最近回到老家養生，逗逗雞遛遛狗看看小說，就沒怎麽更新，當然也沒怎麽學習，不知不覺都壹周了……嗯，這樣確實不太好，接下來會恢復更新的頻率，壹周兩三篇。由於就我壹個人寫，效率也不太高，還請諒解。
由於這幾天沒看消息，微信後臺有個同學拜托我找書，但超過48小時就無法回復了，qwq向這位朋友說壹聲抱歉，如果看到的話可以直接加我好友~其他想找書的同學也可以直接加我微信……畢竟如果不是網上可以找到的免費電子書，全國圖書館聯盟的書基本都是三元壹本，自己付費hhh……淘寶壹般收五元壹本，想來這兩元就是人工費了……所以不是我要收三塊錢，是人家網站要收三塊錢……
好的，廢話不多說，今天再講壹個評價類模型——模糊綜合評價模型。
事先聲明，我也是第壹次接觸這方面知識，可能無法很好地去解釋原理什麽的，應用的過程我會好好寫的。
（至於上壹篇文章說的熵權法還有壹個之前提到的灰色關聯分析，回頭我再補上）
首先來說明以下“模糊數學”，模糊數學是研究和處理模糊現象的壹種數學理論和方法。在實際生活中，有許多概念難以用確定性的集合去描述。例如“年輕”這個概念，是15 30歲屬於年輕呢，還是18 25屬於年輕呢？對於這種問題，每個人可能會有不同的看法，也很難給出精確的範圍，我們可以把它理解成壹種模糊的概念。
生活中常提到的大與小，長與短，美與醜等概念，都是壹種模糊的概念。其實還蠻好識別的，可以問問自己，多大算大？多小算小？多長算長？這種問題感覺有點兒擡杠似的，不過正是因為沒有壹個精確的範圍，我們只能發出這樣的疑問。與這種模糊概念相對應的，就是確定性概念了，例如性別，壹般而言不是男就是女，且基本有了準確的劃分依據；再比如身高，都是180，190這樣的測量結果，也是十分精確，並不會有太大歧義的。註意，“身高”是壹個確定性概念，而“高”就是壹個模糊性概念，大家自己想壹想hhh
模糊數學就是用來處理涉及模糊概念的問題，嘗試使用某種方法將模糊的概念量化，方便進行處理計算。模糊綜合評價，自然就是模糊數學在評價類問題的壹大應用了，也就是處理涉及模糊概念的評價類問題。
其實也可以發現了，評價類問題的核心之壹，就是把各種評價指標量化，再去加權啦求和啦等等，基本都差不太多，模糊綜合評價模型也是如此，理解以及實踐起來都不是太難。（此處僅指我接觸到的評價類模型，太高深的就不曉得了）
為了更好地解釋之後的模型，有必要介紹壹些模糊數學裏的相關概念。
首先回顧壹下經典的集合。我們在高中的時候就接觸了集合的概念：具有相同屬性的事物的集體。這種經典集合有壹些基本屬性，例如確定性，給定壹個集合，任給壹個元素，這個元素要麽屬於，要麽不屬於這個集合，不存在第三種情況。
在模糊綜合評價模型中，我們不用這種經典的集合，因為我們要處理的是模糊概念，所以需要使用模糊集合。模糊集合是用來描述模糊性概念的集合，它與經典集合的區別之壹是，模糊集合不具備確定性。例如35歲，我們既可以認為它“年輕”，也可以認為它是“中年”，並沒有壹個精確的界定。
因此，我們不像傳統集合那樣，壹個元素要麽屬於壹個集合，要麽不屬於。我們使用“隸屬度”來表示元素與模糊集合之間的關系，也就是元素隸屬於模糊集合的程度。談到隸屬度，就有必要提到隸屬函數，這是壹個很重要的概念。簡單而言，隸屬函數就是隸屬度對各個元素的函數，定義域是我們所研究的元素，函數值就是隸屬度。隸屬度的範圍是 ，其值越大，就代表越屬於這個集合。（隸屬函數內實際上不是按定義域值域去描述的，這裏只是方便理解qwq）
舉壹個簡單的例子。我們要衡量“年輕”這個概念，不好直接在0-150歲之間畫壹條線，把年輕和不年輕區分開。因此對於0-150之間的每壹個整數年齡，我們給定壹個相應的值，也就是隸屬度，來判斷它與“年輕”這個集合的關系。為了更方便的給出這樣的值，就設計了以我們想要研究的元素——這裏是0-150之間的整數——為定義域的函數，隸屬函數。該隸屬函數 定義如下。
其中A代表模糊集合，在這裏即是“年輕”這個集合，x代表集合中的元素，即0-150之間的年齡，我們可以畫出函數圖像。
