目錄
1 工作：廣博精深
2 作為導師和教育家的為人和風格
3 修身齊家：作為子女、丈夫、父輩
4 柯爾莫哥洛夫和其他同輩理論家的交集
5 柯爾莫哥洛夫中學
6 致謝
7 參考文獻/進壹步閱讀材料
數學大師柯爾莫哥洛夫是壹個高尚、厚道的好人，“不修邊幅的溫厚的君子形象”（伊藤清語）。他不是希爾伯特（柯爾莫哥洛夫非常崇敬）那種緩慢型天才，而是聰敏中的最敏捷的那種。他的學生、Wolf獎得主Sinai：“…his enormous intellectual power and great energy…”。他是壹個充滿個人魅力的導師，培養了約70位博士，包括著名的蓋爾方德、西奈、阿諾爾德、Levin（因NP獲圖靈獎；另外快排的發明人、圖靈獎得主Hoare也曾是柯老的聯合培養學生）、 奧布霍夫、莫寧等大師級別的學生，超過20位成了院士。
60年代中期開始（寫完Kolmogorov complexity那篇文章左右），柯爾莫哥洛夫把精力和心血主要貢獻給了數學教育，創辦了著名的柯爾莫哥洛夫中學，親自編寫教材、授課（每周達到26小時），挖掘培養了大批高手，多人已成了院士，解決龐加萊猜想的佩雷爾曼就是這裏的畢業生。
記得前幾年看過壹本小冊子，丁玖老師在《混沌分形漫談》壹書中，把柯爾莫哥洛夫與我國的孔子相比。的確，他們都有若幹位偉大的學生，幾十位傑出的學生，成千上萬受其教誨和影響的其他學生，都創辦學校取得了成功。另外還有壹點：都有非常強壯的體魄，戰鬥力驚人。
眾所周知，柯爾莫哥洛夫研究領域寬廣，幾乎遍及壹切數學領域（恰恰沒有華羅庚先生最喜歡的數論），包括：概率論及隨機過程、數理統計及其應用、泛函分析、拓撲、微分方程、湍流理論、動力系統與經典力學、信息論、混沌、函數的距離理論、描述集合論、數理邏輯與數學基礎、(武器的)火力理論、演算學與自動機、函數論、近似理論、算法概率論、遍歷論、詩韻中的統計學等。他在這些領域的研究成果不僅被應用於數學本身的發展和開辟新的領域，而且在物理、 化學、生物、地球物理大氣物理、冶金學、晶體學、機器學習神經網絡等等學科中都有極重要的應用。如果壹個研究方向不夠壹些人口中的“高大上”，柯爾莫哥洛夫就可以憑壹人之力把該領域脫胎換骨成體面的學科，並建立壹個學派，帶領其他人去播種、收獲、擴建。
列壹個表格，來感受壹下什麽叫廣博精深：
要了解柯爾莫哥洛夫的工作，那麽可以打開springer出版的三卷選集：第壹卷《數學與力學》，致力於確定性現象；第二卷《概率論與數理統計》，涉及隨機過程與混沌現象；第三卷《信息論與算法論》，其基本思想是：序和隨機及混沌之間並無明確界限。物理系背景的，可以看看為了紀念柯爾莫哥洛夫百年誕辰出版的Kolmogorov's Heritage in Physics。其中Self-Similar Random Fields: From Kolmogorov to Renormalization Group 討論了柯爾莫哥洛夫在動力系統方面的遺產對重整化群的影響。（Sinai：”Sometimes it is stressed that the powerful renormalization group method in statistical physics and quantum field theory that is based upon the idea of scale invariance has as one of its roots the Kolmogorov theory of turbulence ”）
業余看過很多科學家的回憶錄，以及在博士期間的無數茶歇和組會中，從幾位導師那裏聽到了更多的理論家的故事：有很多是高尚的導師，也有像父親壹般關懷弟子成長的，但我仍覺得柯爾莫戈洛夫與學生們之間的友愛溫馨是老師-朋友-父親的最佳疊加。
在柯大師的幾十位學生中，現有超過20位成為了俄羅斯/蘇聯科學院的院士。
蓋爾方德院士（Galfand，巨人級別，沃爾夫獎）：“數學是壹個整體，這是科爾莫哥洛夫老師教給我的……數學仍能夠被看成壹個整體，這很大程度上歸功於科爾莫哥洛夫。”
