到答案[2]。很明顯，第壹小節的音符可以翻譯到第二小節，音樂中也會有翻譯，其實就是音樂中的重復。將兩個音節移動到直角坐標系中，如圖3所示。很明顯，這是數學中的翻譯。我們知道，作曲家創作音樂作品的目的是將內心的情感表達得淋漓盡致。而內心情感的表達是通過整首音樂來表達，並在主題處升華，音樂的主題有時會以某種形式反復出現。例如，圖4是西方音樂的主題，當聖徒進入時[2]。顯然，這首音樂的主題可以看作是翻譯。
如果我們在五線譜上取壹條合適的水平線作為時間軸(橫軸X)，取壹條垂直於時間軸的直線作為音高軸(縱軸Y)，那麽我們就在五線譜上建立了壹個時間-音高的平面直角坐標系。因此，圖4中的壹系列重復或平移可以用函數近似表示，如圖5所示，其中X為時間，Y為音高。當然，我們也可以及時投球。
這裏需要提到19世紀的壹位著名數學家，約瑟夫·傅立葉。正是他的努力，使人們對音樂本質的認識達到了頂峰。他證明了所有的音樂，無論是器樂還是聲樂，都可以用數學公式來表達和描述，而且這些數學公式是簡單的周期正弦函數的和[1]。
音樂中不僅有平移變換，還有其他變換及其組合，如反射變換等。圖6中的兩個音節是音樂中的反射變換[2]。如果我們還是從數學的角度來考慮坐標系中的這些音符，那麽它們在數學上的表達就是我們常見的反射變換，如圖7所示。同樣，我們可以用時距直角坐標系中的函數來近似表示這兩個音節。
從上面的分析可以看出，壹首樂曲可能是對壹些基本的曲子進行各種數學變換的結果。
自然音樂中的數學。
音樂與數學在自然界中的聯系更加神奇，這通常是大家都不知道的。比如蟋蟀的鳴叫，可以說是大自然的音樂，但我不知道蟋蟀鳴叫的頻率和溫度有很大的關系。我們可以用壹個線性函數來表示:c = 4t–160。其中c代表每分鐘蟋蟀鳴叫的次數，t代表溫度。根據這個公式，只要知道每分鐘蟋蟀鳴叫的次數，不用溫度計就能知道天氣的溫度！
理性數學中也有感性的音樂。
從壹幅三角函數圖像出發，我們只需要對它進行適當的分段，形成適當的分段，在曲線上選取適當的點作為音符的位置，就可以壹段壹段地進行音樂制作了。這樣，我們不僅可以像匈牙利作曲家貝拉·巴托克那樣用黃金分割作曲，也可以用純粹的函數圖像作曲。這是數學家約瑟夫·傅立葉的後繼工作。也是他工作的逆向過程。其中最典型的代表就是20世紀20年代哥倫比亞大學的數學和音樂教授JosephSchillinger。他曾在坐標紙上描繪出《紐約時報》的壹條起伏的商業曲線，然後將曲線的每壹個基本段按照恰當和諧的比例和音程轉化成音樂。最後，他用樂器演奏了這首曲子。結果他發現原來是壹首很美的曲子，和巴赫的音樂作品很像【教授甚至認為所有的音樂傑作都可以按照壹套準則轉化成數學公式。他的學生喬治·格什溫甚至創新創造了壹套用數學作曲的系統。據說他用這樣的系統創作了著名的歌劇《波吉與貝絲》。
所以我們說，數學在音樂中的出現，音樂在數學中的存在，不是偶然的，而是數學與音樂融合的反映。我們知道，音樂是通過演奏壹系列的音符來表現人對自然、對生活的情感或態度，即音樂表達人的感情，反映人自身的內心世界，對客觀世界的感受，所以用音樂來描述客觀世界。只是以感性或者更個人化的方式進行。數學以理性、抽象的方式描述世界，使人類對世界有客觀、科學的認識，並通過壹些簡單、優美、和諧的公式表達自然。所以可以說，數學和音樂都是用來描述世界的，但最終目的都是為了更好地服務於人類的生存和發展，所以都是用來描述世界的。