可以發現，當年齡小於20時，相應的隸屬度為1，即我們認為小於20歲壹定屬於年輕的範疇；當年齡在20到40之間時，隸屬度隨著年齡的增大而逐漸變小；當年齡大於40時，我們認為其基本脫離了年輕的範疇，隸屬度也全部為0。如果壹個人30歲，我們無法認定他是否年輕，但我們使用0.5這個隸屬度，認為30歲有50%的程度，屬於年輕的範疇，也有50%的程度不屬於年輕的範疇。0.5衡量了30歲這個年齡屬於年輕這個集合的程度，表達了30歲和“年輕”之間的關系。
我們也可以從概率的角度去理解隸屬度，實際生活中隸屬度的確定，也往往是通過調查來實現。例如問100個人，30歲是不是年輕，如果有40個人回答是，其隸屬度就可以確定為 ，當調查的總數越大，這壹值就越趨近於真正的隸屬度。是不是很像“頻率趨近於概率”呢？至於上面的隸屬函數，只是為了方便理解隨意構造出來的，並不等同於真實的調查結果，但是依然反映了構造者的主觀想法。事實上，隸屬函數也不是唯壹的，不同的人，不同大小的樣本，得出的隸屬函數很可能是不同的。
嗯，基本的概念，也就是模糊集合，隸屬函數，隸屬度到此已普及完畢，由於我也接觸沒多久，可能講得不太清楚準確。簡單來說，我理解的隸屬度，就是元素屬於某個模糊集合的程度，而隸屬函數就是用來確定隸屬度的函數，就這樣。倒也不必太多糾結，不影響後面的具體應用即可。
壹般來說，模糊集合主要有三類，分別為偏小型，中間型和偏大型。其實也就類似於TOPSIS方法中的極大型、極小型、中間型、區間型指標，並沒有什麽特別的。舉個例子，“年輕”就是壹個偏小型的模糊集合，因為歲數越小，隸屬度越大，就越“年輕”；“年老”則是壹個偏大型的模糊集合，歲數越大，隸屬度越大，越“年老”；而“中年”則是壹個中間型集合，歲數只有處在某個中間的範圍，隸屬度才越大。總結來說，就是考慮“元素”與“隸屬度”的關系，再類比壹下，就是考慮隸屬函數的單調性。下圖可以代表“年輕”、“中年”、“年老”這三個模糊集合的隸屬函數圖像，看壹下就懂我的意思啦。
為什麽要知道模糊集合的分類呢？因為在模糊綜合評價模型中，需要確定相應的模糊概念屬於偏大型還是偏小型還是中間型，之後再采用相應的隸屬函數，才能求出合適的隸屬度。再次註意，不管模糊集合是哪壹種類型，隸屬度越大，屬於這個集合的程度也越大，記住了嗎？
以上只是常見的三種，其實想壹想就知道，應該有蠻多形狀的，只要壹個元素對應壹個隸屬度，且範圍在 之間即可。上述三種只是比較常見的三種，也是評價類問題常涉及的模糊集合類型。
當然啦，可能還有壹些疑問，例如對於“年輕”，“年老”這種集合，我們把歲數當成了我們研究的元素，歲數是可以量化為數字的。類似的，快與慢這種模糊概念可以使用速度量化，深與淺可以使用深度量化等等。那，美與醜，使用啥子來量化呢？這個我也不曉得……想來沒有壹個常見的變量可以用來量化美與醜，壹般的評價類模型中，應該也不會涉及到這種比較坑的問題吧（不會吧不會吧）。感興趣的還是自行查閱吧……
確定隸屬函數，其實也就是給定壹個模糊集合，之後再通過某些方法，給出我們需要研究的元素相對於該模糊集合的隸屬度。例如對於“年輕”這個模糊集合，我們就要想辦法去確定0歲-150歲之間每個歲數相對於“年輕”集合的隸屬度，畫出圖像，便是隸屬函數的圖像了。
具體有三種方法來確定隸屬函數。
1.模糊統計法
模糊統計法的原理是，找多個人對同壹個模糊概念進行描述，用隸屬頻率去定義隸屬度。類似於求概率時，我們可以用頻率趨近於概率。例子我們上文提到過，我們想知道30歲相對於“年輕”的隸屬度，那就找來 個人問壹問，如果其中有 個人認為30歲屬於“年輕”的範疇，那 就可以用來作為30歲相對於“年輕”的隸屬度。 越大時，這壹估計越符合實際情況，也就越準確。其他的歲數也照這個方法去問，就能畫出壹個函數圖像啦。
嗯，這個方法比較符合實際情況，但是往往通過發放問卷或者其他手段進行調查，數學建模比賽時，時間可能不太夠吧，所以僅做介紹，基本不予采用。（不過現在淘寶填問卷還蠻快的，有錢真好）
2.借助已有的客觀尺度