西奈院士（Sinai ，1956級，沃爾夫獎)回憶自己與老師Kolmogorov 1959年的壹次旅行（還有同壹級的Shiryaev（院士））：“……我們徒步行進了30公裏，我問Andrei他是否累了，他回答說如果有點吃的，他可以再來壹遍（當時柯爾莫哥洛夫56歲！）……我們之間的年齡差完全沒有體現出來。好像我們在與同齡人旅行，只不過更有經驗和充滿好奇心。……當我們沿著大峽谷行進時，Kolmogorov教我們在山間水畔潛水。不久前，Alik Shiryaev成為了Kolmogorov在斯泰克洛夫研究所的同事。站在水邊，Andrei對Alik說（當然是開玩笑）：跳進去，Alik，要不然我就炒了妳。”
Sinai: “[KAM的工作中] 柯爾莫戈洛夫引入 quasi-regular 系統的概念，現在大家都稱之為K-system。其實有段時間內，大家是用Kolmogorov system這個稱呼的。但Kolmogorov自己倡導K-system這個簡稱。這是柯爾莫戈洛夫偉大的謙遜的例子之壹，俄語中quasi-system拼寫的首字母是K。”
Dynkin（1945級，後期到了美國，美國科學院院士）：“柯爾莫戈洛夫從來不在人面前說任何人的哪怕壹句壞話。”
阿諾爾德（院士，沃爾夫獎)：“想聽懂柯爾莫戈洛夫老師的課簡直是不可能的，但它們充滿了奇思妙想。”
阿諾爾德回憶KAM：“當Kolmogorov建議我自己選個題目時，我想壹定要選壹個跟他的工作完全正交的領域。這是非常困難的，因為他的工作涉及那麽廣博的領域。……我對著23個HIlbert問題，壹個壹個整理到筆記本上。其中第16問題，… If you write the Fourier series for the mapping of a circle equivalent to a rotation, you immediately get the problem of resonances and the small denominator problem for the rotation number…此時，Kolmogorov剛好在莫斯科大學開設了壹門講授哈密頓系統小分母技巧的課程，後來發展成現在的KAM理論。所以，我想自己完全獨立做題目的嘗試是徹底失敗了（so my attempt to invent something independent was completely unsuccessful ）。”
阿諾爾德評價柯爾莫戈洛夫作為系主任和導師：
”柯爾莫戈洛夫老師度過了偉大而幸福的壹生。
柯爾莫戈洛夫、龐加萊、高斯、歐拉、牛頓：五代人將我們與科學黎明時代分開來。
普希金曾經說過，盡管方式完全懸殊，但他對年輕人和俄羅斯民間文化的影響比整個教育部的影響更大。 柯爾莫戈洛夫對數學也有同樣的影響。
我在學生時代就認識了安德烈·尼古拉耶維奇。 他當時是莫斯科大學數學與力學系的主任。 那時正是數力系和俄羅斯數學的全盛時期。 柯爾莫戈洛夫和Petrovskii院士的領導的首要的，數力系因此達到了以前從未達到過的強盛，以後也很難再達到了 。“
Nikolsky院士（柯大師早年的學生）：“我想，[科爾莫哥洛夫]所有的學生都會因為被這個偉大的數學家帶到壹起來而感到幸運，他又是如此秉持和看重不裝腔作勢、同情、公正。“
格涅堅科院士（Gnedenko）回憶說：“對於柯爾莫哥洛夫的所有學生來說，與柯爾莫哥洛夫壹起做研究的歲月是終生難忘的，最令人難以忘懷的是每個周日的郊遊，柯爾莫哥洛夫邀請他所有的學生（研究生或本科生）以及別的導師的學生前來參加郊遊活動，在郊遊的過程中，我們討論當前的數學（及其應用）問題，還有壹些有關繪畫、建築和文學方面的問題。”
