黎曼zeta函數公式：ζ(s)=∑n=1∞1ns\zeta(s)=\sum。
黎曼ζ函數主要和“最純”的數學領域數論相關，它也出現在應用統計學和齊夫-曼德爾布羅特定律（Zipf-Mandelbrot Law））、物理，以及調音的數學理論中。
在區域{s:Re(s)>1}上，此無窮級數收斂並為壹全純函數（其中Re表示復數的實部，下同）。歐拉在1740考慮過s為正整數的情況，後來切比雪夫拓展到s>1。波恩哈德·黎曼認識到：ζ函數可以通過解析開拓來擴展到壹個定義在復數域（s,s≠1）上的全純函數ζ（s）。這也是黎曼猜想所研究的函數。
黎曼函數定義在[0,1]上，其基本定義是：R(x)=1/q，當x=p/q(p,q都屬於正整數，p/q為既約真分數)；R(x)=0，當x=0，1和(0,1)內的無理數。
黎曼ζ函數ζ（s）的定義如下： 設壹復數s，其實數部分> 1而且：
它亦可以用積分定義：
在區域{s: Re(s) > 1}上，此無窮級數收斂並為壹全純函數（其中Re表示復數的實部，下同）。歐拉在1740考慮過s為正整數的情況，後來切比雪夫拓展到s>1。波恩哈德·黎曼認識到：ζ函數可以通過解析開拓來擴展到壹個定義在復數域（s,s≠ 1）上的全純函數ζ（s）。這也是黎曼猜想所研究的函數。