對於某些模糊集合，我們可以用已經有的指標去作為元素的隸屬度。例如對於“小康家庭”這個模糊集合，我們想確定100戶家庭的隸屬度，那就可以用“恩格爾系數”衡量相應的隸屬度。恩格爾系數=食品支出總額/家庭總支出，顯而易見，家庭越接近小康水平，其恩格爾系數應該越低，那“1-恩格爾系數”就越大，我們便可以把“1-恩格爾系數”看作家庭相對於“小康家庭”的隸屬度。不過這只是打個比方，畢竟對於富豪家庭，恩格爾系數很小，隸屬度很大，但是富豪家庭是不是“小康家庭”，還是有待商榷的。
類似的，對於“設備完好”這壹模糊集合，我們可以使用設備完好率來衡量隸屬度，對於“質量穩定”這壹模糊集合，我們可以使用正品率衡量隸屬度。遇到問題的時候可以先百度壹下，指不定就找到了壹個好的指標。
不過要註意，隸屬度是在 之間的，因此尋找指標的時候，也要註意在 之間。不在的話，可以進行歸壹化處理，之前提到過的。
這種方法建模中可以使用，看具體題目而定啦
3.指派法
這是壹個主觀性比較強的方法，即憑主觀意願，在確定模糊集合的所屬分類後，給它指派壹個隸屬函數，得到元素的隸屬度。聽上去就很主觀，但也是比賽中最常用的方法之壹，只需進行選擇，便可輕輕松松得到隸屬函數。
我把常用的函數形式貼在下面。
圖片可能不是很清楚，但基本可以看出，對於偏小型模糊集合，隸屬函數總體上遞減，也就是元素的某個特征越大，隸屬度越小；對於偏大型集合，隸屬函數總體上遞增，也就是元素的某個特征越大，隸屬度越大；對於中間型集合，隸屬函數總體上先遞增後遞減，中間壹部分或是某個點取到最大值。
實際建模比賽中，為了計算方便，最常使用的是梯形分布式隸屬函數（我聽的課是這麽說的）。當然啦，具體問題還是要具體分析，隸屬函數平滑壹點，陡峭壹點，中間壹部分還是壹個點取極值，都要根據具體的情況去抉擇，但總體上就是這麽回事了。
再看壹眼梯形分布式的隸屬函數圖像。
以上就是確定隸屬函數的幾種方法了。還有壹些其他的方法，比如德爾菲法，二元對比排序法，綜合加權法等等，有興趣可以自己查閱。
鋪墊了這麽久，總算可以用這個方法進行解題啦。
首先我們還是要引入幾個概念。
舉個例子說明，如果我們要評價壹名學生的表現，按照之前提到的層次分析法或者TOPSIS法，都是找到指標後進行壹個綜合的打分，往往是用來比較多名同學的表現，給出排名。上述的評價指標，其實就對應著這裏的因素集。我們可以令 ，使用因素集類的四個指標來評價壹名學生的綜合表現。
評語集，即是相應對象的評價結果，類似於上面提到的“打分結果”。不同之處在於，評語集並非是分數的集合，而是由模糊概念組成的評語。例如評定學生的表現，我們就可以把評語集設定為 。評語集中的這三個評語，都是模糊的概念，不過在處理具體問題時，我們也可以把方案放在評語集中，以選擇最佳的方案。
權重集，就是妳想的那個權重，給每個指標進行賦權，用來進行綜合評價，就不多說了。在這裏，我們可以取權重集 ，作為因素集中四個指標的權重。
那模糊綜合評價模型解決的是什麽問題呢？嗯，其實就是給定對象，用因素集的指標壹番評價之後，從評語集中找到壹個最適合它的評語。如果評語集中是方案的話，就是選出壹個最恰當的方案。那這種“合適”用什麽來衡量呢？顯而易見嘛，就是隸屬度，隸屬於某個模糊集合的程度。
ok，舉例概括壹下，我們現在有壹個學生，有壹個因素集 ，有壹個權重集 ，有壹個評語集 。我們的目的就是壹番操作之後，給學生壹個合適的評語。明白了吧~
壹級模糊綜合評價模型，也就是因素集中的評價指標只有壹層，不存在壹層又嵌套壹層的情況，也是最基本的情況。
解決這種問題，主要分為這麽幾步。
嗯，到此為止，我們已經學會了壹級模糊綜合評價的解題步驟。那應該也意識到了，最重要的就是明確判斷矩陣和權重向量，兩個壹乘，綜合隸屬度向量就出來了，選擇最大的就是。權重向量之前已經說過，那判斷矩陣，或者說判斷矩陣中的 個隸屬度，怎麽求呢？上面也提到了確定隸屬函數的方法。有了隸屬函數，隸屬度也就可以求出來了。實際建模中，我們常常使用“指派法”，指定壹個符合實際問題的隸屬函數，使用其他方法也是可以滴。只要知道判斷矩陣和權重向量，評價問題就基本解決了。