Nikolsky院士回憶起柯大師在衛國戰爭（德軍壓境，人們從莫斯科撤離到喀山，湍流的工作就是在喀山時期完成的）的壹件事：”1941年8月，衛國戰爭開始後不久，我被派出莫斯科，前往馬洛亞羅斯拉夫以西，挖掘壹個從北向南延伸數百公裏的坦克防禦。全然不知自己的命運將往何處，就在離開之際，我通過學院秘書向柯爾莫戈洛夫提交了壹些關於我博士答辯的材料。但不幸的是，德國人在10月初突破了我們的坦克防禦，有關坦克的工作停止了，我最終來留在了莫斯科。數學研究所的壹些成員還在，還沒有完成撤離，柯爾莫戈洛夫當時也在莫斯科。但10月16日爆發了恐慌：人們認為德國人將馬上攻陷這座城市。我得知柯爾莫戈洛夫和我們的主任Sobolev院士在前壹天晚上匆匆離開了莫斯科：10月15日晚上，他們接到壹個電話，通知他們必須立即前往Pavelets站，只攜帶隨身行李--壹列專列正等著將他們從莫斯科送到喀山（Kazan）。十月下旬，Anatolii Ivanovich（58年當選為蘇聯科學院院士）和我也來到了喀山。
在喀山的第壹次會議上，老師邀請我晚上到他家喝茶。他和他的朋友亞歷山德羅夫院士、姨媽維拉在壹個擁擠的地方住著，房間的壹角被兩個書架區分開來用於研究：許多偉大的發現正是誕生在這個書架後面的角落裏，並在各國學術機構的特別收藏中永垂不朽。那天老師喝完茶，走到書架後面，回來——妳們猜——居然帶著我的手稿，這讓我感動不已。他說這些材料完全足以寫成壹篇博士論文，並建議我中斷手頭的博士研究開始準備答辯（我本打算再讀兩年），--當時正逢戰亂，這件事更顯得難能可貴。不僅如此，老師對Anatolii Ivanovich隨後也說過類似的話。兩個月後，我們倆順利完成了博士論文答辯。
然而回想起來，在這艱難的歲月中，最讓我難以忘懷的，是10月15日那個難過的晚上，老師匆匆離開了他在莫斯科的家時，不忘把我的論文初稿放進他的行李箱，他本可以在那裏多放壹條暖褲的——許多人都是這麽做的。而這也僅僅只是柯爾莫戈洛夫對學生溫暖的人道主義關切的壹個例子。我們所有人（並不在少數），都將終生銘記我們的老師（our Teacher），直到生命的盡頭。”
A. G. Vitushkin院士（是壹位盲人數學家，柯老的博士生）描述他在初識柯大師時：“我問柯爾莫哥洛夫我的兩篇文章能投給 Doklady 雜誌 嗎。剛聽完結果的形式後，柯爾莫哥洛夫慣常的“嗯…”著沈思了壹下，然後說“結果是對的，我知道如何推導了。”啊！我簡直有點喪氣。亞歷山大洛夫院士也恰巧在壹旁，他安慰我說“別灰心，柯爾莫哥洛夫只是什麽都知道。壹周後我去問柯爾莫戈洛夫的決定，又驚訝了：他已經逐字逐句幫我改了，並且在打字機上敲了壹份。 ”
Yaglom院士（柯大師戰前的博士生，湍流方向）：“由於我也是柯爾莫哥洛夫的學生，蓋爾範德經常問我同壹個問題“我和柯爾莫哥洛夫誰是更偉大的數學家？”我要麽回答“柯爾莫哥洛夫”，要麽說“妳給的集合（蓋爾方德，柯爾莫哥洛夫）是部分有序的，但不是完全有序的”。蓋爾方德當然是壹位數學巨人，但柯爾莫哥洛夫更加強大。”
科爾莫哥洛夫是溫暖的、關懷的，但也是鞭策的。Shireyaev院士寫道：” Students of Kolmogorov, and they are numerous indeed, stated on several occasions how lucky they were to be his pupils. However, they always added that it also was a huge responsibility. There was constant pressure to get as much as possible done so that during the next meeting with Kolmogorov they would be able to tell him about their progress. One of my friends characterized his attitude about Kolmogorov as "panicked respect.“
柯爾莫戈洛夫的名字安德烈·尼古拉耶維奇，是沿用了《戰爭與和平》安德烈·尼古拉耶維奇·寶爾康斯基公爵的名字——這是她母親的遺願（逝於難產），柯爾莫戈洛夫的姥爺家其實也是貴族。柯爾莫戈洛夫的兩位姨媽收養了他。尤其是維拉姨媽，愛他視如己出，並終生未婚。柯爾莫戈洛夫也把她視為自己的母親，讓她感到驕傲、並孝敬、陪伴她直至養老送終（維拉姨媽在87歲老去）。
