解析:
在直角三角形中，若以a、b表示兩條直角邊，c表示斜邊，勾股定理可以表述為a2+b2=c2。
滿足這個等式的正整數a、b、c叫做壹組勾股數。
例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等壹組壹組的數，每壹組都能滿足a2+b2=c2，因此它們都是勾股數組（其中3、4、5是最簡單的壹組勾股數）。顯然，若直角三角形的邊長都為正整數，則這三個數便構成壹組勾股數；反之，每壹組勾股數都能確定壹個邊長是正整數的直角三角形。因此，掌握確定勾股數組的方法對研究直角三角形具有重要意義。
1．任取兩個正整數m、n，使2mn是壹個完全平方數，那麽
c=2+9+6=17。
則8、15、17便是壹組勾股數。
證明：
∴a、b、c構成壹組勾股數
2．任取兩個正整數m、n、(m＞n)，那麽
a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2構成壹組勾股數。
例如：當m=4，n=3時，
a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25
則7、24、25便是壹組勾股數。
證明：
∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2
=m4-2m2n2+n4+4m2n2
=m4+2m2n2+4n2
=(m2+n2)2
=c2
∴a、b、c構成壹組勾股數。
3．若勾股數組中的某壹個數已經確定，可用如下的方法確定另外兩個數。
首先觀察已知數是奇數還是偶數。
(1)若是大於1的奇數，把它平方後拆成相鄰的兩個整數，那麽奇數與這兩個整數構成壹組勾股數。
例如9是勾股數中的壹個數，
那麽9、40、41便是壹組勾股數。
證明：設大於1的奇數為2n+1，那麽把它平方後拆成相鄰的兩個整數為
(2)若是大於2的偶數，把它除以2後再平方，然後把這個平方數分別減1，加1所得到的兩個整數和這個偶數構成壹組勾股數。
例如8是勾股數組中的壹個數。
那麽8、15，17便是壹組勾股數。
證明：設大於2的偶數2n，那麽把這個偶數除以2後再平方，然後把這個平方數分別減1，加1所得的兩個整數為n2-1和n2+1
∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1
=n4+2n2+1
=(n2+1)2
∴2n、n2-1、n2+1構成壹組勾股數。