其實解題步驟還蠻簡單的吧，只不過前面鋪墊的太多，所以我寫的也比較多，真做起來倒也不是很復雜。下面我就找壹個中國大學MOOC上的例子，展示壹下解題過程。嗯，全部手打太浪費時間，我就貼圖啦。
這個是題目，也就是給出了汙染物的濃度以及每個汙染物在空氣質量等級評定時的權重，讓我們確定這壹天的空氣質量等級。
下圖是評價標準。
汙染物的濃度就是本題的因素集，空氣質量的四個等級就是評語集，也是壹種模糊概念。例如當TSP的濃度為0.20時，我們無法確定單從TSP的角度，空氣質量等級是壹級還是二級，但我們可以確定相對於每個等級的隸屬度。
隸屬度如何確認呢？這裏我們可以使用指派法，指定四個模糊集合的隸屬函數，采用最常用也比較符合題意得梯形分布式隸屬函數。可以發現，“壹級”應該是壹個偏小型的模糊概念，即汙染物濃度越低，隸屬於“壹級”的程度越大；“二級”和“三級”應該是中間型的概念，汙染物濃度處於中間的某個範圍時，相應的隸屬度越大；“四級”是個偏大型概念，汙染物濃度越大，隸屬於“四級”的程度也越大。我們確定了評語集中模糊概念的類型後，就可以給出相應的梯形分布隸屬函數了。如下圖。
這裏 對應的就是上表中每個汙染物濃度恰好在壹二三四這四個等級時的數值。從隸屬函數的角度來看，當汙染物濃度等於這表中的數值時，相對於相應空氣質量等級的隸屬度剛好為1。應該不是很難理解，想壹想就大概明白了。
確定了隸屬函數，直接把這壹天的每個汙染物的濃度帶進隸屬函數，就可以求出隸屬度，得到判斷矩陣了。
有了判斷矩陣，也有了權重向量，就可以直接計算綜合隸屬度向量 啦。
顯而易見，這壹天的空氣質量隸屬於二級的程度最大，所以我們認為這壹天空氣質量等級為二級。
嗯，例題也講好了。大家可以去中國大學MOOC上搜華中農業大學的數學建模課，裏面有模糊綜合評價更加詳細的講解。這個例題也來自該課程。嗯，還有其他的建模方法。
多級模糊綜合評價，其實就相當於多了幾層因素集。例如我們同時要處理20個評價指標，確定權重會比較麻煩，那我們就可以把20個指標分為四類，在每個類之內確定壹次指標的權重，之後再確定四個大類的權重。這樣子就會比較方便。如果有很多指標，就可以多嵌幾層，也就是多級模糊綜合評價了。
看上圖這個學生評價模型，就是壹個二級的綜合評價模型，指標後面的數字代表在相應那壹層的權重。這個時候我們如何確定判斷矩陣呢？肯定是不能壹上來就確定第壹層的判斷矩陣，需要從最後壹層，壹步壹步推上來。
例如我們考察學習成績這壹指標對應的隸屬度向量時，就需要先考察它的下壹層指標，也就是專業課成績和非專業課成績這兩個指標。例如Z同學專業課成績是90，那從這壹指標來看，Z同學的隸屬度向量是 ，評語集還是“優秀、良好、差”。之後再看看非專業課成績，得到壹個隸屬度向量 。我們用這兩個向量，就可以構造出壹個矩陣 ，這是壹個 矩陣，代表著學習成績這壹指標下兩個二級指標組成的判斷矩陣。那如何得到學習成績這個壹級指標相對於評語集的隸屬度向量呢？很簡單呀，不是有權重向量 了嗎。我們用 ，就可以得到壹個 的向量，自然就是從學習成績這壹指標來看，Z同學相對於評語集的隸屬度向量了。嗯，拆開了看，就是把兩個二級指標的隸屬度加權求和罷了，應該不難理解。
類似的，求出其他壹級指標的隸屬度向量，組成壹級指標的判斷矩陣，再加權壹次，就可以得到綜合隸屬度向量了。
嗯，其實就是先得到 級指標的判斷矩陣，得到 級指標的隸屬度向量，再用 級指標的隸屬度向量組成判斷矩陣，得到 級指標的隸屬度向量……以此類推，得到壹級指標的隸屬度向量，也就是用來綜合評價的隸屬度向量了。
嗯，講完啦~
至於局限性就不說了，知道使用的條件也就行了，我也不知道說些什麽，那就這樣，下次再見~
對了對了，最後提醒壹下，如果想要代找pdf，就是類似於淘寶上的業務，直接在公眾號推文裏的留言小程序留言即可，也可以加我微信。後臺回復的話，如果沒能及時看到，48小時後就無法回復了。嗯，不收人工費，網站那三塊錢得自己付。
以上。