順便提壹句關於柯爾莫戈洛夫壹件有趣的事：天生是左撇子，小時候開始練習右手，最終兩只手都可以從事書寫等精細活動。
1910年，維拉·雅科夫列夫娜（Vera Yakovlevna）和她的養子搬到了莫斯科，在那裏，安德烈·尼古拉耶維奇加入了私立的Repman預科小學（在十月革命後更名為第23級小學）。 柯爾莫哥洛夫多次提起過這所小學的美好融洽氛圍，這是由壹群思想民主的知識分子建立的。就學費而言，它也是最便宜的之壹（雖然他們家物質上是豐裕的，但壹家人信奉托爾斯泰主義：工作、勞動，道德自我完善）。
1942年，柯爾莫戈洛夫與安娜（ Anna Dmitriyevna Kolmogorova ）結婚，安娜是他小學就認識的同學和好朋友。安娜的兒子 Oleg Ivashev-Musatov 因此成為了柯爾莫戈洛夫的兒子（son-in-law）。
柯爾莫戈洛夫：“If there existed a better world, in which people were reunited with the dead for eternal life, of course I would most of all like to meet my grandfather and grandmother who raised me, whose love and kindness have been more than sufficient for my entire life.” “And, of course, I would like to make an appointment with by beloved teacher”
Shiryaev院士：“…在沙灘上，柯爾莫戈洛夫聽到我10歲的兒子對壹個女孩說她說謊了。柯爾莫戈洛夫糾正他說：男孩子不能對女士那樣說話。妳可以說：我恐怕妳可能偏離了事實。”
在生命的最後6年，柯爾莫戈洛夫飽受疾病的困擾（眼疾、帕金森），他的博士學生、大學教過的學生、柯爾莫戈洛夫中學的學生，自發地去幫助柯大師的妻子和醫護人員去照料他、陪伴他，數年如壹日，阿諾爾德描述這段時光時說“... 跟老師在壹起的時光總是愉快的”。
柯爾莫哥洛夫和馮諾依曼，兩個同是1903年的超級巨星，同樣級別的廣博精深，研究興趣又重合了部分。他們分別在東、西方，但有個有趣的交集：1954年，在荷蘭阿姆斯特丹的國際數學家大會上，柯爾莫哥洛夫做了opening lecture（內容就是著名的KAM），馮諾依曼做了closing lecture，也可見他們二人的崇高地位 （兩人的相像容易讓人想到我們的迪克叔叔和朗道）。但由於特殊的政治背景，馮諾依曼又參與過曼哈頓計劃和政治，兩位巨人沒有直接交流。
與蘇聯理論物理大高手朗道：朗道非常尊重和欣賞柯爾莫戈洛夫的工作（二人分別是蘇聯最偉大的數學家和理論物理學家），包括概率論，尤其欣賞柯爾莫戈洛夫在湍流和KAM方面的工作。但也表示柯爾莫戈洛夫的概率論在物理裏面沒什麽用場。但最近壹些年，概率隨機方向的學者拿下了幾次沃爾夫獎和玻爾茲曼獎，又如2022年世界數學家大會的1小時報告，其中35%是柯大師的領域或報告人是再傳弟子，讓歷史繼續裁判吧。
伊藤清（沃爾夫獎得主）在《柯爾莫哥洛夫的數學觀與業績》寫的非常感人：“當我得知蘇聯偉大的數學家，84歲的A N Kolmogorov教授於1987年10月20日離開人世時，我感到像是失去了支柱那樣悲哀與孤寂。在我還是學生時（1937年）讀了他的名著《概率論的基本概念》之後，便立誌鉆研概率論，並持續了50年之久。對於我來說，柯爾莫戈洛夫就是我的數學基礎。……
柯爾莫戈洛夫在數學的幾乎所有領域中，都提出了獨創的思想，導入了嶄新的方法，他的業績是非常輝煌的。然而，我見到他時給我留下的印象卻是不修邊幅的溫厚的君子形象，這也許正是偉大數學家的形象吧。
柯爾莫戈洛夫的論文我自認為基本上都好好地讀過了 ，在撰寫本稿時，我又對他整個的研究成果做了壹個直接或間接的調查。對其研究的廣度和深度不得不嘆服。”
