(1)函數的傳統定義：設在某變化過程中有兩個變量x、y，如果對於x在某壹範圍內的每壹個確定的值，y都有唯壹確定的值與它對應，那麽就稱y是x的函數，x叫做自變量.
(2)函數的近代定義：設A，B都是非空的數的集合，f:x→y是從A到B的壹個對應法則，那麽從A到B的映射f:A→B就叫做函數，記作y＝f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函數f(x)的定義域，象集合C叫做函數f(x)的值域.
上述兩個定義實質上是壹致的，只不過傳統定義是從運動變化的觀點出發，而近代定義是從集合、映射的觀點出發，側重點不同.函數實質上是從集合A到集合B的壹個特殊的映射，其特殊性在於集合A、B都是非空數集.自變量的取值集合叫做函數的定義域，函數值的集合C叫做函數的值域.
這裏應該註意的是，值域C並不壹定等於集合B，而只能說C是B的壹個子集.
2.函數的三要素
定義域A，值域C以及從A到C的對應法則f，稱為函數的三要素.由於值域可由定義域和對應法則唯壹確定，所以也可以說函數有兩要素：定義域和對應法則.兩個函數當且僅當定義域與對應法則分別相同時，才是同壹函數.函數表示每個輸入值對應唯壹輸出值的壹種對應關系。函數f中對應輸入值x的輸出值的標準符號為f(x)。包含某個函數所有的輸入值的集合被稱作這個函數的定義域，包含所有的輸出值的集合被稱作值域。若先定義映射的概念，可以簡單定義函數為，定義在非空數集之間的映射稱為函數，函數是壹種特殊映射。