既然數學和音樂之間有如此奇妙的聯系，為什麽不沈浸在梁祝的優美旋律中，或者定居在昆蟲唧唧喳喳的田野裏，去思考數學和音樂之間的內在聯系呢？為什麽不讓我們滿懷信心地在琵琶的錚錚聲或激動人心的交響樂中繼續探索它們的內在聯系呢？
以上，我們提供了壹些數學和音樂相關的資料。如何將這些材料“加工”成“數學教育”的內容？我們提出幾個問題，供在壹線工作的教材編寫者和教師思考。
1)這樣的材料如何加工滲透到數學教學和教材中？
2)能否將這些材料編成壹份“科普報告”，在課外活動中，報告、調查、了解、思考這樣壹份報告對學生的影響，以及學生對這樣壹份報告的反應。
幾個世紀以來，音樂和數學壹直聯系在壹起。在中世紀，教育課程中包括算術、幾何、天文學和音樂。今天的新電腦使這種聯系持續不斷。
樂譜寫作是展示數學對音樂影響的第壹個重要領域。在音樂稿中，我們看到速度、節拍(4/4拍、3/4拍等。)、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符等。寫樂譜時確定每個小節中部分音符的數量類似於尋找公分母的過程——不同長度的音符必須適應壹拍中指定的小節。作曲家創作的音樂非常優美，毫不費力地融入到書面樂譜的緊密結構中。如果分析壹個完成的作品，可以看到每個小節使用不同長度的音符組成指定的拍子數。
音樂除了和數學有明顯的關系外，還和比例、指數曲線、周期函數、計算機科學有關系。
畢達哥拉斯學派(公元前585-400年)第壹個通過比例把音樂和數學聯系起來。他們意識到撥弦產生的聲音與弦的長短有關，從而發現了和聲與整數的關系。他們還發現，和聲是由長度為整數比的同壹根繃緊的弦發出的——事實上，撥弦的每壹種和諧組合都可以用整數比來表示。以整數比增加弦的長度可以產生整個音階。例如，從產生音符C的弦開始，C的長度16/15給出B，C的6/5給出A，C的4/3給出G，C的3/2給出F，C的8/5給出E，C的16/9給出D，C的2/66。
妳有沒有想過為什麽三角鋼琴被做成那樣的形狀？其實很多樂器的形狀和結構都和各種數學概念有關。指數函數和指數曲線就是這樣的概念。指數曲線由y = kx形式的方程描述，其中k > 0。壹個例子是y = 2x。其坐標圖如下。
無論是弦樂器還是帶氣柱的管樂器，它們的結構都體現出指數曲線的形狀。
19世紀的數學家約翰·傅立葉的工作將音樂特性的研究推向了高潮。他證明了所有的音樂聲音——器樂和聲樂——都可以用數學公式來描述，數學公式是簡單的周期正弦函數的總和。每種聲音都有三個屬性，即音高、音量和音質，這是它區別於其他音樂的特征。
傅立葉的發現使得聲音的這三個性質可以用圖形清楚地表達出來。音高與曲線的頻率有關，音量和音質分別與周期函數①的振幅和形狀有關。
如果妳不懂音樂的數學，妳就無法在計算機應用於音樂創作和樂器設計方面取得進步。數學發現，尤其是周期函數，在現代樂器設計和聲控計算機設計中至關重要。許多樂器制造商將他們產品的周期聲音曲線與這些樂器的理想曲線進行比較。電子音樂再現的保真度也與周期曲線密切相關。音樂家和數學家將繼續在音樂的生產和復制中扮演同樣重要的角色。
上圖顯示了壹根弦的分段振動和整體振動。最長的振動決定音高，較小的振動產生泛音。
①周期函數是以相等的間隔重復形狀的函數。