諾維科夫院士（Novikov，菲爾茲+沃爾夫獎得主) 視柯爾莫戈洛夫是自己的老師，對自己影響頗大，他在《Memories of A N Kolmogorov》寫道“ it is well known that the majority regard Kolmogorov as the greatest mathematician of our time …not interfering with the scientific affairs of the younger generation but offering them every kind of help in difficult situations. He supported me by helping in various undertakings…
”
機器學習理論的奠基人Vapnik院士說：”Kolmogorov是我的英雄“，他也是柯爾莫戈洛夫獎（Kolmogorov medal）2018獲得者，推薦看看YouTube上他的演講。Vapnik最著名的工作——描述機器學習方法capacity的VC維，受啟發於Kolmogorov在復雜性方面的工作（epsilon capacity等）。
在伯克利工作的統計學家Neyman曾多次邀請柯爾莫哥洛夫訪學，柯爾莫哥洛夫也樂意去美國看看，但最終沒能成行。Lehmann在《Reminiscences of a Statistician-The Company I Kept》記述了這件事：“An event planned for the second year of my term to which I was looking forward with great excitement was an extended visit by Andrei N. Kolmogorov, considered by many to be the greatest living mathematician . ... Neyman knew Kolmogorov well and had repeatedly tried to bring him to Berkeley for a visit, without success. This time, the situation looked very promising. In fact, the university catalogue for the year 1974–75 lists Kolmogorov among the visiting faculty. What made me so confident was that some months before he was due to arrive, Kolmogorov had sent a vanguard in the form of his young colleague, Igor Zhurbenko,.... All these preparations went well, but unfortunately at the last moment Kolmogorov experienced severe health problems and had to cancel the visit. ”
許寶騄（許多人認為在我國，許先生與華先生、陳先生齊名，當年並稱“西南聯大三傑”）把數學家分成三流，他說: “第壹流的數學家，是有天才的，他們能開闖新的領域，如柯爾莫哥洛夫， 馮.諾依曼，維納這壹類人，這些人是可望而不可及的。 第二流數學家是靠刻苦學習而成的，認真消化整理前人的東西，在這個基礎 上有所創造發現，象欣欽這樣的數學家就是這壹類的，他寫的《公用事業理論的數學方法》、《信息論基礎》等就是消化整理的結果。這種工作對後人影響較大， 年青人可以在這個基礎上較快地進入科學的前沿，中國缺少壹批做這壹類工作的 人。第三流的數學家只在某壹、二個問題上有壹點貢獻，不能象第二流的那樣有系統的工作。剩下的就是不入流的數學家了。”
那個著名的典故：1963年學生會議，美國統計學家雅各布·沃爾夫維茨(Jacob Wolfowitz):“我來蘇聯的壹個特別的目的是確定柯爾莫哥洛夫到底是壹個人，還是壹個研究機構。”
………
這所學校從全國招收有數學、物理天賦的學生，完全免費。對家境貧寒的學生還發給補助，盡管壹些年代俄羅斯經濟上困難重重，但這點直到現在都沒變。柯爾莫哥洛夫中學的學生成才率相當高，這點是有目***睹的，到80年代末，90年代初，已經有幾個當年的學生成了科學院院士。
有本書叫Kolmogorov in perspective，他的學生回憶了他的許多故事。讓我印象深刻的壹個是：在蘇聯十分危險的民族主義時期，為了給猶太裔學生爭取權益，柯爾莫哥洛夫戴上自己所有的勛章，去政治人事部門做遊說和鬥爭，為學生撐開保護傘（我國錢三強先生在特殊時期也是這麽做的）。
給中學生推薦柯爾莫哥洛夫主編的小冊子（各章作者都是大家，網上有電子版、也有賣中文版，譯者也均是我國高手，行文流暢）：《數學它的內容方法和意義》。
感謝Shiryaev院士允許我翻譯他的長文 Kolmogorov, Andrei Nikolaevich，即下面參考文獻1。
1 1989-Shiryaev院士- Kolmogorov, Andrei Nikolaevich，長文
2 《Kolmogorov in perspective》 其中除了若幹位學生的回憶文章，還有Kolmogorov寫的長文Newton and Contemporay Mathematical Thought和Memories of P S Aleksandrov
3 《Golden years of Moscow mathematics》，整本書壹半多都提到了Komlogorov！
4 《The Kolmogorov Legacy in Physics》，有pdf
5 《Kolmogorov's Heritage in Mathematics》 ，有pdf
6 《The Honors Class Hilberts Problems and Their Solvers 》 Benjamin H. Yandell，有pdf
7 Nikolski院士-The Great Kolmogorov，文章
8 1988-Tikhomirov-The Life and Work of A N Kolmogorov，長文，俄語
9 1988-Arnold-A few words on Andrei Nikolaevich Kolmogorov
10 伊藤清-柯爾莫哥洛夫的數學觀與業績
11 龔光魯教授-柯爾莫哥洛夫，紀念文章
12 潘玉林博士-流體力學風雲錄-東邪柯爾莫戈洛夫，非常有趣的文章
13 Excerpts from Kolmogorov’s Diary，柯大師日記英譯節選
14 Selected Works I、II、III卷
15 關於KAM的壹本科普書，《The KAM Story A Friendly Introduction to the Content, History, and Significance of Classical Kolmogorov-Arnold-Moser Theory》，中文版叫《KAM的故事》
我國學生能容易看到的柯爾莫戈洛夫寫的書 ：
《Introductory Real Analysis》
《Measure, Lebesgue integral and Hilbert Space》
《函數論與泛函分析初步》
《數學——它的內容、方法和意義》，英文版 Mathematics-Its Content, Methods and Meaning，1、2、3卷
《概率論導引》，是初等概率論，不涉及測度論
本文無意也無力去評論哪位科學巨人更偉大或最偉大，而只是想呈現我心目中的英雄，並盡量形象立體、豐富壹點。
學習和工作原因，多年之前就知道了英雄的偉大名字和輝煌業績。另壹方面，2020中美貿易戰和疫情後，西方媒體的攻勢和輿論控制，使我更加想了解蘇聯傑出科學家的經歷和貢獻，他們的學問和高尚品格顯然應該獲得更多的了解。輿論控制能力強大的西方造神了壹些所謂個性化的科學家並推銷附屬價值觀，在我國得到了不匹配的流行。
本文最先發於知乎 /column/c_1430261142283825152